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Full text of "Cours d'anal"

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LIBRARY 



UNIVERSITY OF CALIFORNIA. 
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"CTNIVERSITY ] 



COURS 



D'ANALYSE 



DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 



COURS 

D'ANALYSE 



DE 



L'ECOLE POLYTECHNIQUE, 

Par m. C. JORDAN, 

MEMBRE DE l'iNSTITUT, PROFESSEUR A l'êCOLE POLYTECHNIQUE. 



DEUXIEME EDITI0iNy ENTIEREMENT REFONDUE. 



TOME TROISIÈME. 

CALCUL INTÉGRAL. 

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 




PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 

Quai des Grands-Augustins, 55. 

1896 

(Tous droits réservés.) 



V, 3 



7Mkt 



PREFACE 



Le présent Volume n'a pas été aussi profondément remanié 
que les deux précédents. Les principaux changements sont les 
suivants : 

La Note finale sur quelques points de la théorie des fonctions 
a été supprimée, les principaux résultats qu'elle contenait ayant 
été introduits dans les deux premiers Volumes. 

Les divers passages où interviennent les fonctions elliptiques 
ont été notablement simplifiés en faisant intervenir les fonc- 
tions de M. Weierstrass à la place des anciennes fonctions snu, 
cnu, dnu. 

L'exposition du procédé d'intégration des équations linéaires 
à coefficients constants a été changée. La méthode de M. Vaschy, 
que nous avons adoptée à la place de celle de Gauchy, se recom- 
mande par son élégance et sa complète généralité. 

Nous avons enfin ajouté une démonstration de l'existence des 
intégrales dans le cas des variables réelles, et l'indication des 
méthodes proposées par Kummer et Halphen pour l'intégration 
de certaines équations linéaires. 



TABLE DES MATIÈRES 



TROISIÈME PARTIE. 

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



CHAPITRE I. 

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 

I. — Notions préliminaires. 
Numéros. Pages. 

1-3. Réduction à la forme normale i 

4-5. Elimination. — Ordre d'un système 5 

6-7. Équations différentielles algébriques. — Irréductibilité 8 

8. Application aux intégrales abéliennes lo 

9-10. Solution généi'ale. — Solutions singulières i3 

11. Énoncés divers du problème de l'intégration i6 

II. — Équations du premier ordre. 

12-14. Intégrales. — Facteur intégrant 17 

15. Transformation» infinitésimales 20 

16-18. Séparation des variables. — Équation homogène. — Équation 

linéaire 21 

19-23. Équations diverses 24 

24-31. Équations de M. Darboux. — Équation de Jacobi 27 

32-33. De l'équation f{y,y') = o 37 

34-36. Usage de la différentiation. — Équation de Clairaut 38 

37-40. Formules pour l'addition des transcendantes. — Équation d'Euler. 4 

III. — Systèmes d'équations simultanées. 

41-45. Intégrales. — Multiplicateur 45 

46-48. Systèmes canoniques. — Théorème de Poisson 5i 

49-51. Transformations infinitésimales. — Cas d'abaissement du système. 54 

d^y 

52-53. De l'équation -j^ =f{cc) 58 



VIII TABLE DES MATIÈRES. 

Numéros. Pages. 

54. Des équations y ^/(jK), y = /(r') Sq 

55. Courbes dont le rayon de courbure est proportionnel à la 

normale 6t 

5G-57. Mouvement des planètes. — Lois de Kepler 63 

IV. — Équations linéaires aux différentielles totales. 

58-60. Équations simultanées aux dérivées partielles qui définissent 

les combinaisons intégrables. — Multiplicateur 67 

61-63. Systèmes complets. — Systèmes jacobiens 70 

64-68. Intégration des systèmes jacobiens parla méthode de M. Mayer. 74 

69-75. Transformations infinitésimales. — Théorèmes de M. Lie ... 79 

V. — Étude directe des intégrales. 

76-80. Existence des intégrales. — Cas des variables réelles 87 

81-85. Cas des variables complexes 98 

86-87. Méthode des quadratures 102 

88. Variation des constantes io5 

89-92. Points critiques des intégrales. — Cas des équations linéaires. 107 

93. Étude des intégrales aux environs d'un point critique, pour 

''^1"^"°" i = TTïTr) "■ 

94-97. Étude des intégrales aux environs d'un point critique pour 

dy 
l'équation a? -^ -~f{,x,y) 112 

98-99. Étude des intégrales aux environs d'un point critique, pour 

l'équation fi--~-,y\ = o 122 

100-103. Intégration de cette équation lorsque ses intégrales sont uni- 
formes ,• 126 

104. Application à l'équation binôme i32 

105. Intégrales singulières i36 



CHAPITRE IL 

ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

I. — Généralités. 

106-114. Propriétés des systèmes d'équations linéaires du premier 

ordre 137 

115. Système adjoint i44 

1 16-117. Systèmes à seconds membres i46 

118-124. Équations linéaires d'ordre supérieur i48 

125. Équations à second membre i54 

126-127. Équation adjointe i55 



TABLE DES MATIERES. IX 

II. — Équations linéaires à coefficients constants . 
Numéros. Pages. 

128-131. Equations sans second membre 157 

132. Equations à second membre de la forme Pe^' i6o 

133. Exemples 161 

134-138. Systèmes d'équations i63 

139. De l'équation (a^-t- p)«-^ -^a,(ai+,3)»-' --— ^ -i-... = o. 168 

III. — Intégration par des série?,. 

140-145. Étude des intégrales aux environs d'un point critique 169 

146-152. Condition pour que les intégrales soient régulières 177 

153. Cas où les intégrales sont irréguliéres 187 

154-155. Intégration des équations qui n'ont qu'un nombre fini de 

points critiques 190 

156. Groupe d'une équation linéaire 198 

157-162. Recherche des conditions d'irréductibilité 198 

163-167. Équations dont les intégrales sont partout régulières. — 

Équations dont les intégrales sont algébriques 202 

168-169. Équations dont l'intégrale est rationnelle 209 

170-175. Équations de M. Halphen 211 

176. Équations à coefficients algébriques 219 

177-184. Équation de Gauss 220 

185-187. Polynômes de Jacobi v 280 

188-191. Équation de Bessel. — Ses diverses transformées 284 

IV. — Intégration par des intégrales définies. 

192-201. Équation de Gauss généralisée. — Son groupe 240 

202-203. Équation aux périodes des fonctions elliptiques 260 

204. Équation de Laplace 262 

205-211. Application à l'équation ^ ^— -\- {"i n -h 1) -z ha7l = o... 254 

212-217. Valeur asymptotique de J„ ( ^ ) 265 

218. Équation de Kummer 274 

V. — Équations de M. Picard. 

219-222. Propriétés de leurs intégrales 276 

223-226. Forme générale des intégrales 281 

227-228. Détermination des constantes 287 

229-231. Application à l'équation de Lamé 290 

232. Équations de M. Halphen 297 



X TABLE DES MATIERES. 

CHAPITRE III. 

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 

I, — Notions préliinaires. 
Numéros. Pages. 

233. Réduction à des systèmes ne contenant que des dérivées par- 
tielles du premier ordre 3oo 

234-235. Élimination Soi 

236-241. Systèmes normaux. — Existence des intégrales 3o3 

II. — Équations aux dérivées partielles du premier ordre. 

242-243. Équations linéaires. — Applications 3i4 

244. Équations non linéaires. — Intégrale complète; intégrale 

générale ; intégrales singulières 3i8 

245-255. Méthode des caractéristiques 32 1 

256-260. Première méthode de Jacobi 33o 

261-265. Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer 336 

266-269. Équations intégrables par différentiation 342 

270-271. Transformations de contact 35o 

III. — Équations aux dérivées partielles du second ordre. 

272. De l'équation ^; r — • =-. o 35i 

âx'" ây 

273. De l'équation -r-^ -i- 26-^ — r \- c -— = o 353 

âx^ ox oy oy^ 

274. Simplification de l'équation A-—- H- 2 R-r — ^-i-C- t-M = o. 354 

^ dx^ âxây ây' ^ 

275-277. Équation de Laplace 355 

278. Équation de Liouville 358 

279-282. Équation des surfaces minima 36o 

283-288. Méthode de Monge. — Application à rt — s'=o 367 

IV. — Équations linéaires à coefficients constants. 

289-293. Principes de la méthode 373 

294. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini 38o 

295-297. Propagation du son 38i 

298. Problème de Cauchy 387 

299-302. Propagation de la chaleur dans une barre indéfinie dans 

un sens Sgo 

303-304. Cordes vibrantes 395 

305-316. Refroidissement d'une barre hétérogène 397 

317-321. Équilibre de température d'une sphère 4'4 

322-330. Équilibre de température de l'ellipsoïde 4^2 

331-347. Refroidissement d'une sphère l\io 



TABLE DES MATIERES. XI 

CHAPITRE IV. 

CALCUL DES VARIATIONS. 

I. — Première variation des intégrales simples. 

Numéros. Pages. 

348-352. Variations successives d'une fonction ou d'une intégrale 

définie 459 

353-354. Maxima et minima des intégrales définies /|65 

355-361. Transformation de la première variation. — Conditions né- 
cessaires et suffisantes pour qu'elle s'annule 4^6 

362-363. Condition d'intégrabilité de cp(a7, y, .•,r"% -» ....z").... 4-8 

364. Transformation des équations de la Dynamique 480 

365. Brachistochrone 482 

366. Ligne de longueur minimum 486 

367-369. Lignes géodésiques 488 

370-371. Application à l'ellipsoïde 49^ 

372. Problème des isopérimètres 497 

IL — Variation seconde. 

373-376. Réduction à la forme canonique des équations de condi- 
tion fournies par la variation première 499 

377-382. Transformation de la variation seconde. — Première con- 
dition pour l'existence effective d'un maximum ou d'un 
minimum 5o2 

383-388. Propriétés des systèmes canoniques Sog 

389-394. Nouvelle transformation de 8=L — Caractères des maxima 

et des minima 617 

lïL — Variation des Intégrales multiples. 

395-398. Principes généraux 527 

399. Problème de Gauss 536 

400. Surface minima 689 

401. Transformation des équations du potentiel 5^o 

i 

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES. 







ERRATA, 




»ages. 


Lignes. 


An lieu de 


Lisez 


4 


1 1 


ff 


f 


59 


2 


r 


/: 


io5 


24 


N, 


N' 


i84 


14 


Pjvl 


P.V 


270 


i3 


ezlM 


e'^IPI 


283 


i3 


H-'i 


H-i 


295 


6 


u 


pu 


298 


10 


otTzi 


rrnzi 


352 


5 


A„_, 


A,._. 


388 


dernière 


t}{l, "X, tx, V) 


TD{t, 1, IJ., V) 


395 


avant-dernière / 


r 


401 


23 


V 


v„ 






(n — m)\ 


(n-\- m)l 


4-9 


i5 


{n-{-m)l 


{n-m)l 


426 


2 


dxl 


dx. 


43i 


II 

6 


T,, 


-^.^ 


434 


\/x' -^y' + z' 


sJx\-\-x\ + x\ 


435 


12 


M., M, 




445 


8 


f 


522 


25 


ligne à 


supprimer 


53i 


3 


V,6V, 


\Mx 



''■'^.^ fj: ^;, .^„-.,\\ ,/ ' 



COURS 

D'ANALYSE 

DE 

L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 



TROISIÈME PARTIE. 

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



CHAPITRE I. 

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 



I. — Notions préliminaires. 

1. Nous avons vu daus le Calcul différentiel (Chap. I, 
§ XIII) que, lorsqu'on a un certain nombre de relations 
entre une ou plusieurs variables indépendantes ^< , œ.^f . . . 
et des fonctions ^1,^21 • • . de ces variables, on pouvait, en 
combinant ces équations avec celles qui s'en déduisent par 
dérivation, en déduire une infinité d'équations différentielles 
auxquelles satisfont ces fonctions. 

Il nous reste à traiter le problème inverse, en cherchant 
à remonter des équations différentielles aux relations qui 
existent entre les variables elles-mêmes. 

J. — Cours, III. 1 



2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Nous nous occuperons d'abord des équations difTérentielles 
ordinaires, où ne figure qu'une variable indépendante x. 

2. Soit proposé un système de f7i équations différentielles 
entre x et m fonctions jki, • • -, ym de cette variable. On 
pourra, par l'introduction de variables auxiliaires, ramener 
le système proposé à un autre système équivalent, où ne 
figurent que des dérivées du premier ordre. 

En effet, supposons, pour fixer les idées, que nous ayons 
deux équaiions différentielles simultanées 



^ / dV J2 y ^3 y 


dz d^z\ 


F (x,y, -/-? -—,, -j^., z. 
\ '-^ d.v dx- dx^ 


' dx' dx^)~ 


^ l dy d'y d'y 


dz d^z\ 


^X^^'^-dx' dx^' dx^'-- 


' dx' dx^)~ 


Posons 




dy , d^-y 




On aura é\idcmment 




dx-'^' dx''^' 


dz _, 

' dx'-"' 




, àz'\ 


r^ 1 , „ dy" 


, dz'\ 


¥Ax,y,y,y% ^^^.z, 


^'./.H^- 



Ces cinq équations différentielles forment un système ma- 
nifestement équivalent aux deux équations primitives, mais 
où ne figurent plus que des dérivées du premier ordre. 

3. Considérons donc un système simultané de ni équa- 
tions du premier ordre 

^ / dv dz du \ 

-^ / dy dz du \ 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3 

entre la variable indépendante ^ et m fonctions inconnues j-, 

z, u, 

Si parmi ces équations il en figure une, F = o, qui ne con- 
tienne pas de dérivée, soit jk une des variables qu'elle con- 
tient, l'équation résolue par rapport à y donnera un résultat 
de la forme 

(i) 7 = cp(^,5, w, ...). 

On en déduit 

dy ^cp d'^ clz ()'f du 

dx dx dz dx du dx 

Substituant ces valeurs dans les équations 
Fi = o, Fa — o, ..., 

on aura un système àe m — i équations dilTérentielles pour 
déterminer les m — i variables z, u, ... ; on calculera en- 
suite y par l'équation (i). 

Supposons, au contraire, que l'équation F = o contienne 

dy , 
au moins une dérivée, telle que -j- • Résolvant par rapport à 

cette dérivée, il viendra 

dy .[ dz du 

^=/(^^,y,.,„,...,-^,-, 

Substituons cette valeur dans les équations suivantes; on 
obtiendra un système 

^ _ /• 
dx " ''' 

( dz du 



équivalent au proposé. 

Si l'une des équations cp, = o, ... ne contenait aucune 
dérivée, on pourrait s'en servir, comme il a été expliqué, 



4 TR01SIÈ31E PARTIE. — CHAPITRE I. 

pour éliminer une variable et ramener l'étude du système 
proposé à celle d'un système de m — i équations différen- 
tielles seulement. 

Si, au contraire, l'équation (f\=^o contient une dérivée -^ ? 

on en déduira 



dz . / du 



ei l'on substituera cette valeur dans les équations suivantes. 
Continuant ainsi, on arrivera à mettre le système sous la 

forme 

dy ^ dz ^ du 



dx~-^' dx-'f'' dx--^^' 



, dy . dz 
ni 



//ne contenant plus -7-? /i ne contenant ni -r- m -^—j 
•^ ' ^ dx "^ dx dx 

Portant maintenant dans chaque équation les valeurs des 

dérivées fournies par les équations suivantes, on obtiendra 

un nouveau système d'équations, de la forme suivante : 

dz 



Un système d'équations simultanées du premier ordre, 
ainsi résolu par rapport aux dérivées, est dit ramené à sa 
forme normale. 

On voit, par ce qui précède, que l'étude d'un système 
quelconque d'équations différentielles simultanées peut être 
ramenée à celle d'un système normal. Le nombre des équa- 
tions de ce système normal équivalent au proposé servira de 
définition à Vordre de ce dernier. 

En particulier, si l'on n'a qu'une équation différentielle 

^'11 ~ f( ^^ d'^'-^f 

dJ^^-JV'^'dx' ■"' dx"'-' 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 5 

elle sera équivalente au système normal 

dy , dy^-'' ^^ . 

dx ~-' ' '"' dx'"-'- •' ' 

Son ordre sera donc égal à m, 

4. D'un système de m équations différentielles entre x 
et les m fonctions y^ z, u, . . ., on peut déduire, ainsi que 
nous allons le voir, une équation différentielle où ne figurent 
que a; et j^. 

En général, le nombre des équations données n'est pas 
suffisant pour éliminer z, u, ... et leurs dérivées. Mais, si 
nous prenons la dérivée de chacune des équations données, 
nous obtiendrons m équations nouvelles, en introduisant au 
plus m — I inconnues de plus, à savoir une dérivée nouvelle 
de chacune des fonctions ^, î«, . . . . En répétant celte opéra- 
tion, on arrivera évidemment à se procurer assez d'équations 
pour effectuer l'élimination. 

Considérons, par exemple, un système de trois équations 

F — G, Fi = o, F2 = o 

entre ^, jk, z, u. Supposons que l'ordre de la plus haute dé- 
rivée de chaque variable, dans chacune de ces équations, soit 
donné par le Tableau suivant : 



(2) 



Différentions les trois équations respectivement A, A,, 
Aa fois. Nous obtiendrons ainsi un total de A + A, + Ao -j- 3 
équations, entre lesquelles on aura à éhminer z et ses B pre- 
mières dérivées, u et ses G premières dérivées, B désignant 



F 


m 


II 


P 


F. 


m, 


/Il 


Px 


1^2 


m 2 


/h 


P^ 



6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

le plus grand des nombres A + n, Ai -j- /^^ , A2 4- 712, et G le 
plus grand des nombres A + />, A<-f-/?i, k^-^ p2\ soit en 
tout B -i- G + 2 inconnues. 

En thèse générale, l'élimination ne pourra se faire que si 
le nombre des équations surpasse celui des inconnues. On 
devra donc avoir 

A+ Ai4-A2^Bh-G 

et, comme on a 

B^Ai4-/ii, G^Ai4-/?j, > , 

B = A2 4-/^2, G^A2-+-/?2, 
on en déduit 

A = /li+/?2, A=/22-f-/?i. 

On voit de même que A, est au moins égal au plus grand 
des deux nombres n-\- p2, n^-^-p, et Ao au moins égal au 
plus grand des nombres n -^ p^, n^-\- p. 

Il est d'ailleurs aisé de voir qu'en prenant A, A<, Ao pré- 
cisément égaux aux limites inférieures trouvées ci-dessus, on 
aura juste le nombre d'équations nécessaires pour l'élimi- 
nation. 

Soit en effet, pour fixer les idées, 

B =1 A H- /i ^ Al 4- /Il r A2 -h /^2. 
On en déduira 

d'où 

B = A 4- /^ = Al -I- /Il ; 

et, d'autre part, 

A-hp = p 4- /ii^ pi= A.2 4-/>2- 

On trouvera de même 

ki-\-Pi<ki-^ Pz ou =A-f-/?, 
suivant que A, sera égala n -\- p2 ou â 112-^ p- 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 7 

On aura donc, dans tous les cas, 

G== A2 + /^2>Ai+/?i^A H-/?, 
et, par suite, 

B H- G = Al + /Zi 4- A2 -+- /?2 = A -h Al 4- Ag. 

En donnant à A, A^ Ag les valeurs ci-dessus, on aura donc 
une équation de plus qu'il n'est nécessaire pour déterminer z, 
u et leurs dérivées au moyen de y et de ses dérivées. Ces 
valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront 
une équation finale ne contenant quejK, et ses dérivées jus- 
qu'à l'ordre D, D désignant le plus grand des nombres A + m, 
Al 4- /»o AsH- /??o. 

Ce nombre D, qui représente l'ordre du système, sera 
évidemment égal au plus grand des nombres m -\- /ii -{- p^, 
/?i, 4- ^ + /J>2, • • -5 qu'on obtient en associant ensemble trois 
nombres du Tableau (2) appartenant à la fois à des horizon- 
tales et à des verticales différentes. 

5. Ce résultat, qu'on étendrait sans difficulté au cas d'un 
nombre quelconque d'équations, peut se trouver en défaut 
si z, u et leurs dérivées figurent dans les équations propo- 
sées de telle sorte que l'élimination puisse se faire avant 
qu'on ait formé toutes les équations auxiliaires qui paraissent 
au premier abord nécessaires, d'après le nombre des quan- 
tités à éliminer. 

On obtiendra, même dans ce cas, une équation finale euy 
de la forme 

mais ^, u, au lieu d'être immédiatement donnés en fonction 
de j' et de ses dérivées, pourront être déterminés par de nou- 
velles équations différentielles, de la forme 

d^z ( dy d'^'-^z dl^'-UiX 

^1=^ i^'^'^'-'-'-^'-'-'S^'^^^j'- 



d^'u ( dy d^^-'^z d^- 



I dy 



, '"^ z,u, 



dx^ " ^n '*^ ' dx' ' ' • "' dx^-^ dxV--^ 



8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Eliminant u entre ces équations par la répétition du même 
procédé, on arrivera à faire dépendre l'étude du système pri- 
mitif de celle d'un système de la forme suivante : 



cViii . ( 



d^-^y\ 




' dx^-'j' 




d?-'z\ 




'^'■■•'^^MJ' 




dr- 
, ^, . . ., Il, . . . , 


'a 

•— 1 



6. Considérons, en particulier, les fonctions déterminées 
par une équation différentielle 

/ dv d^y\ 

algébrique par rapport a x, y, . . . , j-^- 

Toute solution d'une semblable équation satisfait évidem- 
ment à une infinité d'équations analogues résultant de la 
combinaison de F et de ses dérivées. 

Réciproquement, soit jk une fonction de x qui satisfasse à 
une série d'équations différentielles algébriques 

F := G, Fi = G, .... 

Toutes ces équations résulteront de la combinaison de l'une 
d'entre elles avec ses dérivées. 

Considérons, en effet, parmi toutes les équations de ce 
genre auxquelles j^ satisfait, celles dont Tordre est minimum, 
et parmi celles-ci choisissons celle où la plus haute dérivée 
est élevée à la puissance minimum. Soient a et pi cet ordre et 
ce degré, F = o l'équation correspondante; F) = o une autre 
équation quelconque du système. 

De l'équation F = o et de ses dérivées on pourra déduire les 

valeurs de _^^. , •••et des puissances de -i-^ de degré ^ jjl 

dv d^y /d^y\\'-~^ 

en fonction rationnelle de ^, JK, -j- ^ • • ■' 77^' ' ' '^ \77~^ ) 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 9 

Substituant ces valeurs dans Fi, on obtiendra une nouvelle 
équation $ = o, qui ne contiendra plus que x^ y^ -^ -> • • •> 

d^' '"' Vd^J ' ^^^'^' d'après notre hypothèse, y ne 
satisfait à aucune équation de ce genre. Donc l'équation 
= est une identité. 

Nous dirons que la fonction jk est une solution propre de 
l'équation F = o et une solution impropre des autres équa- 
tions F, = G, .. .; et nous appellerons ordre de la fonction 
l'ordre de l'équation F = o. 

D'après cette définition, les fonctions algébriques seront 
d'ordre zéro; les fonctions d'ordre >> o seront transcen- 
dantes. 

Une équation différentielle algébrique F= o est dite irré- 
ductible, si elle n'admet que des solutions propres 

7. Soient jk, ^, ... des solutions des équations différen- 
tielles algébriques 

/ dy d^y\ 

(3) {^ / dz d^z\ 



d'^y d'^z 

de degrés tj., v, . . ., par rapport à -7-^5 — z^ 

^ "^ clûc i 

Soient, d'autre part, Y, Z, ... d'autres fonctions satisfai- 
sant à des équations analogues 

(4) * = o, ^y~0, 

Supposons qu'il existe entre ces diverses fonctions et leurs 
dérivées une relation algébrique 

^F -- o. 

Si nous éliminons Y, Z, ... entre cette équation et les 
équations (4), nous obtiendrons une équation différentielle 



lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

G = o entre jr, s, . . . , qui représentera la condition néces- 
saire et suffisante pour que ces fonctions, associées à des 
solutions convenablement choisies des équations (4), satis- 
fassent à l'équation ^F = o. 

Si donc l'équation G = o n'est qu'une conséquence des 
équations (3) et de leurs dérivées, tout système de solutions 
de (3), associé à un système convenable de solutions de (4), 
satisfera encore à l'équation ^^z=o. 

Ce cas se présentera nécessairement s'il n'existe entre les 
solutions y, z, . . . , primitivement données, aucune relation 
algébrique de la forme 

oii -T-^> -7-^? ••• figurent avec des degrés respectivement 
infé 



rieurs a 



En effet, au moyen des équations (3) et de leurs dérivées, 
on peut éliminer de G les dérivées ~ , •••, — ^— ^j ••• 

et les puissances ( -7-^ ) ' (;r^) ' ^" obtiendra ainsi 

une équation de la forme (5), laquelle devra, par hypothèse, 
se réduire à une identité. 

8. Comme application des considérations qui précèdent, 
cherchons la forme la plus générale des relations algébriques 
qui peuvent exister entre des intégrales abéliennes jKi, ..., Vm 
définies par les équations différentielles algébriques 



•"''^'^1=°' 






Soit 

(6) ^(^,7i, ...,r,„) = o 

une semblable relation. Nous pouvons évidemment admettre 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I I 

qu'il n'existe aucune relation de même nature entre les fonc- 
tions jKi , . • • , ym-i et la variable indépendante. 

L'équation (6), résolue par rapport à jKm, pourra s'écrire 

D'après le théorème précédent, cette équation subsistera 
si l'on y remplace j'<, ..., j^w_i par des solutions quelconques 
des équations Fi, ..., F^-i, pourvu qu'on remplace en 
même temps jKm pai' ^me solution convenable de l'équation 
F„i. Mais il est clair que les solutions de chacune de ces 
équations s'obtiennent toutes en ajoutant à l'une d'elles une 
constante d'ailleurs arbitraire. On aura donc 

Cl , . . . , Cm-\ étant des constantes arbitraires, et c,„ une autre 
constante, dépendant de celles-là. 

Prenant la dérivée de cette équation par rapport à la con- 
stante Ci, il viendra 

dc„i _ dcp(^, r,-4- Cl, . . .) _ ()cp(.^, ri + c^,, . . .) 
et, en posant c< = . . . = Cm-i = o, 

-r : — Al, 

àyi 

ki désignant la valeur constante que prend dans cette hypo- 
thèse la dérivée -t-^« 

Cette dernière équation doit se réduire à une identité, 
puisque nous supposons que x, y^, ..., jKm-< ne sont liées 
par aucune relation algébrique. On aura de même identi- 
quement 

ÈL-k ^? - k 

Ofi Of,n-l 



Ï2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

^2, . . . , km^i étant des constantes. On en déduit 

X étant une fonction algébrique de x. La relation cherchée 
sera donc de la forme 

9. Ces préliminaires posés, il nous reste à indiquer les 
procédés par lesquels on peut intégrer une équation diffé- 
rentielle (ou un système de semblables équations), c'est- 
à-dire déterminer ses solutions. 

Il est aisé de voir, par des exemples, que ce problème est 
indéterminé. 

Considérons, en effet, une équation 

(7) ?(-37,7,c)=:0 

entre la variable indépendante x^ la fonction j^ et la constante 
arbitraire c. On en déduit par différentiation 

(8) . ^d.+ ^^dy^o. 

Tirons la valeur de c de l'équation (7) pour la substituer 
dans (8); il viendra, en représentant par des parenthèses le 
résultat de cette substitution, 

(9) (g:)rfx+(|î)rf/ = o. 

Cette équation différentielle admet pour solution la fofac- 
tion j^, définie par l'équation (^), quelle que soit la con- 
stante c. A chaque valeur de cette constante répond une 
solution particulière. L'ensemble de ces solutions se nomme 
la solution générale. 

Pour reconnaître s'il existe d'autres solutions, en dehors 
de celles que nous venons de déterminer, introduisons une 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3 

variable auxiliaire c définie par l'équation (7). Cette équation 
différentiée donne 

do . do . â'^ j 
-^dx -^ ~- dy -^ ~dc=:o, 
dx df ^ de 

ou, en substituant pour c sa valeur tirée de (7), 



I -^j dx -{- ( -^-] dy -]- ( -^] de =z o 



à^\ y [do 



ou enfin, en tenant compte de l'équation (9), 

On peut satisfaire à cette équation de deux manières : 
i*^ En posant 

dc^:=^o, d'où c=:const. ; 

la valeur correspondante de y étant donnée par l'équa- 
tion (7), on retombe ainsi sur la soîution générale; 
2° En posant 

Cette équation détermine la valeur de y en fonction de x. 
L'inconnue auxiliaire c sera ensuite déterminée par l'équa- 
tion (7). 

La nouvelle solution ainsi obtenue se nomme la solution 
singulière de l'équation différentielle. 

En considérant x, y comme les coordonnées d'un point, 
chaque solution particulière 

cp(^,r, c) = o, 

où c est supposé constant, représente une courbe. 

La solution générale représente l'ensemble de ces courbes. 
Enfin la solution singulière, définie par l'équation 



m-' 



l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

résultat de l'élimination de c entre les équations 

représentera l'enveloppe de ce système de courbes. 

Il arrivera parfois que les deux équations (lo) soient in- 
compatibles, auquel cas il n'y aura pas de solution singu- 
lière; ou que la valeur de c en fonction de x^ déduite de ces 
équations, se réduise à une constante; dans ce cas, la solu- 
tion singulière se confondra avec l'une des solutions particu- 
lières contenues dans la solution générale. 

10. Les considérations précédentes peuvent aisément s'é- 
tendre à des systèmes d'équations différentielles simultanées. 
Soient, par exemple, 

(il) ?i = 0, cp2=:0 

deux équations entre la variable indépendante x^ les deux 
fonctions jKi , JK2 et deux constantes c,, Co ; on en déduira, en 
différentiant et éliminant c,, C2, les deux équations difïéren- 
tielles 



(12) 






dx J \àfij \àv2 



dont les équations (i i) représentent la solution générale. 

Pour obtenir les autres solutions s'il en existe, prenons 
pour inconnues auxiliaires les quantités Ci, c^ définies par 
les équations (i 1). 

La différentiation de ces équations donnera 

^da>+^dy, + -, dy, + ^ de, + -- rfc, = o, 
^d.+ ^^dy, + ^^dy,+ ^^dc,+ -^^dc,= o . 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l5 

OU, en éliminant Cj, Co et tenant compte des équations (12), 



(.3) 



((!;)*-(&)*.=«. 
■*(£)*■=»• 



. , de 

OCi 



On peut satisfaire à ces équations : 

1° En posant 

<ic, = o, dc^^^^o, 

d'où 

Ci=const., C2^=const.; 

on retombe ainsi sur la solution générale; 
2° En posant 

\ dci ) \ dci ) \dc^) \ dci 

auquel cas les équations (i3) se réduisent à une seule d'entre 
elles, par exemple à 

Cela posé, des trois équations 

cpi=:0, cp2 = 0, A r— o 

on pourra déduire les valeurs de C|, C2, ^2 en fonction de œ 
et dey^. Substituant ces valeurs et leurs différentielles dans 
l'équation (14)5 elle prendra la forme 

X dx -H Y dVj = o, 

où X, Y sont des fonctions de x' et de j^,. 

Toute solution j^, de cette équation, combinée avec la va- 
leur correspondante de j^2 tirée de A = o, donnera une solu- 
tion singulière des équations différentielles (12;. 

3° Enfin, si les équations 

m-' m-- (£)="' (£)- 

étaient satisfaites par un même système de valeurs dej^i, j^^i 



l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

elles fourniraient une nouvelle solution; mais le système de 
ces équations est généralement surabondant. 

11. Le problème de l'intégration des équations différen- 
tielles (ou des systèmes d'équations différentielles) peut être 
envisagé sous deux points de vue différents. 

On peut se proposer d'obtenir une solution générale. 
Celle-ci trouvée, les solutions singulières s'en déduiront 
immédiatement si l'on a affaire à une seule équation , ou 
s'il s'agit d'un système d'équations différentielles, par l'inté- 
gration d'un nouveau système d'ordre moindre que le pro- 
posé. On pourra ainsi former le tableau de toutes les solu- 
tions possibles. 

Mais, dans les applications du Calcul intégral, la question 
de l'intégration se présente autrement. Les fonctions incon- 
nues sont assujetties, non seulement à satisfaire aux équa- 
tions différentielles données, mais à d'autres conditions acces- 
soires qui achèvent de les préciser, de telle sorte que le 
problème ne présente plus rien d'indéterminé. 

Considérons, par exemple, le mouvement d'un point dans 
l'espace. D'après les principes de la Mécanique, ce mouve- 
ment sera défini par les six équations suivantes : 

dx _ ^1 cly ^ , dz 

(15) 



dt-""' dl~~^' dt 



dx' _, dy' dz' 

dt ^ dt dt ' 

o\x m désigne la masse du point; x^y^ z ses coordonnées à 
l'époque ^^ X, Y, Z les composantes de la force qui le sol- 
licite. 

Il est clair que la question ainsi posée est encore indéter- 
minée. Mais on pourra achever de la préciser en se donnant, 
par exemple, la position du point, et les composantes de sa 
vitesse à l'instant initial Iq. Le problème deviendra, en géné- 
ral, déterminé, et pourra se formuler ainsi : 

Trouver six fonctions x, y, ^, x' ^y\ z de la variable tj 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I7 

qui satisfassent aux équations différentielles (i5), et qui 
prennent des valeurs données x^^ ji'o, ^o) ^'o' J^o» ^'a pour 

t^tç,. 

La question ainsi posée sera facile à résoudre si l'on peut 
déterminer la solution générale du système (i5). Cette solu- 
tion sera, en effet, donnée par un système de six équations 

entre x, r, ^, x' ^ y' ^ z' , t et six constantes arbitraires a^^ ..., 
^6. En exprimant que ces six équations sont satisfaites lors- 
qu'on y pose t=^tQ, X =z Xq^ . . . , 2'= z'^^ on obtiendra six 
équations de condition pour déterminer les valeurs de <2i , . . ., 
«6 correspondantes à la solution particulière que l'on cherche. 
Mais ce n'est que dans des cas très spéciaux qu'on sait 
obtenir la solution générale d'un système d'équations diffé- 
rentielles. On se trouvera donc réduit le plus souvent à étu- 
dier la solution particulière qui satisfait au problème déter- 
miné que l'on a en vue. Il existe pour traiter cette nouvelle 
question des procédés d'approximation numérique que nous 
exposerons plus tard, et qui seraient inapplicables au pro- 
blème plus étendu, mais plus vague, de la recherche de la 
solution générale. 



II. — Équations du premier ordre. 

12. Considérons une équation différentielle du premier 
ordre ramenée à la forme normale 

dx 
ou 

(i) dy — Xdx=:2 0. 

Au lieu de cette équation, on peut considérer, avec Euler, 
J. — Cours, III. a 



i8 


TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 


la suivante 




(2) 


IX df — (xX da: ■= o, 



où [A est une fonction de ^, y choisie à volonté. 

L'équation (2) est, en effet, équivalente à (i), tant que {jl 

n'est ni nul ni infini. La seule différence est qu'elle pourra 

admettre la solution nouvelle [jl=zo, ou perdre la solution 

I 

- = o. 

Supposons le facteur ja choisi de manière que le premier 
membre de l'équation (2) soit une différentielle exacte. On 
pourra déterminer, par de simples quadratures (t. II, n° 161 ), 
une fonction o, telle que l'on ait 

doz=z ix.df — [jlX dx. 

Lors même que ces quadratures ne pourraient s'effectuer 
exactement, il sera toujours possible de déterminer, avec telle 
approximation que l'on voudra, la valeur de cp pour chaque 
système de valeurs de ûo,y. 

Gela posé, l'équation (2) se réduit à 

(f cp r=^ o 

et donne immédiatement 

cp = const. 

Le problème de l'intégration sera donc résolu dès qu'on 
aura déterminé, soit la fonction cp, soit le multiplicateur jji, 
d'où cp peut se déduire par quadrature. 

13. L'équation 

d(^ ^=z [xdf — [xX da^ 

se décompose dans les deux suivantes : 

Éliminant [jl, on obtiendra l'équation aux dérivées par- 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I9 

tielles 

^ ^ dx dy 

L'intégration de cette équation aux dérivées partielles et 
celle de l'équation (i) sont deux problèmes entièrement équi- 
valents. 

En effet, soit cpune solution (ou intégrale) quelconque de 
l'équation (3). On aura 

L'équation 

dy — X dx =■ G 

sera donc équivalente à d(f=:o et admettra la solution gé- 
nérale 

cp rr: COnst. 

Réciproquement, supposons que, par un procédé quel- 
conque, on ait obtenu une solution générale de l'équation (i), 

telle que 

f{x,y,c)-=o, 

c étant une constante arbitraire. Cette équation, résolue par 
rapport à c, prendra la forme 

Différentiant, il viendra 

V- dx -h ^ dy =: o. 
dx dy 

Cette équation devant être équivalente à l'équation primi- 
tive (i), les coefficients de dx et de dy doivent être propor- 
tionnels; d'où la relation 

Donc '^1 est une intégrale de l'équation (3). 



70 



TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 



Cette intégrale une fois connue, on pourra en déduire 
toutes les autres. Soit, en eflet, cp une autre intégrale quel- 
conque; des deux équations (3) et (4) on déduit 

dx dy 

dœ dy \ 

équation qui exprime que cp est une fonction, d'ailleurs arbi- 
traire, de cp^. 



— o. 



(5) 



14. Quant au multiplicateur jjl, il doit satisfaire à la condi- 



tion d'intégrabilité 



ÔJ^ 



à/ 



= o. 



et réciproquement, toute solution de cette équation donnera 
un multiplicateur. 

Connaissant un multiplicateur [x et l'intégrale cp corres- 
pondante, on en déduira aisément tous les autres. Soit, en 
effet, |jl'= |jiv un autre multiplicateur; on aura 

ÔJ^- dy 



/dix dixX\ /(h ^d^\ 



Donc V sera une intégrale de l'équation (3), et l'on aura 
V = F((p), F désignant une fonction arbitraire. 

15. Si, dans le premier membre de l'équation différen- 
tielle 

dy — X.dxz=i o, 

noub remplaçons œ et j par x ^ i\, y -\- r/i, £ désignant un 
paramètre infiniment petit et i, 'f\ des fonctions de x et de j, 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 21 

nous obtiendrons l'équalion transformée 

-^ dx dy '^ 

— X 4- e^ -c h £TQ \-...\[dx-^t-^dx-ht^-dy] — o 

\ ox ôy j \ ox ay " / 

ou, en développant et négligeant le carré de s, 

Si cette équation transformée reproduit à un facteur près 
l'équation primitive, nous dirons que cette dernière admet la 
transformation infinitésimale Ç, r^. 

Cette condition est exprimée par la relation 

^ A + ^ 1- + ^i 1- :^ ~Xi ~~X — 1 :- o. 

ox ox ()y dx \dy ôy 

Posons 
cette équation se réduira à 

O = ^ ^ - ^-i - X ^ =: C 4 — n 

^ dy âx ôy ^ \dx '^ ôy 

Cette relation montre que, lorsque z n'est pas nul, son in- 

I I 1 • T 

verse - = ^^-^ est un multiplicateur. 

^ rj — X ç ^ 

On voit donc que la recherche des multiplicateurs et celle 
des transformations infinitésimales de Téquation différen- 
tielle en elle-même ne constituent au fond qu'un seul et 
même problème. 

16. Les équations différentielles que les principes précé- 



22 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

dents permettent d'intégrer se ramènent pour la plupart aux 
trois types fondamentaux suivants : 
i" Les équations de la forme 

dy — XY dx = o, 

où X est une fonction de ^ et Y une fonction de y. Ces 
équations admettent le multiplicateur :rp; caries deux termes 
de l'expression 

^-Xdx, 

ne contenant chacun qu'une seule variable, sont des différen- 
tielles exactes. 

17. '1° Les équations homogènes 

^/ — ?(*;^)^^ = o. 

Leur premier membre se reproduisant à un facteur près 
quand on y remplace x^ y par (i -[- e)^, (i -f- t)y, elles ad- 
mettront comme multiplicateur la quantité ; — r 

On peut le vérifier aisément par un changement de va- 
riable. Posons, en effet, 

y zzz. ux, d'où dy z=z. a dx -\- X du \ 

l'équation deviendra 

u dx -\- X du — ^{u) dx ■=: o^ 

et, si nous la divisons par le facteur 



il viendra 



y' — 'i['-~ )j? = ^[« — ?(w)], 



dx du 

1 T-T 

X u — «p ( " ) 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 23 

équation dont le premier membre est une différentielle 
exacte, les variables étant séparées. 

Soient Uq une valeur particulière de la variable auxiliaire u ; 
œo la valeur correspondante de ^, laquelle pourra être choisie 
arbitrairement. L'équation précédente, intégrée de Uq à w, 
donnera 

du 



'"'i^L 



o; 



« — cp ( i/ ) 

d'où 

_ r" du 

J^^ U-<Ç{U) 

ce — — •-*^o * 

On aura donc exprimé ^ et jk = ux en fonction de la va- 
riable auxiliaire u et de la constante arbitraire ^o 

18. 3° Les équations linéaires, de la forme 

P et Q désignant des fonctions de x seul. 

L'équation ne change pas si l'on y remplace jr parj'^ -[- et], 
'f\ étant une fonction de x définie par l'équation 

(6) â=P.. 

Elle admet donc le multiplicateur -• On a effectivement 

Intégrant, il viendra 
d'où 

7 = Ciri +7) / ^dx. 

La fonction auxiliaire t\ qui figure dans cette formule est 



24 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

une solution choisie à volonté de l'équation (6), qui ne dif- 
fère de la proposée que par la suppression du dernier terme. 
Cette équation s'intègre immédiatement en séparant les va- 
riables. Il viendra 

d'où 



logY) — / P(i^ -{-logCi, 



p X 

Vdx 



7)= Cl 

C, désignant une constante arbitraire. 

19. Un grand nombre d'équations différentielles peuvent 
se ramener aux types précédents par des changements de 
variables. 

Considérons d'abord l'équation 

dy / ax ^ by -^c 

dx ^\a' X ^ y y 4- c' 

Si ah' — hd n'est pas nul;, posons 

ax ^hy ^ c-=^\^ a' ^ + Z>' j -f- c' = r, ; 

d'où 

a dx -^ h dy ^^ d\y a' dx -\- b' dy z=l dr\ , 

<ij? = A <i^ -h B <iTi , <ij =: A' <^^ 4- B' dr^ . 



L'équation transformée 

\-W' dr. 



K'd^^Wdri _ /[\ 



Ad'ç^Bdr^ 

sera manifestement homogène. 
Soit, au contraire, 

ab' — ba'-=z o, 

d'où 

a'x -\- b'y -h c'= m{ax 4- ^j -h c) -{- n. 



0- -= .- / 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 25 

Le second membre de l'équation proposée sera de la forme 

cp(«^-H by -i-c). 

Prenons ax -{- by -\- c ^=1, pour variable nouvelle, à la 
place de x par exemple. On aura 

adx-^b dy = <^?, 
dx^. - {d^ — bdy), 

et l'équation transformée deviendra 

ady 
d^ — b dy 
ou 



?(0 



dy 



Les variables sont séparées. On obtiendra donc j en fonc- 
tion de ? par une quadrature, et l'équation 

a ^ H- /^/ 4- c = ^ 

donnera la valeur correspondante de x. 

20. L'équation de BernouUi 

OÙ P et Q sont des fonctions de x, peut s'écrire 
I dy^-"' 



m dx 



— pyl-m _^ Q 



et se changera immédiatement en une équation linéaire, si 
l'on prend jk'~'^^ pour variable à la place de j^. 



21. L'équation 
peut être intégrée complètement dès qu'on en connaît une 



g=P + Q^-HR^' 



26 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

solution particulière. Soit, en effet, j'i cette solution : po- 
sons 

l'équation transformée sera 
et, comme l'on a par hypothèse 
elle se réduit à 

C'est une équation de Bernoulli. 

22. L'équation 

Xdx- -hY df -hZ{x dy — y dx) z=zo, 

où X, Y, Z sont des fonctions homogènes dont les deux pre- 
mières sont du même degré, se ramène également à l'équa- 
tion de Bernoulli, en posant 

y^=uœ, dy ^^ udx -\- œdu. 

On a, en effet, 

X = a7'"cp(w), Y — œ"'^{u), Z — x^-yJji). 
Substituant, et divisant par ^"^, il viendra 

^{u)dx -+- ^{u) {xdii H- udx) -{- x"'-^^^'^ j^{u) du = 

•ou 

dx i|;(m) j(u) 

du cp(w) + t^(|;(?^) cp(w) -+- w(|;(i^) 

23. Considérons encore l'équation 

ex dy ^^ydx -\-x'^y'^{ax dy -^ by dx)r=:zo. 

On a 

{(XX dy 4- P/ <i^)^P-V°'"^ = d{x^y^). 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 27 

L'expression générale des multiplicateurs qui rendent inté- 
grable ^x dy -\- ^y dx sera donc 

On voit de même que l'expression générale des multiplica- 
teurs de x^y^i^ax dy -\-hy dx) sera 

^b — 1 — /« y a — \. — n (1^ / /y.6 y a \ 

11 résulte de là que x^y^ rendra séparément intégrable 
chacune des deux moitiés du premier membre de l'équation 
proposée, et, par suite, sera un facteur intégrant, si l'on a 

X:=:a — l -^ a.\r=za — I — /l-h<2Tri, 

[JL rrr P — I 4- p^ =z è — I — m -\- br^. 

Ces équations simultanées détermineront aisément ?, 'jq, A, 
^, si le déterminant cf.b — [Ba n'est pas nul. 
Si ce déterminant était nul, on aurait 

a^=^ko(,, b=zk^j 
et l'équation se réduisant à 

(i -h kx"^y^) {oLX dy -i- p/ dx) = o 
serait intégrable sans difficulté. 

24. Considérons enfin, avec M. Darboux, les équations 
différentielles de la forme 

A ^X 4- B ^Y -f- G ( Y ^X — X ^Y) = o, 

où A, B, C désignent des fonctions rationnelles de X et 
de Y. 

Ces équations prendront une forme plus symétrique si l'on 
remplace, comme dans la théorie des courbes algébriques, les 
variables X, Y par des coordonnées homogènes, en posant 

a^4-P/4-Y^ ' a^ + Pj + Y^ * 



28 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

On en déduira sans peine pour dX, dY, Y <:/X — X dY des 
expressions de la forme 

a{y dz — zdy) + b{zdx — x dz) -\- c{œ dy — y dx) 

{ax^^y-^^zf 

Ces valeurs, substituées dans l'équation proposée, donne- 
ront une transformée de la forme 

(7) h{ydz — z dy) -\-M {z dx ~ X dz) -i-^ {x dy — y dx) — o, 

L, M, N étant des fonctions homogènes en ^, j-, z^ et d'un 
même degré, que nous désignerons par m. 
Cette équation peut encore s'écrire ainsi 

o, 



(8) 


Pdx-hQdy^-K dz 


en posant 


P =Mz-Ny, 




Q = Nx~Lz, 




R^Ly —Mx; 



d'où 

(9) P^-|-Qj-|-R^=rO. 

25. Pour chaque point x, y, z du plan, la direction de la 
tangente à la courbe qui représente géométriquement l'inté- 
grale sera donnée sans ambiguïté par l'équation (8). H y a 
toutefois exception pour les points où l'on a simultanément 

P=,o, Q = o, R = o, 

pour lesquels l'équation (8), étant identiquement satisfaite, 
n'établit plus aucune relation entre dx, dy, dz. 

Ces points singuliers sont évidemment les seuls par les- 
quels puissent passer plusieurs branches de courbes dis- 
tinctes satisfaisant à l'équation différentielle. On peut donc 
affirmer que tout point multiple d'une courbe intégrale ou 
tout point d'intersection de deux courbes intégrales est né- 
cessairement un point singulier. 

Cherchons le nombre ^ de ces points singuliers. Nous re- 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 29 

marquerons, à cet effet, que les points communs à P= o, 
Q=: o, en nombre {m -f- 1)^, satisfont en vertu de (9) à la 
relation Rz = o. On aura donc 

(m + 1)2—^4-7), 

Tj étant le nombre des points communs à P = o, Q =rr :>, 

D'autre part, les m~\-i points communs à P = o, z z^ o 
satisfont à la relation Q^ = o. D'ailleurs, un seul d'entre 
eux, savoir ^ = o, jk = o, satisfait à jk = o. Les m autres 
donneront 

donc 

7] r=r m et ^■=- ni^ + m -\-i. 

26. Cherchons maintenant la condition pour qu'une courbe 
algébrique 

soit une intégrale de l'équation différentielle. On trouvera, en 
différentiant l'équation ci-dessus, 

df . df . df . 

-— dx -\- i- dy -\- ~dz=zo. 
dx dy -^ dz 

On a d'autre part, pour tout point de la courbe, 

àf df df , 

dx '^ dy dz ^'' 

p désignant le degré de la courbe /= o. 

Des deux équations précédentes on déduit celle-ci 

^ ^1 ÎL 

dx dy _ dz 

y dz — zdy z dx — x dz x dy — y dx 

dont la combinaison avec l'équation différentielle (7) don- 
nera 

dx dy dz 



30 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Le premier membre de cette équation est un polynôme 
entier. Puisqu'il s'annule pour tout système de valeurs de x^ 
y, z, tel que l'on ait/=o, il sera divisible par/; on aura 
donc identiquement 

OJ^ ôy oz ^ 

K étant un polynôme entier, de degré évidemment égal 
à m — I . 

Telle est donc l'équation de condition cherchée, laquelle 
peut encore s'écrire ainsi 

27. Pour tout point singulier de l'équation différentielle, 
on aura 

P = 0, Qzzro, R==o, 

d'où 

L_ M _ N 

• ^ "~ 7 ~ ^ * 

Soit \ la valeur commune de ces rapports. On aura 

L = X^, M=:X/, N=zX,s. 
Substituant ces valeurs dans (lo), il viendra 

"=('-j)('£-4-40=''>-''"' 

Les points singuliers seront donc de deux sortes : 
i" Ceux qui sont sur la courbe /= o; 
2*^ Ceux qui ne sont pas sur cette courbe, et pour lesquels 
on aura nécessairement 

p\ — Kn= o. 

Dans le cas où la courbe /n'a pas de point multiple, il est 
aisé de déterminer le nombre des points singuliers de la pre- 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 3l 

mière sorte. En effet, ~y ^j -r^ ne pouvant s'annuler simul- 
tanément, l'équation (lo) donnera, d'après un théorème 
d'Algèbre connu (Darboux, Bulletin des Sciences mathé- 
matiques, 1^ série, t. II), 



N 



P àf 


-'I- 


P dz 


-<.- 


p Occ 


-"1 



et, par suite, 



'■=("|-«g)-(-£-"|> 

R =pWf- (U.^ 4- V/ + W:;) ^, 

U, V, W étant des polynômes de degré évidemment égal 
à m — p H- i . 

Ces équations montrent immédiatement que les points sin- 
guliers cherchés sont les intersections de la courbe /=: o avec 
la courbe de degré m — /> -h 2 

U.27 + V/ + W-s = o. 

Leur nombre sera donc 

p{m -p -h 2). 

28. Gela posé, nous allons établir que, si l'on connaît un 
nombre suffisant d'intégrales particulières algébriques, on 
pourra en déduire l'intégrale générale de l'équation pro- 
posée. 

Soient f=Ojfi = o, ... ces intégrales particulières; /?, 



32 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

yo,, ... leurs degrés respectifs. En posant, pour abréger, 

L-^-|-M-r-+N— nrA, 

oa^ oy dz 

on aura (26) 

A/=.K/, A/,= K./„ .... 

La fonction cp = f^f^', . . . satisfera à une équation ana- 
logue ; on a, en effet, 

A? = ^y¥+^i-f Vi + ---= («K 4- a^K, + ...)?. 

Si les constantes a, a,, ... peuvent être déterminées de 
telle sorte qu'on ait 

(II) .KH-a,K,+...= -(^-4-^^--t--^j 

et 



(i2) ^p-i-'^iPi 



l'expression o sera un multiplicateur qui rend différentielle 
exacte le premier membre de l'équation différentielle. 

En effet, il faut et il suffit pour cela qu'on ait les trois 
équations de condition 

acp(M^ — N/) _ d^{^x — hz) 
df do) 

Développant et remarquant qu'en vertu de l'équation (i 2) 
o est une fonction homogène de degré — m — 2, d'où 

(?cp ^cp d-^ , . 

dx '^ dy dz ^ 

ces trois équations se réduiront à l'équation unique 

que nous supposons satisfaite. 

Les deux membres de l'équation (11) étant des polynômes 
homogènes de degré m — i, leur identification donnera 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. ' 33 

m(m + 1) , . 1 i- • i- ^- , \- ' ' 

— ^- équations de condition distinctes, linéaires en a, 

a,, .... Le nombre total des conditions à remplir sera donc 

m(m-^\) ^ . , pp ' ' 1 j ' . m ( m + 1 ) 

— -^ -f- I , et il sulhra, en gênerai, d avoir — ^ -f- i 

intégrales particulières pour obtenir un multiplicateur et en 
déduire par quadrature l'intégrale générale. 

29. Ce résultat serait en défaut si le déterminant des équa- 
tions de condition était nul; mais, dans ce cas, on pourrait 
déterminer les quantités a, de telle sorte qu'on eût 

( aK -h ajK. -h. . .-= o, 

(f3) 

( a.p -+- ai/?i -h . . . =: o. 

Or il est aisé de voir que, si ces conditions sont satisfaites, 
cp z=:z const. sera l'intégrale générale de l'équation proposée. 
En effet, o étant homogène et de degré zéro, on aura 





do do do 
dx -^ dy dz 


)'autre part. 






T do ,- do -, do 
ox oy oz 


ou 






d^ d<^ d<f 
dx dr dz 



Mz — Ny N^ — L^ Lj — M^ 

De ces relations combinées avec l'équation différentielle 

on déduit 

do j do do , j 

oi=z --^ dx 4- -^ dy -\- ~~ dz z::^ do, 
dx dy -^ dz 

d'où 

cp = const. 

Les équations (lo) équivalant a h i équations 

linéaires et homogènes en a, a,, . . . pourront toujours être 

satisfaites si le nombre de ces quantités est au moins égal à 

J. — Cours, III 3 






34 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

— ^^ h 2. Mais, dans la plupart des cas, les équations 

de condition ne seront pas distinctes, ce qui réduira le 
nombre des solutions algébriques nécessaires pour l'applica- 
tion de la méthode. 

En effet, pour que le polynôme aK 4- a, K, -h . . . soit 

,j . ^ , ., r.p^ ,.1 , 1 m(m-hi) 
identiquement nul, il sutiit qii il s annule pour — ^^ 

points Xj j', z', x^^ yi, Zi] ...; car on obtiendra ainsi 

m(m 4-i) , . ,. , . ^ , , ^ ^ 

— ^^ équations linéaires et homogènes entre ses coei- 

fîcients. Ceux-ci seront donc nuls, à moins que le détermi- 
nant de ces équations ne soit nul (ce qui aurait lieu dans le 
cas où les points considérés seraient tels que toute courbe 
d'ordre m — i qui passe par quelques-uns d'entre eux passe 
nécessairement par les autres). 

Gela posé, soit x^ y, z un point singulier qui n'appartienne 
à aucune des courbes/, /, .... On aura, pour ce point, 

Kz=z\p, K, = X/?i, ..., 
d'où 

L'équation de condition aR + a, R, -f- . . . = o, relative à ce 
point, fera donc double emploi avec l'équation 

ap-\- (x^p^-\-. . .— o. 

Si donc il existe q points singuliers qui n'appartiennent à 
aucune des courbes /, /<, ... (et qui ne soient pas tels que 
toute courbe d'ordre m — i, qui passe par quelques-uns 
d'entre eux, passe nécessairement par les autres), on pourra 
les prendre dans la série des points x, y^ z] x^, y\^ z^'^ . . ., 
Dour lesquels on doit exprimer que aR + a,R,-|- ... s'an- 
nule, et le nombre des équations de condition distinctes se 

réduira à — ^^ \- \ — ^.11 suffira, pour y satisfaire, d'a- 

. w ( m -h i ) . , , ' ^'^ 1 ' i • 

voir — ^^ 4-2 — q intégrales particulières algébriques. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 35 

30. Supposons, par exemple, que l'on connaisse [jl inté- 
grales algébriques /= o,/, = o, ... sans points multiples, 
ne se touchant mutuellement nulle part, et telles que la 
somme /> -f-/?i 4- . • . de leurs degrés soit égale à m-\-i. 
Nous pourrons construire l'intégrale générale. Il suffît en 
cfTet, pour cela, qu'on ait 

{x>— ^^ 4-2-^. 

Pour vérifier que cette équation est satisfaite, nous remar- 
querons que chacune des courbes (données, telle que/, passe 
par p[jn-\-i — p) points singuliers, qui sont précisément 
ses points d'intersection avec les autres courbes du système. 
Chacun de ces points se trouvant sur deux de ces courbes, 
leur nombre total r sera 

2j 2 2 2 r • 

Le nombre q des points singuliers qui ne sont sur aucune 
de ces courbes sera donc 

(m H- 2)- 
m^ -h m 4- I — ^ -h \ S/»-. 

Substituant dans l'équation de condition précédente, elle 
devient 

Le cas le plus défavorable pour l'existence de l'inégalité ci- 
dessus est celui où tous les nombres p sont égaux à l'unité. 
En effet, si nous remplaçons un de ces nombres p par deux 
autres p' et p" , tels que l'on ait p' -\- p" z=iz p ^ ji. sera accru 
d'une unité, et^S/>^sera diminué de^(/?^ — p''^ — p''-)~j= p' p\ 
quantité au moins égale à i. 

Or, si tous les p sont égaux à l'unité, on aura 

[i. = 2/>- = /n -h 2 , 

et les deux membres de l'équation sont égaux. 



36 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1. 

31. Considérons, comme application, l'équation de Jacobi 

{ax + 6/4- cz) {ydz — z dy) 

-^ {a' X ^ b' y -\- c' z) {z dx — œ dz) 

-h {a" X + b"y ^ c" z) {x dy — y dx) — o. 

Cette équation admet trois droites comme solutions parti- 
culières. En effet, la condition pour que la droite 

f^=.ux^vy-\- wz =-- o 

soit une solution sera, d'après la théorie précédente, 

{aX'i- by -^ cz)u ^ {a! x-\- b' y -\- c' z)v + {a!' x -h b" y 4- C' z)sv 
zzz- k{ux -\- çy 4- wz), 

/r étant une constante. 

Cette équation donne les trois suivantes 

!aa -\- a' i^ -i- a"iv =z. ku, 
bu-^b'^>-^b"w^-kv, 
C« 4- C' (^ 4- C" W :rr ki\', 

d'où l'on déduit pour k l'équation du troisième degré 



a — k a' 

b b'—k 

^1 



a" 

b" 

c"— k 



Soient A",, k^^ k^ ses trois racines. A chacune d'elles k^ 
correspond une droite /p, pour laquelle les rapports des coei- 
lîcients ii, v^ iv seront déterminés en fonction de kp parles 
équations (i4)- 

Cela posé, l'intégrale générale sera 

a,, oL.j, oL-i étant déterminés par les relations 

a, /ci 4- a, /tj 4- «3 /.g --~ o, 



a, -\- aj 



O, 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 87 

auxquelles on satisfera en posant 

32. Les équations différentielles 

où la dérivée y' se trouve à un degré supérieur au premier, 
exigent, pour être traitées par les méthodes qui précèdent, 
la résolution préalable de l'équation par rapport à y' , ce qui 
peut présenter de graves difficultés. Mais on pourra, dans 
certains cas, se dispenser de cette opération par l'introduc- 
tion de variables auxiliaires. 

33. i" Considérons d'abord les équations qui ne contien- 
nent que la dérivée y' et une seule des variables x^y. 

Ces équations sont des deux formes suivantes 

/(^•,/) = o ou /(j,/) = o, 

suivant qu'elles contiennent la variable indépendante x ou la 
fonction inconnue y. Mais ces deux types d'équations se ra- 
mènent immédiatement l'un à l'autre en prenant la fonction 
pour variable indépendante, et réciproquement. 

Nous nous bornerons donc à considérer les équations de 
la forme 

Si l'on sait exprimer j" qI y au moyen d'une variable auxi- 
liaire u par deux équations 

y^o{Li), y'=.^{u), 

dont le système soit équivalent à l'équation unique (i5), l'in- 
tégration sera ramenée aux quadratures. On aura, en effet, 

dx--i^- t^ du 



38 TnOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 

d'où 



^ /•?'(» 

X +(«: 



du -1- const. 



avec 



7 — ?(")• 

Ce cas se présentera en particulier si l'équation (i5) re- 
présente une courbe de genre o ou i , lorsque Ton y consi- 
dère j, y' comme les coordonnées d'un point. Les fonctions o 
el^ sont alors rationnelles ou elliptiques, de telle sorte que 
les intégrations pourront se faire. 

Considérons, par exemple, l'équation 

j" — /'+ 7' = ex- 
posons jr= uj'; substituant et supprimant le facteur jk'-^ il 
viendra 

y—i — u-, y—u — u^, 
du 



Ç i — ^u^ 
J I — «' 



= / ( 3 H ^- -—) du = 3u -h log~ ^- -+- c. 

u — i u-i-ij "^ u -{- 1 

34. 2° Il existe une classe assez étendue d'équations diffé- 
rentielles qu'on peut intégrer à l'aide d'une différentiation 
préalable. 

Considérons, en effet, l'équation 

On en déduira, par la différentiation, 

df^^Jœ-^f^dy+pdy^o. 

Prenons j^' pour variable auxiliaire; nous aurons la nouvelle 

équation 

dy — y' dx i=r o 

qui, combinée à la précédente, donnera un système de deux 
équations simultanées pour dé terminer j^,jk'. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Sq 

Supposons qu'on soit parvenu à déterminer des multipli- 
cateurs M, N, tels que l'on ait 

M df-\- N{df—y dœ) = ^cp, 

do étant une différentielle exacte. 

Les équations /= o, dy — y' dx = o seront, en général, 
équivalentes aux deux suivantes : 

/=o, d'^ — O 

ou 

fzzzzO, C5— e. 

On n'aura plus qu'à éliminer y' entre ces deux dernières 
équations pour avoir la relation qui lie x^y et la constante 
arbitraire c. 

Les deux systèmes d'équations cesseraient toutefois d'être 
équivalents pour les valeurs de x^ y-,y'^ qi»i rendraient N nul 
ou infini, ou M infini. De là peuvent naître des solutions sin- 
gulières. 

33. Considérons, par exemple, l'équation 

7 = ^/(7') + ?(/) 
linéaire en x et 7. 

On en déduit, par différentiation, 

(16) / dx =/{/) dx + [x/'{y') -H cp'(/)] dy'. 

Cette équation étant linéaire en x et --j—,^ on peut en déter- 
miner un multiplicateur, et son intégration donnera x en 
fonction de la variable auxiliaire jk'. Cette valeur, substituée 
dans l'équation primitive, donnera la valeur dey. 

Un cas particulier digne de remarque est celui de l'équa- 
tion de Clairaut, 

7 = ^^/+ ?(/')• 

L'équation auxiliaire (16) se réduit dans ce cas à 



40 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

En égalant à zéro le facteur dy ^ on aura 

y—c 

et, en substituant cette valeur dans l'équation primitive, 

y =rr ex -h o(c). 

La solution générale représente donc un système de droites. 
On aura une solution singulière en posant 

.r + cp'(7')=o. 

Cette équation, associée à l'équation primitive, représente 
évidemment l'enveloppe des droites fournies par l'intégrale 
générale. 

36. L'équation différentielle 

('") •^77'^+ (.^^— r^— Ah-B)j'~^7 = o 

peut se ramener à l'équation de Glairaut, en posant 

d'où 

2 X dx =: du^ iy dy z=: dv] 

X dx du ' 

^ y 



y 

X 

successivement 



Substituant dans la proposée et multipliant par — > il vient 



iiv'^ -\- {u — {> — A -h B ) t^' — P ==: o, 
, B-A , 

I -H v' 



L'intégrale générale sera 



B-A 

v^cu-\ c 

I-hC 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 4* 

OU 

y--=z cx^-\ C. 

I-hC 

Posons maintenant 

c — — , 

A-+-X 

). étant une nouvelle constante. L'équation précédente de- 
viendra 

et représentera un système de coniques homofocales, ce qui 
concorde avec un résultat trouvé dans le Calcul différen- 
tiel (t. I, n«167). 

37. Supposons qu'en intégrant par divers procédés une 
môme équation différentielle 

da: ' 

on ait obtenu deux solutions générales, de la forme 

cp =: const., 
cpi = const. 

On aura, comme nous l'avons vu (13), une relation de la 

forme 

?i = F(cp). 

On peut déduire de cette remarque une démonstration 
nouvelle des propriétés fondamentales de plusieurs fonctions 
transcendantes. 

38. Considérons, en effet, l'équation différentielle 

dx dy 

a; y 



L'intégration directe donnera 

log^ 4- \o^y = const. 



/[îî TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

D'autre part, l'équation peut s'écrire 

o = jK dx -\- X dy ^=^d. xy 
et donne 

xy =z const. 
On aura donc 

log^4-log7 = cp(^/). 

Pour déterminer la forme de la fonction ^, posons 

il viendra 

logo? == ^{x). 

On aura donc, en général, 

log^ + log/ = log^jK. 

39. Considérons en second lieu l'équation 

dx dy 

. -h , ' = o. 

\/i — x^ yi— 7^ 

L'intégration directe donne 

arc sin x H- arc siny = const. 

D'autre part, chassons les dénominateurs et intégrons ; il 
viendra 

j dx\/i — y^-h j dy^i — x^z==L const. 
et, en intégrant par parties, 

xJi — y^-hVi/i — x^-^ I xy 1 -—=:= 4- ^ =^ — 



= const. 



L'intégrale qui reste ayant tous ses éléments nuls, en vertu 
de l'équation différentielle, on aura simplement 



■^ V^^ — /^ + / V^^ — ^^=: const. 
et, par suite, 

arc sina7 ■+• arc sin j = <f{x^i — /^-h/V^i — ^^). 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 43 

Posons 

j = o; 

cette équation se réduira à 

arc sinx z=z o{ûo). 

Donc la fonction cp est un arc sinus, et l'on obtiendra la for- 
mule fondamentale 

arc sin^ -f- arc sinj = arc sin(^ ^^i — /^4-/V^i — ^0» 

40. Considérons enfin l'équation différentielle 
do! dy 



où 



A(^) =: V/(I-^2)(I- A-y ). 

L'intégration directe donne 

F(^) 4-F(/) =:const., 

F désignant l'intégrale elliptique de première espèce. 

Mais d'autre part, cette équation étant un cas particulier 
de l'équation d'Euler, admet une intégrale générale algé- 
brique (t. II, n°^ 498-501). Voici un nouveau procédé pour 
l'obtenir, indiqué par M. Darboux. 

Posons 

dx dy 

t étant une variable auxiliaire. On en déduira successivement 



/ dnc \ 2 



44 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

et, en dérivant par rapport à t^ 

-^ — 2 k-x^— (j + k'^)x, 



puis 



d'-y 



d'-x d^ y 

y~dF'~^'d¥ ik'xr 



d^x d^y / dx dy 



'^ dt- dt 



,„ ( dx dv\ 



dx dy I — k^x^y- 

y —, — ^ -y- 

-^ dt dt 

et, en intégrant, 

, / dx dy\ , , /, o «X 



dx dy 

rri: COnSt.. 



y —, — ^ , 
-^ dt dt 



\ — k'x''y^ 

et enfin 

y L{x) -V X !^{y) 



= const. 
— k^x^y^ 



On aura donc 



y J \J ) .y i — k'-x^y^ J 



Posons 

yz^o; 

cette équation se réduira à 

F{x) = o(x). 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 4^ 

On aura donc 

Posons 

œ r=:snu, y z::z snç, d'où Aœ ^= cnudnu, I^y ~ cnç dnç. 

Nous retomberons sur la formule connue 

sn w en p dn ç -^ snç en u dn a 



sn (w H- (^) = 



I — • /:^sn^ asn^t^ 



III. — Systèmes d'équations simultanées. 

41. Tout système d'équations difFérentielles simultanées, 
entre n + i variables œo, . . . , Xn, peut être ramené, comme 
on l'a vu, au type normal 

CLJOq CtJOn 

X , , , . . , X,j étant des fonctions de ^o? • • • ^ ^/z- 
Ces équations étant mises sous la forme 

(r) ¥,,=.dœk — X},dxQ — o {k ■= i, . . . , n), 

cherchons à en déduire une combinaison 



dont le premier membre soit une différentielle exacte Jco. 
L'identité 

Ljk ox^ dx„ 



donnera 



~2/'-^'"-5:^ 



Eliminant les [i., on aura, pour déterminer o, l'équation aux 
dérivées partielles 

(.) fL^y x,^=o. 

o-^o Ad/c àxk 



46 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE T, 

42. L'intégration de l'équation (2) et celle du système (1) 
sont deux problèmes équivalents. 

En effet, si, par un procédé quelconque, on est parvenu à 
obtenir une solution générale du système (i) (^ ), représentée 
par n équations 

(3) 4.,=:o, ..., 4^„ = o, 

entre Xq^ . . . , ^/^ et ^ constantes arbitraires c,, . . . , c,,, on en 
déduira aisément toutes les solutions (ou intégrales) de 
l'équation (2). Résolvons, en effet, les équations (3) par 
rapport à c», . . . , c« ; elles prendront la forme 

(4) ?i = c,, ..., ^n^c„. 

D'ailleurs, les premiers membres cp< , . . . , cp^^ de ces équations 
seront des fonctions distinctes de Xq, . . ., Xn^ c'est-à-dire 
qu'elles ne seront liées par aucune relation; car, si une sem- 
blable relation existait, les équations (4) ou les équations 
équivalentes (3) seraient incompatibles, sauf pour les sys- 
tèmes de valeurs des c qui satisfont à cette même relation, 
et, pour ces systèmes de valeurs, elles cesseraient d'être dis- 
tinctes. 

Gela posé, les équations (4) donnent, par différentiation, 

<icpi =0, . . . , d'o,i = o. 

Ce système devant être équivalent au système (i), on aura 
des équations de la forme 

doi^\ î4F^. 



'^=L=^ 



Donc cp,, . . ., (^n seront des intégrales de l'équation (2). 

Soit maintenant y une autre fonction quelconque de 
Xq^ . . . , Xn^ qui soit distincte des précédentes. Si nous trans- 
formons l'équation (2), en prenant pour variables indépen- 



(•) On verra dans la Section V qu'il existe toujours de semblables solu- 
tions. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 4? 

dantesjK, cp,, . . . , cp,,, elle prendra la forme 

Mo -T^ + Ml -T-^ + . . . H- M„ -r-i- = o. 

Mais elle admet pour intégrales cp< , . . . , cp,, ; donc 
Mi = o, ..., M,i = o. 

L'équation se réduira donc à -r^ = o. Donc, pour qu'une 

fonction o=:F{y, ...,cp„) satisfasse à cette équation, il 
est nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne pas y. La 
forme générale des intégrales cherchées sera donc 

où F est une fonction arbitraire. 

Réciproquement, supposons que nous ayons déterminé 
n intégrales distinctes cp,, . . . , Qp„ de l'équation (2); on aura 



^f'=S/^- 



Ff, (t — 1,2, 



(ji[ , . . . , ij.)J étant des fonctions de x^), . . . , x,i^ dont le dé- 
terminant n'est pas nul, car il ne doit exister aucune rela- 
tion linéaire entre d'^\, . . ., d'^n' Le système (i) sera donc 
équivalent ( ' ) au système 

dont on obtient immédiatement la solution générale 

43. Nous appellerons, d'après Jacobi, multiplicateur le 
déterminant \k des coefficients 

a'" - ^"^^ . 



(') Sauf pour les systèmes de valeurs des variables qui rendraient infinis 
les coefficients [x ou qui annuleraient leur déterminant. Ces systèmes devront 
être considérés à part. 



48 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Si l'on remplaçait le système des intégrales co, , . . . , 'Z),i par 
lin autre système d'intégrales distinctes ^i(^i , . . . , cp„), . . . , 
y/i((p, , . . . , cp,;), on obtiendrait évidemment un nouveau 
multiplicateur [J.J, J désignant le jacobien de ']>,, , . . , ^,i par 
rapport à cp,, . . ., ^,,. 

Ce jacobien est une fonction de cp,, ..., cp,^, qui peut 
d'ailleurs être arbitraire. En effet, F désignant une fonction 
arbitraire de cp4, . . ., cp/^, que nous supposerons contenir cp< 
par exemple, il suffira de poser 



h: 



F^'fn '^^ 



^a^ 



pour avoir J == F. 



44-. Soit j^ l'un des nombres 
ce que devient le déterminant 






Désignons par Dp 



(j.~ 






dXn 

dx„ 



lorsqu'on y remplace les éléments y^ ( 

Ar. 

les éléments -^ - Gomme on a 



dxo 



1 



d<^i 



k OXi, 



il viendra évidemment, en supprimant les termes qui se dé- 
truisent, 



On en déduit 



d\i. 



Dp zzzz — [-«-Xp. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 49 

Or le second membre de cette égalité est nul; car, en 
eiïectuant les calculs, on voit immédiatement que c'est une 

fonction linéaire des dérivées secondes -r ~ — , •• • , et que 

aooidxfc ^ 

lune quelconque de ces dérivées a pour coefficient la 
somme de deux déterminants qui ne diffèrent que par 
rechange de deux colonnes, et qui, par suite, se détrui- 
sent. 

Le multiplicateur |Ji satisfait donc à l'équation aux déri- 
vées partielles 

Réciproquement, toute solution |ji' de cette équation est 
un multiplicateur. Posons, en effet, ^' = tjLV. L'équation de- 
viendra, par la substitution de cette valeur de [a', 

\ ôxq ^k àxj, 



\àx^ Zjk àx 
Donc V est une intégrale, et l^-' = [Jt-v un multiplicateur. 



dxo Zuk '' àxk) 



45. Supposons que nous ayons réussi à déterminer seule- 
ment i intégrales distinctes cp^ ..., cp^ de l'équation (2), 
/ étant << n. Soient jto, • • • ? Jn-i des fonctions de .2:0, . . . , 
x,,^ qui, jointes à celles là, forment un système de /i -f- i 
fonctions distinctes. Si nous prenons les cp et les y pour va- 
riables indépendantes, les équations F/f prendront la forme 

F, --^^Mâ dy^ -i-^ N^ ch^ = o 
(a — o, ..., /i — /; p — 1,2, .. .,/), 

En les résolvant par rapport à dy\^ - - ..i/cp,, . . ,, on ob- 
J. — Cours III. li 



56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I, 

tiendra un nouveau système équivalent ■ ■ • 

^ G,^,= a\^'F,-h...-^a^'F,, = dy, -Y,dy, =0, 

G„ =a'lFi 4-... + <F/, =dy„_i — Y,,_idfQ=o, 

Les i premières équations de ce nouveau système donnent 
immédiatement 

cpi =i:z const., ..,, (p„ ^=; const. 

Il ne restera donc plus qu'à intégrer le système d'ordre 
//. — / formé des équations 

(7) G/^l=:0, ..., G,i— o, 

où O), ..., 0,1 doivent être considérés comme des con- 
stantes. 

Les multiplicateurs tx' du système (6) s'obtiennent évi- 
demment en divisant ceux du système (i) par le déterminant A 
des coefficients a. 

D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles qui les caracté- 
rise, se réduisant à 

àfo àfi '" dfn-i ' ' 

montre qu'ils sont des multiplicateurs du système (7). Si 
donc on connaît un multiplicateur [a du système primitif, on 

en déduira un multiplicateur - du système réduit (7). 

Il résulte de là que, si l'on connaît n — i intégrales et un 
multiplicateur du système (i), la fin de l'intégration s'ob- 
tiendra par de simples quadratures ; car la question se 
ramène à intégrer une seule équation du premier ordre, dont 
on connaît un multiplicateur. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 5l 

46. On a souvent à étudier des systèmes d'équations diffé- 
rentielles dont on peut déterminer facilement un multipli- 
cateur. Le cas le plus simple et le plus important en même 
temps est celui des systèmes d'ordre un et de la forme sui- 
vante 

(8) dxi—-^dt, dpi — —^dt {i — i,2,...,n), 

où 'h désigne une fonction connue des 2n variables 0:4, . . . , 

^/i 1 P \^ • • • 5 Pn • 

Ces systèmes sont connus sous le nom de systèmes cano- 
niques. Ils se rencontrent dans les plus importantes questions 
de la Mécanique. 

D'après la théorie précédente, leurs intégrales cp et leurs 
multiplicateurs p. seront déterminés par les équations aux 
dérivées partielles 



X 



dt ^1 \d3Ci dpi dpi dxi 
et 




àpi J 

il est clair qu'on satisfera à cette dernière équation en posant 
simplement [j. = i . 

Parmi les intégrales, nous distinguerons de préférence 
celles qui sont indépendantes de t\ elles seront données par 
l'équation 






dxi dpi dpi dJCi 



laquelle admet 2/2 — i solutions distinctes^ en fonction des- 
quelles toutes les autres peuvent s'exprimer. 

Si l'on a déterminé 2n — 2 de ces solutions, cpi, . . ., ^2«-2) 
on pourra achever l'intégration par de simples quadratures. 

En effet, soient jk^JKi deux fonctions quelconques des x^, 

Xn, p\, . . . , /?/2, distinctes de cpi , . . . , ^2«-2- Prenons pour 
variables indépendantes les :p etlesjK à la place des x et des/?. 



Sa TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Il nous restera à intégrer un système de deux équations, 
de la forme 

dt =Y^df, 

et dont nous connaîtrons un multiplicateur. 
Ce multiplicateur ^' satisfera à l'équation 

àf dy, "^ dt " ''• 

Mais tous les éléments qui entrent dans le calcul de [jl', Y|, 
Y2 sont indépendants de t\ donc Téquation précédente se 
réduira à 

dy âyi 

et [Jl' sera un multiplicateur de l'équation 

dyr-^Y^dy. 

On pourra donc intégrer cette équation par quadrature, et 
obtenir ainsi r< en fonction de y. Substituant cette valeur 
dans la seconde équation, on aura t par une dernière qua- 
drature. 



47. L'expression 

Zji \à^i dpi ôpi dxi) 



qui forme le premier membre de l'équation (g), se représente 
ordinairement par (d, o). De la définition de ce symbole 
l'ésultent plusieurs propriétés importantes, parmi lesquelles 
nous signalerons les suivantes : 

(10) (c, cp)t=o (c étant une constante), 

('0 (4^)?) = o (si cp et «j; sont indépendants des/?), 

(12) (cp, ^) —— (4;,cp), 

(13) (cp, cp)rz:0. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 53 

Les formules (lo) à (i4) résultent immédiatement de la 
définition du symbole (t{;, (p). Pour vérifier la relation (i5), 
on remarquera que son premier membre développé est formé 
de termes dont chacun est le produit d'une dérivée du second 
ordre de Tune des fonctions cp,, cp2, <} par des dérivées du 
premier ordre de chacune des deux autres fonctions. 

Considérons, par exemple, les termes qui contiennent les 
dérivées du second ordre de <]>; ils seront de l'une des formes 



dxidpk àfi dxi, dxidpk dxf^ dpi 

ôxièxk dpi dp// dpidpk dxt dx/,' 

et proviendront exclusivement des deux derniers termes de 
l'équation (i5). 

On vérifie, d'ailleurs, aisément que chaque terme de l'une 
des formes ci-dessus provenant du second terme de l'équa- 
tion est détruit par un terme correspondant provenant du 
troisième. 

48. De la proposition que nous venons d'établir découle 
celte conséquence importante, connue sous le nom de théo- 
rème de Poisson : 

Soient cp,, cp2 deux intégrales quelconques de l'équation 
aux dérivées partielles 

(4;, cp) = 

(où 'i> est une fonction donnée); l'expression (^«,^2) sera 
une nouvelle intégrale. 

En effet, des identités 

(d;, cpi) — O, (J/, cp2)=0, 

que l'on suppose satisfaites, on déduit immédiatement 

((4^J?l),?2) = (0, 'f2)=zO, 

((?2, ^), ?l) =— (('1^, ?2), ?l) = - (O, 'f,) := O 



54 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I, 

et, par suite, • V '^ ' ; ; 

Supposons donc que l'on connaisse un certain nombre 
d'intégrales distinctes cp^, . . . , cp^ de l'équation proposée, on 
en déduira de nouvelles intégrales (cpi, (^2), • • -, (^A_n Ok). 
Si ces nouvelles intégrales sont des fonctions de cp,, ..., 
<p/f, cela n'apprendra rien de nouveau; mais, si quelqu'une 
d'entre elles ^y^-^i est distincte des précédentes, on pourra la 
leur adjoindre, puis refaire la même opération sur le système 
<p<, 02, . . ., ^/f+M et ainsi de suite, tant qu'on trouvera de 
nouvelles intégrales distinctes de celles déjà connues. 

49. Revenons à la théorie générale des systèmes d'équa- 
tions simultanées de la forme (1). Si, dans un semblable sys- 
tème 

(16) F,=.o, ..., F,:^o, 

nous changeons Xq^ ...^Xn en ^o + ^io? ^/<+£^«? 

ioi • . . , \n étant des fonctions de x^, . . . , Xn^ et £ étant un 
paramètre infiniment petit dont nous négligerons le carré, 
nous obtiendrons de nouvelles équations 

(17) Gi=:=o, ..., G„:=o. 

Si ces équations transformées sont des combinaisons 
linéaires des équations primitives, telles que 

(18) G/=:«,,.F, 4- ... -ha,,/ F,, (/zr. I, ...,/i), 

nous dirons que le système (16) admet la transformation infi- 
nitésimale ^o> • • • 7 5/2' 

L'étude de ces transformations infinitésimales se lie inti- 
mement à celle des intégrales et des multiplicateurs du sys- 
tème proposé. Nous remettrons l'examen de cette question à 
Ja Section suivante, où elle se présentera sous une forme plus 
générale. Nous nous bornerons pour le moment à montrer 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 55 

que l'ordre du système peut être abaissé, si l'on connaît une 
transformation infinitésimale ^o^ • • •) ^/n telle que l'équation 
aux dérivées partielles 

puisse être intégrée. 

Soient, en effet, ri , . . . , JK« les /i intégrales distinctes de cette 
équation. Lorsque ^05 .-., ^/i seront changés en ^o-j- e^o, ..., 
^/i-+- ^^/n y\-> ' • ' , y II resteront invariables; car j^^- se trouve 
accru de la quantité 

Soit, d'autre part, r\ ce que devient ^o lorsqu'on l'exprime 
en fonction de Xq, jKn • • • , JOn et posons 



-/ 



dûOQ 



y M -''^yn étant traitées comme constantes dans l'intégra- 
tion. 

La transformation infinitésimale donnée, accroissant.ro d(' 

zr\ sans altérer j/^ , • • . , fn^ accroîtra yç, de ev] -^ — = s. 

Si donc nous prenons pour variables indépendantes y^j 
yt, . . ., y/ij le système transformé ne variera pas quand on 
accroîtra y^ de s, sans changer les autres variables. 

Gela posé, les équations de ce nouveau système, résolues 
par rapport aux différentielles dy^^ . . . , dy,i, donneront un 
résultat de la forme 

rf/o- Y^ Y^ 

Pour que ce système se reproduise quand on accroît yo 
d'une constante e sans altérer les autres variables, il faut 
évidemment que ¥4, ... Y,i soient indépendants de yQ. 



56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Il suffira dès lors, pour intégrer ce système : 
i" D'intégrer le système d'ordre n — i 

dy^ _ _ dy,, 
Yi Y,/ 

ce qui donnera JK2, • • • , y'n en fonction de r, ; 
2** De substituer ces valeurs dans l'équation 



dy^ 



dyx 
Y7' 



laquelle donnera jo par une simple quadrature. 

50. Parmi les cas d'intégrabilité de l'équation (19), le plus 
simple est celui où les variables sont séparées, ^0 dépendant 
de Xq seulement, \^ de x^ seulement, etc. Le système 

(20) • ^"- ==...=. ^% 

d'où dépend l'intégration de l'équation (19), s'intègre alors 
par de simples quadratures, et l'équation (19) admettra les 
intéijrales suivantes : 



/i ^ 



/dx^ r dxQ 
17 ^j X 



/ dx„ r dx„ 
in J io ' 

1° Supposons, par exemple, que Ho, ... , kn soient des con- 
stantes. Il faudra, pour réduire le système, prendre pour 
nouvelles variables les quantités 

X^ Xq X^ Xq 

et 



17 



U 



2° Surposons, en second lieu, $0=—' *••» L = -' 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. ^J 

<2o, . . • , a,i étant des constantes. Les équations (20) devien- 
dront 

On en déduit 

aolog^o — a/ log^/= const. (/= i, . . ., /i) 
ou, ce qui revient au même, 

— ^ =: const. 
x%^ 

Il faudra donc prendre pour nouvelles variables 



C dxQ , 

Jo— / «0 =aolog^o. 



51. Lorsqu'on a une équation unique 
d^y ^( dy d"- 



dx"' -^ \ ' -^ ' dx dx" 

il est généralement avantageux delà remplacer par le systèmii 
simultané 

(^^)| = -^' %-y'^ ■■■' ^■-/(-,/-7'.-./"-'). 

Ce système est susceptible d'abaissement, d'après ce qui 
précède : 

1" Si l'équation primitive (21) est homogène par rapport 
à j^ et à ses dérivées; car le système (22) admettra évidem- 
ment la transformation infinitésimale qui remplace jk, J'', ... 
par y -\- sjk, Jk'+ ^y', • • • , sans altérer ^• 

2" Si l'équation primitive se reproduit à un facteur près, 
lorsqu'on y change x et jk en x-\-s.x, y-^^y\ car le sys- 
tème (22) admettra la transformation infinitésimale qui rem- 
place X, 7, y, y", ..., 7"-< par x-\-tx, y-h^y, /, 

r"-'^y% ...,7«-'-(/z-2)£jK"-^ 



58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

3° Si l'une des deux variables x, y ne figure pas explici- 
tement dans l'équation primitive; car cette variable ne figu- 
rera que par sa difFérentielie dans le système (22) et pourra 
se déterminer par une simple quadrature, quand on aura in- 
tégré le système d'ordre n — i, obtenu par l'élimination de 
cette différentielle. 

Sa. Si nous supposons que, non seulement y^ mais ses 
k — I premières dérivées ne figurent pas explicitement dans 
l'équation primitive, on n'aura, pour déterminer j^^, ...,jr''~<, 
qu'à intégrer un système d'ordre n — k 

dx -^ ' •••' dx -j^'^^y ' •••.7 )• 

Ayant ainsi déterminé j'^, on trouvera, par une série de 
quadratures, 

puis 

expression que nous représenterons par la notation suivante : 

yk-1 -— J yk fl^t ^ 

On trouvera de même 

y^~^ =■ fy^'~^ dx r= fy^' dx^ 

et enfin 

y^fy^dxK 

53. Ces quadratures successives peuvent être remplacées 
par une quadrature simple. 

Soit, en effet, f{x) la valeur trouvée pour y^ en fonction 
ôe X. On aura, pour déterminer jk, à intégrer l'équation 

Or on reconnaît aisément que cette équation admet, comme 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES OUDINAIRES. 5vJ 

solution, l'intégrale définie ... . . ^ / 

Prenons, en effet, les dérivées successives de cette expres- 
sion par rapport au paramètre x\ il viendra, en remarquant 
que f{t){x — tY~^ et ses k — 2 premières dérivées par rap- 
port à X s'annulent pour t ^= x^ 

^--......'(A-.)r/(^)(— ^)^-^-^^' 



£^'=//(o^', 



Posons maintenant jK = jKi -4- ^ dans l'équation proposée ; 
il viendra 



d'où Zz=:P/._^, 



P/v_i désignant un polynôme arbitraire de degré k — i . 

La solution la plus générale de l'équation proposée sera 
donc 

r = /i + Pyt-i. 

54. Considérons l'équation du second ordre 



On aura le système 



^-f(r y ^^ 



dy , 



Sous cette forjne, il est aisé de voir que l'intégration 
peut être ramenée aux quadratures, toutes les fois que la 



6o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

fonction / n contient qu'une seule des trois quantités 

^^ y^ y- 

1° Si /ne dépend que de x^ la seconde équation don- 



nera 



y= / f{oc)dx^c, 
et l'on trouvera ensuite 



■J ydx-\-c'=zf dx\ f /{x)dx\-\-cx 



2" Si / ne dépend que de y, on déduira des équations ci- 
dessus la suivante 

y^y=Af)^f 

et, en intégrant, 



y ="v// v(7)^/+^, 



et enfin 



dx~-^, 

y 

a ou 



=/?-,(' 



+c'. 



l/''^j["^2/(j')d'/ + c 



3" Si/ne dépend que dej'', on aura 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 6l 

d'où 



^ — / -TT-TT -I- C, 






On aura donc œ et y, exprimés tous deux en fonction de 
la nouvelle variable jk- 

55. Comme autre application, cherchons à déterminer les 
courbes dont le rayon de courbure en chaque point est pro- 
portionnel à la portion N de la normale interceptée par Taxe 
des œ. 

Le rajon de courbure R est donné par la formule 



R 



hmi 






D'autre part, en désignant par a l'angle de la tangente 
avec l'axe des x, on aura 



"-ik.'W'-''^^'- 



\dx J 

Les courbes cherchées auront donc pour équation difïe- 
renlielle 



d-y - y \dœ 



u 



dx- ny L \dx J J 
Celte équation du second ordre équivaut aux deux sui 



6a 




^ TROISIÈME PARTIE. — CnAPITHE I. 


vantes 




dx ny ^ -^ " 
dx-^ \ \ .-. 


On 


déduit 


de leur combinaison 

y'dy^ _ dy 
I H-/'^ ny 



et en intégrant, 



log(i -h j'^)--= -log/ H- const., 



ou 



1 

y\ ri 



^^y~-\~] ' 



j-., ., 



2 

7^ 



et enfin 



/f-X 



/ 2 



" / /.r\'^ 



V l^ 



Parmi les cas d'intégrabilité de cette expression, on doit 
signaler particulièrement les suivants : 
i" /i == — 1, d'où 



J \/c- — y' 



{x — c'y-\-y^:=zc'-. 

r.a courbe est un cercle ayant son centre sur l'axe des y. 
2'^ /i = r , d'où 



/cdy , y -\- \/ y°^ — c- , 



v/? 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 63 

d'où : : :> _: ■•. 



y + V v" — c'^^ce '-■ , 



/ — V/' — ^"^ ~ ^^ 



et enfin 



y = c 



x—c' 

e~^ -h e 



équation d'une chaînette. 
'i'^ n =z — 2, d'où 



Posons 



il viendra 



fv'^. 



dy. 



y— (i_C0SCp), 



dy ^=i ~ sincp 



//l — COSO C . y r c& C . , 

4/ ^-sincprto^:: I tanff- - sincp «9 
y I + GOScp 2 J 2 2 ^ ' 

C r i c r c . 

— - / 2 sin^- cp<içp = - / (i — coscû)<icp = - (cp — sincp) 



La courbe est une cycloïde. 
4° n = 2, d'où 



/v'55 



c 
équation d'une parabole. 



dyz=z2\/c{y — c) 



o6. Proposons-nous, comme dernière application, de dé- 
terminer le mouvement d'un point attiré vers un centre fixe 
par une force égale à mf{r)^ r désignant le rayon vecteur 
et m la masse du point mobile. 

Prenons pour origine des coordonnées le point attirant, 
et pour plan des xy celui de la vitesse initiale. D'après les 
principes de la Mécanique, la loi du mouvement sera donnée 



64 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

par les deux équations 

On déduit de ces équations les combinaisons intégrablcs 

suivantes 

d^û: d'-y d / dx dy\ 

"" -^~dt^ '~'''JF -dty~dt~'''di) 

et 

dœ d-x dy d'-y .., ^oc dx -{- y dy 

o — — -I — i^- —^ — u / ( r) ~ — - 

" dt dt- dt dC" ^ J^' ^ rdt 

I d dx- -\- dy- dr 

~2dt dt' ~^'^^^''~dt' 

dont l'intégration donne deux équations du premier ordre 

dx dy 

dt dt 

dx'- -4- dy"" 



y — oc-^- = c, 



2 dt 



-\-ff{r)dr^o. 



Remplaçons les variables x, y par des coordonnées po- 
laires 

^r^. rcoscc, vz:=:/sina); 



ces équations deviendront 

(.3) ,.^S=-c. 

(.4) ^^^^^^^-//('■).. = o; 

d'où, en résolvant par rapport à db^ et dt et intégrant, 



cdr 



t = 



f 



)dr 
r dr 



sj-c'-2r-'fj\r)dr 



Le problème est ainsi ramené aux quadratures. 

Les formules précédentes contiennent, comme cela devait 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 65 

être, quatre constantes arbitraires, à savoir c et les trois con- 
stantes introduites par les intégrations. 

o7. Appliquons ces formules au cas de l'attraction newto- 
nienne, 011/(7') :^ -^> k désignant une constante, et M la 
masse du point attirant; on aura 

d'où 

c dr 



J rs/—c' 



2/rM/ — 2c'/-2 



I , du 
ou , en posant r = - ? dr ^=^ -> 



cdu 



J V^-2C' 



-/ 



ikUu — c-u^ 
c^ du 



sJk-W—ic'c'- — {c^u — kUy 
c'^u — kM 



arc ces 



c^u=^kU + \/k^M^— 2c'c^ cos(w — c" 



ou 



(25) 



r z=z 



kU -h sJk'^W—ic'c^ cos(co — c") 
P 



I -\- ecos(w — c ) 
en posant, pour abréger, 

_£L — / ic'c^ _ 

Hï ~^' S/ '^~ k-w~~ 

On aura enfin 
(26) rf«=i,-^rf<o= P"''^"' 



c[i -I- e cos(co — c")Y 

équation qui déterminera t par une quadrature. 
J. — Cours, III. 



66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Le problème deviendra complètement déterminé si l'on 
donne à un instant quelconque Ùq les coordonnées Fq, Wq du 
mobile, sa vitesse initiale Çq et l'angle ao qu'elle fait avec le 
rayon vecteur. On a, en effet, en appelant ^> la vitesse à un 
instant quelconque, a l'angle qu'elle fait avec le rayon vec- 
teur 

dr^~{- r^' dui^ ^ ^ d^ 



r- 



dl^ ' dt" 

Les équations (28) et (24) peuvent donc s'écrire 



rv sma 



\- v^- v-c'—o. 



On aura donc, en posant ^ = o, 



'0 



On déterminera ensuite d' en posant 1^=1^ dans l'équa- 
tion (25); enfin, l'équation (26), intégrée de ^0 à t^ don- 
nera 

/?2 dix> 






+ ecos(w — c")]' 



L'équation (25) entre /• et to fait connaître la trajectoire 
du mobile. Oest une conique ayant un foyer à V origine. 
Ce sera une ellipse si c'>o, une parabole si c'=o, une 
hyperbole si c'<< o. 

On a, d'autre part, en désignant par A l'aire comprise 
entre la courbe et les rayons vecteurs r et /'o, 



\r' dhi =:dK. 



L'équation (23) peut donc s'écrire 



dk 
^-dt-'' 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 67 

d'où, en intégrant de to à t, 

Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc pro- 
portionnelles aux temps correspondants . 

Supposons la trajectoire elliptique, et cherchons la durée T 
d'une révolution. L'aire A correspondant à cette période de 
temps sera l'aire totale Tzab de l'ellipse. On aura donc 

2 
D'ailleurs 

^ V 



c^\l'kUp-=\/ kU. — 



Substituant cette valeur dans l'équation précédente, il vien- 
dra 



1 



La durée de la révolution est donc indépendante de 
V excentricité de U ellipse, et proportionnelle à la puis- 
sance I de son grand axe. 

Nous avons ainsi retrouvé toutes les lois fondamentales 
énoncées par Kepler. 

IV. — Équations linéaires aux différentielles totales. 

58. Les systèmes d'équations différentielles simultanées 
étudiés dans la Section précédente ne sont évidemment 
qu'un cas particulier des systèmes d'équations linéaires aux 
différentielles totales, de la forme 

(I) ¥,^dx,-^^'ldxn^o 

( /j r= 1 , 2 . . . ., ni\ k =z ni -\- i , . . . , m -\- n)^ 



68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Cherchons à déduire de ces équations une combinaison 
intégrable 

On aura évidemment 






Éliminant les [jl, on voit que cp sera une intégrale commune 
aux ni équations aux dérivées partielles 

OJ^'h L^k O^k 
( /< = 1 , 2 , . . . , /?z ; /: = /?! 4- I , . . . , /?! -h /i ) . 

Supposons que ces équations admettent n intégrales com- 
munes distinctes cp,, .. ., cp„ (nous verrons plus loin dans 
quel cas il en est ainsi). Soient y^^ . . ., y m de nouvelles 
fonctions des x^ formant avec les cp un système de fonctions 
distinctes. En prenant les cp et lesjK pour variables, les équa- 
tions (2) prendront la forme 

E/.-M,^+...-i-M,,^-o 

et seront manifestement équivalentes aux suivantes : 
do d'o 

La forme la plus générale des fonctions qui satisfont à ces 
équations est évidemment 

F désignant une fonction arbitraire. 

Les fonctions c^,, ..., cp^ étant des intégrales du sys- 
tème (2), on aura des relations de la forme 



doiz=z\ IX /, 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 69 

Cl le système (i) équivaudra au suivant 

doy—o, ..., flf,p„^o, 

d'où l'on déduit 

(pi = const., ..., cp/j = const. 

. ■ do- 

59. Le déterminant {jl des coefficients p-^= -~- se nomme 

le multiplicateur correspondant aux intégrales cp,, . . . , cs„. 
En remplaçant ce système d'intégrales par d'autres systèmes 
d'intégrales distinctes, on obtiendra une infinité de multipli- 
cateurs, et Ton voit, comme au n" 43, qu'ils ont pour forme 
générale p.F(cp,, . . .,cp/,). 

Soient a l'un des nombres i, 2, ,.., m\ ^ l'un des 
nombres m -{- \ ^ . . . , m -\- n. Désignons par D|^ ce que 
devient le déterminant [.i lorsqu'on y remplace les éléments 

à-^i ^ ' \ I '1 ' . ^?i V va ^?' 

-,^- (i^],2,...,n) par les éléments -r-^ = — > X?-^-^; 
àx-^ ^ ' ' ^ ^ d^a Zj/f ^ dj^k 

on aura évidemment 

On en déduit par différentiation, comme au n*^ 44, 

(3) h \ -^j — ^=0 {ci — i2,...,m). 



^ = in + \ 



I 



Réciproquement, toute solution commune [x' des équa- 
tions (3) est un multiplicateur; car, en posant |Jt.'= [jlv, on 
verra que v est une intégrale des équations (2); donc v sera 
de la forme F(cp,, . . . , cp„), et ]x' sera un multiplicateur. 

60. Si l'on a réussi à déterminer i intégrales distinctes 
cp,, . . . , cpi du système (2), on pourra, comme au n" 4o, en 
les prenant pour variables indépendantes avec d'autres fonc- 
tions jr<, . . ., ym+n-i choisies à volonté, remplacer le sys- 



70 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

tème (i) par un système équivalent, de la forme 

(4) <^C5, = 0, ..., <icp, — o, 

(5) df/. — \ Y^' dyii ^ o (/c r= /7i 4- i , . . . , /7z + /i — /). 

On en déduit 

cpi = const., ..., cp,-=z const., 

et il ne restera plus qu'à intégrer le système des n — i équa- 
tions (5). 

D'ailleurs, si l'on connaît un multiplicateur du système (i), 
on en déduira, comme au n" 4S_, un multiplicateur de ce nou- 
veau système. 

Si donc on a réussi à déterminer ii — i intégrales et un 
multiplicateur du système (i), il ne restera plus qu'à intégrer 
une seule équation, dont on connaîtra un multiplicateur. Le 
problème sera donc ramené aux quadratures. 

61. Les considérations qui précèdent nous conduisent à 
chercher les intégrales communes à un système d'équations 
aux dérivées partielles de la forme (2). Mais il conviendra 
de généraliser la question, en cherchant les intégrales com- 
munes à un système d'équations de la forme plus symétrique 

^1 ;^^ '"•••"^^'"+'^ ;T^r^'='^ (A=:i,2, ...,m). 



Si nous désignons par X^ l'opération 



ces équations pourront s'écrire ainsi 

X^cpzzrO (/i = I, 2, . . . , m). 

Cela posé, toute solution commune à deux de ces équa- 
tions 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 71 

satisfera à l'équation nouvelle 



{p=.I, ... 

car on a séparément 



( p = I , . , . j /7i -h /i ; a = I , . . . , /?i 4- /i ) ; 



X^'X^-cp m X'(0) =rr O, X^'X'cp =: X^(o) = O. 

Si d'ailleurs nous désignons pour plus de clarté par /), , . . . , 

1 j' • ' .-11 ^? ^'^ 

/^w4-/2 ^es dérivées partielles ^^-j •• -, ^ — = — , on aura 

X'cp = xi/?i + . . . -+- x;,,^„ /»,„+„, 

X^-cp = Xf /?i 4- ... 4- ^i+nPm^n, 

et le symbole (X'cp, X^cp), défini comme au n° 47, aura pour 
valeur 



is 



.«.-"'il-^î '-!)''•='"''*'"'<*'=''■ 



Ainsi, toute intégrale commune aux équations 
satisfera en outre aux équations 

X^'X^cp - X^X^'cp = (X'cp, X^cp) =: G 

{i—i,2,...,m; k = i,2, . . .,j?i), 

lesquelles sont, comme les précédentes, linéaires et homo- 
gènes par rapport aux dérivées partielles de cp. 

Si parmi ces équations nouvelles il en est qui soient linéai- 
rement distinctes des équations primitives, on pourra les leur 
adjoindre et recommencer les mêmes opérations sur le sys- 
tème ainsi complété. En continuant à suivre cette marche, 
deux cas pourront se présenter : 

1° On arrivera à un système contenant m -{- n équations 
distinctes; on en déduira 

d(p do 

1~~ ^^ ^' /9^~ ^^ ^' ' * ■ ' '^ ^^ const. 



72 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

En dehors de cette solution banale, les équations proposées 
n'auront donc aucune intégrale commune. 
2" On arrivera à un système 

X^^ = o, ..,, X'cpr=o {l<:m -\- n), 

tel que toutes les nouvelles équations que l'on peut en déduire 
soient des combinaisons linéaires des précédentes. Ce système 
satisfera donc à des relations de la forme 

X^'X^-cp — X^^-X^'cp = (X^'cp, X^cp) =. a'/^X^cp 4-. . .4- aJ^-X'cp 
{i = i, 2,..., /; k — i,i,...,l), 

où les a sont des fonctions des x. 

Un semblable système se nomme un système complet. 

62. Si dans un système complet nous prenons pour va- 
riables à la place de ^<, x^, ... de nouvelles variables y^^ 
j'2) . . ., le système transformé 






Y'cp = Y'^ ^^-^ _l_Y!, --^+...= o (/ = ï,2,...,/) 



sera encore un système complet; car les opérations Y*, . . . , 
Y' n'étant autre chose que les opérations X\ . . . , X^, diffé- 
remment exprimées, on aura encore 

y/ YA-^ _ Y^ Y^'cp = af Y'cp -4- . . . -f- ap Y'cp, 

et il ne restera qu'à exprimer les quantités a en fonction des 
nouvelles variables jk. 

D'autre part; tout système 

A^'cp — aiX*cp+. . .+ aJX'cp==o {i=i, 2, . . ., /) 
équivalent au système complet 

est lui-même un système complet. 
* En effet, l'expression 

(A'cp, A^cp) 



\ 



\.> r^ 



ÉQUATIONS DIFFÉRKI^TSELLES OUD.'NAIRES. 73 

csi une somme de termes de la forme 

+ 4(4, Xî^cp)X>^cp -t- (4, 4)X>^cpX[^cp. 

Or (aj, aj,) est évidemment nul, puisque les a ne contiennent 
pas les variables/?; d'autre part, (ax,XE^cp), (X^cp, aj^) se 
réduisent à des fonctions des x] enfin (X^cp, Xt^cp) s'exprime 
linéairement au moyen des X' cp, . . . , X'cp. Donc (A'cp, A'^cp) 
est une fonction linéaire de ces quantités, qui sont elles- 
mêmes des fonctions linéaires de A< cp, . . . , A'cp. 

63. Etant donné un système complet, contenant m équa- 
tions, par exemple, où figurent m -{- n variables ^,, .,., 
Xm+ni on obtiendra, en résolvant ces équations par rapport 

à -r-^j • • • ? ^ ' ? un système équivalent, de la forme 

(6) p--^y X^^p-^^X^.^^o 

dx,^ Zuk dxk 

( /î = 1 , 2 , . . . , 771 ; A' =r m + I , . . . , /7Z H- /2 ) . 

D'après ce qui précède, ce nouveau système sera encore 
complet. 

Les systèmes complets de la forme (6), auxquels nous pou- 
vons dorénavant borner notre étude, ont reçu le nom de sys- 
tèmes jacobiens. 

Pour ces systèmes particuliers, les équations de condition 

(X'cp, X^cp) = af X^cp -i- af X^^f + . . . , 

qui caractérisent en général les systèmes complets, se ré- 
duisent à la forme plus simple 

(X^>,X^-o)=zzO. 

En effet, (X^'cp, X^cp) est évidemment indépendant de -,— ? • • ■ , 
-r-^, tandis que a'/X< cp + af X^o + . . . contient ces déri- 
vées respectivement affectées des coefficients af , a^^, .... 



74 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Ces expressions ne pourront donc être identiques que si les a 
sont tous nuls. 

64. Théorème. — Un système jacobien formé de m équa- 
tions entre m-\-n variables admet n intégrales distinctes. 

Nous avons admis provisoirement dans la section précé- 
dente la vérité de ce théorème pour le cas d'une seule équa- 
tion; et nous pourrons évidemment supposer dans la démon- 
stration qu'il ait été reconnu vrai pour les systèmes formés 
de moins de m équations. 

Soit 

(7) X*c^ = o, ..., X'«cp=zO 

le système proposé. La première équation, considérée isolé- 
ment, admet m -[- n — i intégrales distinctes y^i • • • 5 JKw+«- 
Soit^i une autre fonction quelconque, distincte de celles-là. 
En prenant lesjK pour variables indépendantes, nous obtien- 
drons un système transformé 

X^^cp rzr Mt -1^ -H M;^ -^ 4- . . .=:: o (/i = I, 2, . . . , m), 

dont la première équation, admettant JK27 • • • > ym+n pour 
intégrales, se réduira à son premier terme 

ày\ 

Ces équations, résolues par rapport a -r^-, • • -j -r-^-y clon- 
neront un système jacobien 



(8) 




-'=!;=<■• 


(9) 




>-'=.î;,-E/i^i=» 




{/' = 


= 2 , . . . , m ; k =zz m -\- I , . . . , m -i- n) 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 76 

Or on a évidemment 



(Y»cp,Y^) 






et, pour que cette quantité s'annule identiquement, il faut 
qu'on ait 

Les équations (9) sont donc entièrement débarrassées de 
la variable j^',. Elles forment, d'ailleurs, un système jacobien 
de m — I équations à m -\- Ji — i variables y 2, . . . , ym+m 
lequel système admettra par hypotbèse n intégrales distinctes. 
Ces intégrales, ne dépendant pas de jKo satisferont encore à 
l'équation (8). Il ne restera plus qu'à remplacer dans leur 
expression y2^ . . . , ym-^n par leurs valeurs en ^,, . . . , Xm+n 
pour obtenir les intégrales correspondantes du système pri- 
mitif. 

65. Soit 

cç/(^,, ...,^,„+„) {i—i,i, ...,n) 

le système d'intégrales distinctes du système (y), dont l'exi- 
stence vient d'être démontrée. Ces intégrales, considérées 
comme fonctions de Xm+iy - > - -, ^m+n seulement, seront 
encore distinctes. 

Admettons, en effet, qu'elles satisfissent à une relation de 
la forme 

F(cpi, . ..,cp„;^,, .. .,œ,n) — o. 

L'opération X^, appliquée à cette identité, donnerait 

^ àF dF ^. dF dF 

(car cp, , . . . , cp,^ sont des intégrales de l'équation X'^cp = o). 
La fonction F serait donc indépendante de ^i , . . . , Xm, et les 
fonctions cp,, . . . , cp^^ ne seraient pas distinctes, résultat con- ' 
traire à leur définition. 



70 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Posons maintenant 

ç,(.z-i, ..., r,„^„) — Oi{Ci, ..., c,n] '\>i, ..., ^n) {i — i, 2, ..., n), 

Cl, ' . ' , c„i désignant des constantes arbitraires. Les quan- 
tités (];<, . . ., ^m définies par ces équations, seront des fonc- 
tions distinctes des intégrales primitives o/(^,, .. .^Xm^n)- 
Elles formeront donc un nouveau système d'intégrales dis- 
tinctes. Elles jouiront d'ailleurs de la propriété caractéris- 
tique de se réduire respectivement à ^m+i ? •••7 ^m+n^ 
lorsqu'on donne simultanément à Xi, ..., x,n les valeurs par- 
ticulières Cl , . . . , Cm- 

Gela posé, remplaçons les m premières variables ^<, . . ., 
Xm par de nouvelles variables ri, . . ., j)'m, définies par les 
relations 

(10) Xn — C/,-i-{yi — Ci)yu (A = i, 2, . . . , m), 

et résolvons les équations transformées par rapport à y~> •••, 

-r-^- Nous obtiendrons un nouveau système iacobien 

(.1) Y^=^^-y n-^=.o 

^ dyn Zuk àxu 
( /i =z 1 , 2 , . . . ,in\ A- :r= m -4- 1 , . . . , /;i -4- /i ) . 

Les fonctions ^^^ . . ., h,i^ exprimées au moyen des nou- 
velles variables, donneront un système d'intégrales distinctes 
des équations (i i). Elles se réduiront d'ailleurs respective- 
ment à Xnij^K', ...^Xm^n lorsquc jK, =c,, quels que soient 
ji^ ...^fm'y car, pour jki = Ci, les équations (10) donnent 

X\ — C^ , • * • 5 Xfji — Cjfi. 

66. Pour intégrer le système transformé (11), il suffira, 
comme l'a montré M. Mayer, d'intégrer l'équation unique 

(12) Yicp = o. 

A cet effet, nous remarquerons que cette équation admet 
les intégrales '^^^ . . ., ^/j, lesquelles, jointes aux intégrales 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLKS ORDINAIRES. 77 

évidentes jKo? • • • » ym-, donneront un système de m + Ai — i 
intégrales distinctes. Toute autre intégrale 

/ ( JKl 5 • • -5 y m 7 ^m-¥-l ? • • • j ^/n+n ) 

de cette équation sera donc une fonction de celles-là, telle 
que 

F(/2,--.,/m;'l^?---,^/J- 

Si dans l'égalité 
nous donnons à yi la valeur constante Ci, il viendra 

et, par suite, 

/(Cl, ...,/,«; ^1, ...,<1^«) — F(j2, ••.,//«;^i, -..j^/O- 

On voit par là qu'une intégrale quelconque / de Téqua- 
tion(i2) étant supposée connue, on obtiendra immédiate- 
ment son expression en fonction de y 2^ • • •> JKm? ^m • • •> '^n, 
en remplaçant dans la fonction / les variables j^, , Xm+i^ • • • , 

Xm+n par Cl, ^,, . . ., ^n- 

Gela posé, admettons que nous soyons parvenus à intégrer 
l'équation (12), en y considérant j>^i , ^,«^_,, ..., a:„/+„ comme 
seules variables, et y^, ...,7'^ comme des paramètres (ce 
qui revient, comme nous l'avons vu, à déterminer une solu- 
tion générale d'un système de n équations différentielles or- 
dinaires). Soit fi^ . . . , fn un système d'intégrales distinctes 
de cette équation; on aura, ainsi qu'on vient de le voir, 

Fi, ..., F/ï étant des fonctions connues de j'2, ..., y m] 
d*i, . . . , tli/, ; et il suffira de résoudre ces équations par rap- 
port à ^1, ..., à,i pour déterminer ces fonctions, lesquelles 
forment un système d'intégrales des équations (i i). D'ail- 
leurs, la résolution de ces équations ne sera jamais impos- 
sible, car les fonctions j'o, ...,ym ; /n •• 1 fn étant distinctes, 



78 TROISIÈME PARTIR. ~ CHAPITRK I. 

Jki * '»ifn sont nécessairement des fonctions distinctes par 
rapport à ^,, .. ., ^n- 

67. On peut aller plus loin et montrer que la connaissance 
d'une seule intégrale /i de l'équation (12) permet de déter- 
miner une ou même plusieurs intégrales du système (i i). On 
aura, en effet, 

/î = F,(r2, . .., r„,;i|>,, . ..,^J, 

F, étant une fonction connue. Résolvant cette équation par 
rapport à^,, on aura une relation de la forme 

où ô, est une fonction connue. 

Effectuons sur cette identité l'opération Y'^, h désignant 
l'un quelconque des nombres i, 2, ..., m. 11 viendra, en 
remarquant que ^^, . . . , ^^ sont des intégrales de Y'^cp = o, 

o = Y^'0, = -^YVi+. 

Le second membre de cette équation est une fonction 
connue de jk< , . . . , x,n+n ; ^21 • • • ? ^n- S'il ne s'annule pas 
identiquement, il contiendra l'une au moins des quantités (j^, 
par exemple '^2; car les variables y^, . . ., Xm-^n sont indé- 
pendantes. En résolvant par rapport à ^^i o" obtiendra une 
relation de la forme 

Effectuons sur cette équation l'opération Y^, on en déduira 
une nouvelle équation pour déterminer (j;3, et ainsi de suite 
jusqu'à une dernière équation qui donnera ^n- Le système (i i) 
sera dès lors intégré. 

On ne pourra se trouver arrêté dans cette suite d'opéra- 
tions que si l'on arrive à une équation 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 79 

pour laquelle on ait identiquement 

Y^'6, = o (/i = j, 2, . . ., m). 

Mais alors, en remplaçant dans 9/ les fonctions inconnues 
^/+ii ' ' 'j^n par des constantes quelconques, on obtiendra 
une fonction cp^- qui satisfait évidemment aux mêmes équa- 
tions, et qui sera, par suite, une intégrale du système (i i). 

68. Nous pouvons énoncer, comme résultat de cette étude, 
le théorème suivant : 

Pour qu'un système d'équations aux différentielles 
totales 

(l) F/,r=.^^;t-V X^^^/.rzzO 

( A =: 1 , 2 , . . . , m ; k :=: m -\- \ , . . . , m -h n) 

admette n intégrales distinctes 

cpi =: const., ..., cp,j=r const., 

il faut et il suffit que les équations aux dérivées par- 
tielles 

^^> ê+L^'^<£=° (/-=.,.,...,™). 

forment un système jacobien. 

Cette condition étant supposée remplie, la recherche 
des intégrales du système dépend de l'intégration d'un 
système de n équations différentielles simultanées. 

Chaque intégrale de ce dernier système fournira au 
moins une intégrale du système proposé. 

69. Soit S un système d'équations aux différentielles to- 
tales de la forme (i) et admettant n intégrales distinctes 
o,, ..., cp,;. Si nous y changeons ^,, ..., Xm^n en ^, + s^j, ..., 
^m+n + ^im+rt, £ étant un paramètre infiniment petit, dont 
nous négligerons le carré, et Ç, , . . . , ^m+n des fonctions de 
^1, . . . , Xm-i-ni nous obtiendrons un autre système S'. 



8o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

A toute intégrale cp du système S correspondra évidem- 
ment pour le système S' une intégrale 

en désignant par A l'opération 



iA 



Cette opération est complètement définie quand ç<, ..., 
\m+n sont donnés , et réciproquement. Soient d'ailleurs 
JKi , • • 'lym+n ^^ nouvelles variables quelconques, fonctions 
des X. Lorsque x^^ ,..^Xni^n s'accroissent respectivement 

de si,, ..., £?,«+«, j'i s'accroîtra de 

(y àvi , , > dyt 



quantité que nous désignerons par zr^t. D'autre part, on a 
évidemment 

d _dy, d ^ dfz d ^ 
dxi dxi àyx dxi dy^ 

On déduit immédiatement de là l'égalité 

. d ,âd â 



dx, ^'"^"dx„,^, '^dy, '"'^■''dy 






L'opération associée à la transformation infinitésimale con- 
sidérée reste donc la même, lorsqu'on change de variables 
indépendantes. 

Nous désignerons, pour abréger, par Acp la transformation 
infinitésimale qui correspond à l'opération A, et qui, par 
suite, change l'intégrale cp en cp -|- sAcp; et nous dirons que le 
système S admet cette transformation infinitésimale Acp 
si le système transformé S' est équivalent à S. 

Pour cela, il faut et il suffit que le système S' soit équiva- 
lent au système 

^cp, ~ o, .... d^n-^ o, 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 8l 

auquel S est équivalent; et, par suite, que les systèmes S et 
S' admettent les mêmes intégrales. 

Or à toute intégrale cp de S correspond une intégrale 
C5 -h £ Acp de S'. Celle-ci devra être une intégrale de S, ou, ce 
qui revient au même, Acp sera une intégrale de S. 

Si donc nous désignons, comme précédemment, par 

les équations aux dérivées partielles qui caractérisent les in- 
tégrales de S, ces équations devront entraîner comme coii- 
séquence les suivantes 

X''- ko -.zz:. o {h ---i, 2y . . ., m) 

ou, ce qui revient au même, celles-ci 

X^Ao — XX^'o— (X^'cp, Acp) — G (A — i,2,...,/?ê) 

[car on a identiquement AX^'cp = A(o) = o]. 
Cela posé, le système formé des équations 

X^^cpzrzo, (X^cp, Acp)r=rO (h = j , 2, . . . , m), 

admettant /i intégrales distinctes cp<, . . ., '^/;, ne pourra con- 
tenir plus de m équations linéairement distinctes. On aura 
donc 

(i3) (X^'cp, Acp)r=:'4X'cp-t-...-4-aî,X'«cp {h ^ l , 2, . . . , m) , 

les coefficients a étant des fonctions des œ. D'ailleurs il est 
évident que ces conditions seront suffisantes. 

70. Toute expression de la forme 

\ ^/X^cp {i-=i, 2, . . ., m) 

; représente une transformation infinitésimale de S en lui- 
même. 

j. — Cours, in. 6 



82 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

En effet, on a 



oar (X'^cp, X^cp) est nul; et, d'autre part, on a 

d^h jLj'c àx,, 
Si donc S admet une transformation infinitésimale 

il admettra évidemment la transformation 

Bcp = Ao _ ^iX'cp -. . .- e,„X'«(p, 

laquelle se réduit à la forme 

y d'o y do 

^/«+i ^ , H- ... H- Ç/,;-i-// "T '"—■ • 

Il nous suffira évidemment d'étudier les transformations de 
cette sorte, toutes les autres pouvant s'en déduire par l'ad- 
jonction d'une fonction linéaire de X'cp, . . ., X'^cp. 

Pour les transformations de la forme Bcp, les équations de 
condition (i3) prendront la forme plus simple 

(X^'cp, Bcp) = o; 

car le premier membre de ces équations, ne contenant pas 

les dérivées partielles -r-^ ? •••) -r-^? ne pourra se réduire à 

une fonction linéaire de X'cp, .... X"'cp que s'il s'annule iden- 
tiquement. 

71. Si S admet deux transformations Bcp, B'cp, il admettra 
la transformation (Btp, B'cp). 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 83 

On a, en effet (47), l'ideiitilé 
(X^cp, (Bcp, B'cp)) -+- (Bcp, (B'cp, X^^cp)) -f- (B'cp, (X'^cp, Bcp)) ^ o. 

Mais (X^cp, Bcp) et (B'cp, X'^cp) sont nuls par hypothèse; donc 
cette égalité se réduira à 

(X^cp,(Bcp,B'cp))=.o. 

72. Soient B'cp, ..., B^cp des transformations du système S 
qui ne soient liées par aucune relation linéaire; si l'expres- 
sion 

Bcp=:^_p,B'> (.-.=:: 1,2,...,/) 

est une autre transformation du même système, p^, ..., [j/ 
seront des intégrales, et réciproquement. 
On a, en effet, 

(X^,B<f)=J_(X"<f,p,B'-.f) 

=^[(X"o, p,)B'> + (X"<f, B'»p,]=^^X"i5,.B'>, 

expression qui ne peut s'annuler, par hypothèse, que si tous 
les coefficients X'^^/ sont nuls, ce qui montre que p/ est une 
intégrale. 

73. Enfin, si l'on connaît un multiplicateur ^ du s^^stème S 
et une transformation infinitésimale Bcp, on en déduira une 
intégrale. 

Soit, en effet, 



■"=S,='S; 



{i =: 771 -\- l , . . . , 7Jl -\- n). 



Nous aurons, quel que soit /i, 

0=:(X^^cp, Bcç) 

i et k variant de /?^ + i à m -^ 7i. 



dxfj dxi 



TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 



Dans celle idenlité, les coeffîcienls de chacune des dérivées 

• 11 ^^ 1 • A 1 , , 1 

partielles -r-^ doivent être nuls séparément; nous aurons donc 



àJ^h jLJk\ àxu dxjj 

Différentions cette équation par rapport à Xi\ sommons 
par rapport à i et supprimons les termes qui se détruisent; 
il viendra 

o =V ^'"^' +\ V (X" -^^ - \ -^!^\ 



=-(IS)-»Œ 



()X? 



/ àxi 



Mais on a, d'autre part, 

àx,i ^i dxi 
ou, en développant et divisant par |jl, 
à^ , V x^' ^ 

L'équation précédente pourra donc s'écrire 



='^'*(Ife)^^'"^'°=^- 



Cette équation, qui a lieu pour /i = i,..., w?, montre 
que 

est une intégrale. 

74. Admettons qu'en combinant les procédés ci-dessus, 
ou aulrement, on ait réussi à obtenir p intégrales dis- 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 85 

tinctes cp,, . . ., cp^ du système S. Eq prenant cp,, . . ., cp^ pour 
variables à la place de Xfn+i, •••, ^m+p par exemple, les 
équations X^cp = o seront transformées en de nouvelles 
équations de même forme, mais ne contenant pas les dérivées 

partielles ~ , • • • , y-^? puisque cp,, . . . , Op sont des solu- 
tions. 

On aura donc 

o^h 4ij/t oxk 
(hz^i, 2, . . ., m] k ~- m ^ p -h i , . . . , m -h n) , 

les X^ étant des fonctions de cp,, ..., cp^, x,„^p_^i, ..., 

Soient B'cp, ..., B^cp, ... les transformations infinitésimales 
que l'on suppose connues. On aura 

( i =z 1 , 2 , . , . , y? ; A =z m -{- p ^ i , . . . , m -\- n). 

D'ailleurs, cp^ étant une intégrale, B^o/= p} sera également 
une intégrale. Si nous admettons que nous ayons tiré tout le 
parti possible des procédés ci-dessus indiqués, cette inté- 
grale ne sera pas nouvelle, mais se réduira à une fonction de 

Posons, pour abréger, 



àf. 



et supposons que, parmi ces expressions, il y en ait q qui 
soient linéairement distinctes, à savoir A', . . ., A^. 
Les suivantes A^+* , . . . seront de la forme 

les coefficients y étant des fonctions des |3, et par suite étant 
des intégrales. 



86 TROISIÈME PARTIE. — GlIAPITUE 1. 

Cela posé, on aura évidemment 

D^'^ étant une nouvelle transformation infinitésimale, qui se 
réduit à la forme plus simple 






Admettons que, parmi les transformations de cette sorte 
ainsi déterminées, il yen ait/' linéairement distinctes D'cp, ..., 

Toutes les autres seront de la forme 

SiD'cp -h. . ., -f- £,.D'"cp, 

où les quantités £,,...,£;. devront être des intégrales, et par 
suite des fonctions de cpi , . . ., ^^. 

Réciproquement, toute expression de cette forme repré- 
sentera une transformation infinitésimale du système S. 

En particulier^ les transformations 

(D'cp,D^cp) 
ne contenant pas dans leur expression les dérivées —, • ••> 



O'^p 



> devront être de cette forme. 



75. Gela posé, deux cas pourront se présenter : 
i** Si p -\- r <^ /^, les équations 

X'* 'f = O, D'cp = O ( A r= 1 , 2, . . . ,. /?! ; / = I , 2-, . . , , /•) 

entre les m -\- n — p variables :r , , , x,n^ .r,„^^;^, , . . . , x,,,^,^ 

('ji|, . .., 'Qp étant traités comme des paramètres) forment un 
système complet^ en vertu des relations 

(X^'cp, X'^cp) == o, (D'cp, X^-cp) =r O, 

(D^'cp, D'^-cp) == s^^^-D'cp -f-. . .-H £;./^D'-cp. 
Ce système admettra donc ii — /> — /intégrales, cp^,^, ,...,. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 87 

o,i_r^ qui sont évidemment celles des intégrales du système S 
qui ne sont pas altérées parles transformations D'cp, ..., D^'cp. 
Lorsqu'on les aura trouvées (par l'intégration d'un système 
Je n — p — /' équations difTérentielles ordinaires), les r in- 
tégrales encore inconnues dépendront de l'intégration d'un 
second système de /' équations différentielles. 

L'avantage obtenu dans ce cas consistera donc à décom- 
poser en deux le problème de la recherche des intégrales 
çp^^i , . . .; cp„ encore inconnues. 

2" Si /; + r = n , la connaissance des transformations 
D'©, . . ., D^cp fournira un multiplicateur du système. 

Soit, en effet, 

D^'cp nirV l\. ' -- ( /r = m + /^ + I , . . . , m -i- /i), 

et désignons par A le déterminant des coefficients \]^\ par J 
lejacobien des intégrales inconnues ^;j+i, •••, ^n par rapport 
aux variables Xk' 

Formons le produit AJ par la règle connue; on obtiendra 
'un nouveau déterminant I, dont les éléments sont les quan- 
tités D^cp^. Or ces expressions sont des intégrales; donc -. 
sera une intégrale ; d'autre part, J est un multiplicateur ; 
donc J sera également un multiplicateur. 

Or cette quantité est égale à -•> quantité connue. 



V. — Étude directe des intégrales. 

76. Les méthodes que nous avons exposées jusqu'à présent 
avaient pour but de trouver l'intégrale générale des équations 
différentielles. Mais elles ne réussissent, comme on l'a vu, 
que dans des cas fort limités, et nous ne pouvons même as- 
surer que l'intégrale cherchée existe en général, car son exi- 
stence a été admise sans démonstration. 

11 est donc nécessaire de reprendre le problème de l'inté- 



88 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

gratîon, en le précisant, de manière à le rendre déterminé. 
La question ainsi posée peut se formuler ainsi : 

1° Etant donné un système adéquations dijférentielles 
normales 

démontrer quHl existe, sous certaines conditions à pré- 
ciser, un système unique de fonctions y, z, . . . jouissant 
de la double propriété de satisfaire à ces équations, et de 
prendre respectivement des valeurs données jko^ ^o? • • • 
pour une valeur donnée Xq de la variable indépendante ; 

2*^ Donner une méthode qui permette de calculer, avec 
telle approximation quon voudra, la valeur de ces jonc- 
tions pour toute valeur réelle ou imaginaire de x; 

3" Enfin, discuter les cas d^ exception où, les résultats 
établis se trouvent en défaut. 

77. Supposons tout d'abord que les variables et les fonc- 
tions considérées soient réelles; et considérons, pour éviter 
des longueurs, le cas de deux équations 

-^^fiœ,y,z), ^^fix,yz). 

Nous devrons admettre pour la démonstration : 

i" Qu'aux environs du point (^o? J'oi ^o) les fonctions f, 

fi sont continues. On pourra donc assigner un domaine D 

délini par les relations 

dans lequel les inégalités 

\x'-x\<t, |j'-r|<£, |-'_-|<2 
entraîneront les suivantes 

\f{x',y',z')-f{x,y,z)\<A, 

À tendant vers zéro avec £. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 89 

2° Nous admettrons en outre que dans ce même domaine 
on ait constamment 

\A^,y',^')-f{o:,r,z)\<m[\/~f\ + \z'~z\], 

\f,{x,y',z')-Mx,r,z)\<m[\y'-y\ + \z'-~z\l 

m désignant une constante fixe. 

Les conditions ci-dessus, seules nécessaires à la démon- 
stration, seront évidemment satisfaites si aux environs du 
point (^Q, JK05 ^0) les fonctions /, /i admettent des dérivées 
partielles finies. 

Supposons-les remplies. Soit M le maximum des modules 

de /, fi dans la région D; et soit p la plus petite des deux 

• , f 

quantités /*, ^ • 

Donnons à x une valeur quelconque assez voisine de Xn 
pour qu'on ait 

1^ — . 2:^01' <?• 

Subdivisons l'intervalle XqX en intervalles partiels XoXi, 
XiXo, ..-, x,i-iX^ et déterminons les quantités j',, 3,^ 
^2 5 ^2 ; • • • j JKj ^ P^^ Ifis relations 

/i— 7o= fi^o, fo, ^o){^i~^o). 

Zi ^0 r=yj (^Q, J'qj Zo){Xi Xq). 



^/,H_, — ^A- =/i ( ^k, yk, ^k ) (^"/c+i — ^k), 

On déduira de ces relations 

\yk-yiV<\yk-yk-x\-^..--\-\yi-^,~yi\ 

^M[|^/, — ^A--i| -\- . . ^^\xi^^ — XiW^U\Xk— Xi 
\z^, — Zi\lU\xk—Xi\, 

et, en parliculi<^r, 



go TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Les points (^,, y,, .z^). . . . , (^, JK, z) ne sortiront donc 
pas du domaine D. 

78. Si les intervalles partiels sont infiniment petits, les 
valeurs finales y^ z tendront vers des limites déterminées. 
Pour l'établir, considérons deux modes de division A, A' 
dans lesquels les intervalles soient tous moindres que la plus 

petite 8 des deux quantités s, ^ et désignons par y, z et jk', 

z' les valeurs finales obtenues pour chacun d'eux; nous 
aurons à prouver que y' — y et z' — z tendent vers zéro 
avec £. 

Nous pouvons évidemment admettre que tous les points 
de division qui figurent dans A figurent aussi dans A'; sinon 
nous pourrions comparer successivement ces deux divi- 
sions A, A' à une troisième A'' formée avec tous les points de 
division de A et de A'. Ajant prouvé ç\vxe y" — y, ^' — z d'une 
part, ei y" — y' , z" — z' d'autre part, tendent vers zéro, on 
verrait immédiatement que leurs différences j/' — y, z' — z 
tendent aussi vers zéro. 

Soient donc 



■^0? "^01) "^025 • ' • 1 "^15 • * • 5 


^/,, ^A-l, .. 


• j ^k-hij ■ 


., X 


s points de division de A'; 








J'oî JKo 1' J'o2' '••'•> Ti' • • • ' 


y'k^y'in^ ■■ 


•5 J'/c+iy • ■ 


■ ' y 


-^0> -^0 1 > ^0 2' • • • 5 ■^' {■> • • • J 


^ki ^A-n • • 


■ j ^h+l 1 • • 


• 5 ^' 5 



la suite des valeurs correspondantes des deux variables jk, z\ 
nous aurons 

d'où 

y'k^i — y'k—iyk+x — yk) 

=\.[/(^/aj y'kh ^'kù —fi^k, yk, z,,.)]{a:,,j+i — a:,,i), 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 01 

I et, par suite, 

|j4^i-J/.+i|^|jl--/^-l 

Mais on a 

+ |/(-^/c, ri, -1) -/(-^A' /A' -a)1 

Le premier terme du second membre est moindre que A; 
car on a 

\x,i - œ,\ < ô < s, Ij'a.— r;,| < MioCki-oo,\ < M8 < £, 

|4.-4i<^. 

Le second est moindre que 

ini\y'k-yk\-^\^'b--k\'\' 

On aura donc 

l7A-.i-rA-+il<l/A-/^-l 

On trouvera la même limite supérieure pour |^';^^, — z'j^\. 
Ajoutons ces deux inégalités, et posons pour abréger 

l/;.-y/.| + l4-^-/.| + ^ = u,. 

Nous obtiendrons la relation 
Multipliant ces inégalités, il vient 



l 



m 



Or, on a7;=:ro, 4 = -o; doncUo= --• Cette quantité 



92 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

tend vers zéro avec s, et il en sera évidemment de même 

pour\y—y\ et |g' — ^|. 

79. Les valeurs limites des quantités y, z ainsi déter- 
minées pour chaque valeur de x dans le domaine \œ — ^o|>p 
'Sont des fonctions de x. Elles satisfont aux équations diffé- 
rentielles proposées. 

Soient, en effet, y + A/, z -{- ^z les valeurs de ces fonc- 
tions correspondantes à ^ -j- A.r. Intercalant entre x et 
œ -i- Ix des points de division Xt^ X2, . . • , nous aurons 

\y — \im\f{x/c,yk, ^^)(^/t-n — ^/,) 
z=f{x, y, z.)\x 

-HlimN [/(^A-, /A-, ^k)—f{^,y, z)](X;,^i — Xk). 

Or, si nous supposons A.r < 8, le terme qui multiplie 
(^A+i — Xk) aura son module moindre que A. La somme du 
second membre a donc un module moindre aue 



l \ I x/,+i — Xk\ — X\x, 



et sa limite ne pourra surpasser cette quantité. On aura 
donc 

R étant un reste de module moindre que X, qui tendra vers 
zéro avec A^. Donc y a bien pour dérivée /{x, y, z). 
On verra de même que :; a pour dérivée/, (jt, y, z). 

80. La solution que nous venons de trouver est la seule 
possible. 

Soient, en effet, Y, Z deux fonctions jouissant comme y, :; 
de la double propriété de satisfaire aux équations différen- 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. gS 

lielles et de se réduire sl yo, Zq pour j;=œo. Les fonc- 
tions Y — JK, Z — z auront respectivement pour dérivées 

f{x,Y,Z)~ f{œ,y,z), 

Elles sont donc continues et comme elles s'annulent pour 
x^^Xq, elles ne pourront acquérir une valeur différente de 
zéro qu'après avoir passé par toutes les valeurs intermé- 
diaires. 

D'autre part, en vertu de nos hypothèses, tant que Y — jr, 
Z — z seront moindres que £ en valeur absolue, le module 
de leur dérivée sera <</?z.2£, et le module des fonctions 
elles-mêmes sera moindre que m,iz\x — ^o|- 

Il en résulte que dans tout l'intervalle de Xq — -, — à 
Xo+ -, — les modules de nos fonctions seront < - tant 

[y, m 1 

qu'ils seront <C £• Us ne pourront donc atteindre aucune 

des valeurs comprises entre - et £, ce qu'ils devraient faire 

pour pouvoir atteindre ou dépasser £. Donc ils resteront 
toujours moindres que £, quantité arbitraire. Ils sont donc 
nécessairement nuls. 

Le même raisonnement montre qu'étant nuls au point 

Xts + -. — ■) ils le seront encore de x^ + -, — a x^^ -\- -, — ? • • • ? 

et enfin, dans tout le domaine de x^ — p à .To + p où nous 
avons pu définir les fonctions j>^, z. 

81. Passons au cas des fonctions et des variables com- 
plexes. Soit encore 

un système de deux équations différentielles. 



94 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1. 

Nous admettrons ici que(^OîJKoi ^o) soit un point ordinaire 
pour les fonctions /, /< . On pourra donc, par définition, 
tracer autour de .ro, y^y ^o des contours fermés K, K', K", 
tels que/, y, , et leurs dérivées partielles restent monodromes 
et continues, tant que ^,JK, ^ ne sortiront pas de ces con- 
tours. 

Soient 
d, d', d" les distances minima des points Xq, y^^ Zq à K, 

K', K"; 
S, S', S'^ les périmètres de ces contours; 
M une limite supérieure du module de /et de/,, lorsque x, 

y^ z décrivent respectivement ces contours. 

On pourra écrire 

/(^j y, -) = y «apy(^ — ^<^Y{y—y^y^{^ — -o)^, 

J\{x, y, z) =.^ba.f.^{œ - x,Y{y - y,)^{z ~ z,)\ 

ces développements restant convergents tant que les modules 
de ^ — Xo, y — ya, z — ^o resteront inférieurs à d. d\ d" . 
D'ailleurs 

_ _J c}^-^P+Y/(^o,j„^,) 

et l'on aura (T. I, n« 206) 

MSS^ I 

'''"i^^'< (2 7:)^ d^^^d'P^'d"y-^^' 

et, « fortiori, 

I I- N 

en désignant par r la plus petite des quantités d, d' , d", et 
posant, pour abréger, 

(271)3 ~ 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. C)5 

On obtiendrait la même limite pour le module de ^apy 
Soient enfin Xq -\- h, y^ -f- /r, Zq-\- l des points assez voi- 
sins de Xq, JK05 ^0 pour que les droites qui les joignent à ces 
derniers points soient respectivement comprises dans l'inté- 
rieur des contours K, K', R^', et soient 8, 8', Z" les plus courtes 
distances de ces droites à ces contours; on aura 



[ |[/(^oH-^^7o-H/', -0+ 0— /(^o;/», -o)]| 

' d 



=U^^^'^- 



(2) 



\h\ 



ù 



ht, y 



/a. 



U)dl 



l -.— ) /(^o 4- ht, jo + /' ^ -0 + ^0 ^^^ 



\k 



-+- 



^1 



82. Ces préliminaires posés, clierchons à déterminer des 
fonctions y, z qui satisfassent aux équations données 



(3) 



dv 

d 

dz 

dx 






et qui, pour x = Xq^ se réduisent respectivement à jKo -\- ^ et 
à ^0 + A /V et / désignant des constantes très petites. 
Nous poserons, à cet effet, 



Z — Zo=:l -i~\dl^,y{x — Xo)'^^k^l'' 



(4) 



(X =1,2, 
([J., V ::=::0, I, 



00). 



Substituons ces valeurs dans les équations (3), dévelop- 
pons le second membre suivant les puissances de x — Xq, 
ky /, et égalons les coefficients du terme général; il vien- 
dra 



96 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 1. 

F et <I> étant des polj'DÔmes à coefficients positifs, formés 
avec ceux des coefficients a, b^ c, d, où la somme des indices 
ne surpasse pas ).+ pi H- V. 

Les équations précédentes déterminent, successivement et 
sans ambiguïté, les coefficients c et d; ils seront donnés par 
des expressions de la forme 

( 5 ) CXJJ.V = Fxjxv 5 di^y = *xjxv , 

FxjjLv et $xp.v étant des polynômes à coefficients positifs, for- 
més avec les quantités a, b. 

Les expressions (4), où les coefficients c, d seront déter- 
minés par les équations (5), satisfont évidemment aux con- 
ditions du problème. Si l'on j groupe ensemble les termes 
affectés des mêmes puissances de k et de /, on obtiendra un 
résultat de la forme 



7-Jo 



SpAl^/^ Z - ^0 ^ y T[;.vAl^/^ 



Sjxv et T[j.v étant des séries qui procèdent suivant les puis- 
sances de ^ — Xq. 

En supprimant dans les expressions précédentes les termes 
qui dépendent de A' et de /, il viendra 

et il est clair: i"qiie ces équations donnent un système d'in- 
tégrales qui se réduisent à yo, Zq pour a:=^Xo\ 2° qu'on 
aura 






83. La méthode que nous venons de suivre suppose 
évidemment que les séries sur lesquelles nous opérons 
sont absolument convergentes. Nous allons vérifier qu'il 
en est ainsi tant que /r, /, ^ — Xq seront suffisamment 
petits. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 97 

Remplaçons, en effet, dans les séries (4) chacun des coef- 

fîcients «apy, c^apY par la quantité ^^ — ^j limite supérieure 

de son module, et les quantités k, l par une même quan- 
tité positive m, au moins égale à |A"| et à |/|. Nous ob- 
tiendrons de nouvelles séries, à coefficients positifs, et dont 
chaque terme aura un module au moins égal à celui du 
terme correspondant des séries primitives. Celles-ci seront 
donc absolument convergentes si les nouvelles séries le 
sont. 

Mais ces séries sont évidemment celles que l'on obtiendrait 
si l'on cherchait à déterminer des fonctions Y, Z, qui se ré- 
duisent à yQ + m, ^0 + m pour x = Xq^ et qui satisfassent 
aux équations différentielles 

N 

^^^^ -[r-(^-^o)][A'-(Y-jo)][r-(Z-^o)]' 

dZ N 

Or on peut intégrer directement ces équations et s'as- 
surer que ces fonctions Y, Z existent, et sont développables 
en séries convergentes quand m el x — Xq sont suffisamment 
petits. 

On en déduit, en effet, 

dZ =: dY, 

et, en intégrant de Xq à x^ 

Z — >^o = Y — jo- 

Substituant dans la première équation, il vient 

dY N 

dx-[r-{x-Xo)][r-{Y-y,)Y 
i — Cours, III. 7 



9^ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

OU, en séparant les variables et intégrant de Xq à :r, 






œ — j:o 



cl enfin 

(7) Y-yo-=/'-Ç/(/'-m)^^4-3Nlog(^i- 

La fonction de m et de ^ — Xq ainsi définie n'a évi- 
demment de points critiques que ceux pour lesquels on 
aurait 

j ; — =0, d OU X — Xq = r 

ou 

(/■ — m)5 + 3N]og(^i~ 

d'où 

a: — Xo=^ r — re 



3N 



Si donc on assujettit m elx — Xq aux conditions suivantes 
(où q désigne une quantité positive << /) 



\x — Xq\ <i /' — re '^^ 



Y — j'o restant monodrome et continu pour tous les sys- 
tèmes de valeurs considérés, sera développable en une série 
procédant suivant les puissances de 77i et de ^ — Xq et con- 
vergente dans les limites ci-dessus. 

Cette série se déduirait d'ailleurs de la série (4), qui 
donne y — y^, en remplaçant k, l par m et les coefficients 
cx[j.v pai^ une limite supérieure de leurs modules. On ob- 
tiendra une limite supérieure de la somme des modules 
de ses termes, et a fortiori une limite supérieure du mo- 
dule de y — jKoî en remplaçant m par q, el x — Xq par son 
module dans la série, ou dans l'expression équivalente (7). 



Donc 



:/-7o 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 99 



^(,--^)3 + 3Nlog[.-^^l]. 



et l'on obtiendra la même limite pour le module de ^ — Zq. 
Si nous supposons maintenant que q tende vers zéro, la 
limite du module de ^ — ^07 en deçà de laquelle la conver- 
gence est assurée, tendra vers la quantité fixe 



re 






que nous désignerons par p. Et, si |.r — œo\ est assujetti 
à rester << p — 8, 3 étant une quantité positive quelconque, 
\y — 7o\ et 1^ — Zq\ resteront constamment moindres que 
r — £, £ étant une quantité positive, déterminée par la re- 
lation 

£ = i/V^4-3Nlo§( I- ^ 

Nous obtenons donc, comme conséquence de toute cette 
analyse, le théorème suivant : 

Les équations (i) admettent un système d^ intégrales y, 
z qui se réduisent à yo, Zq, pour x = ^o- C<^^ intégrales et 
leurs dérivées successives par rapport aux paramètres y ^^ 
Zq, sont développables suivant les puissances entières et 
positives de x — Xq^ en séries convergentes, tant que le 
module de x — Xq sera moindre que la quantité fixe 

l --\ 
p — r\i — e '^^ ]. 

Enfin, si ce module reste inférieur à — 8, les modules 
de y — jKo et de z — Zq resteront inférieurs à r — £, s étant 
une ciuantité positive, dépendante de 0. 

84. Les séries y, ^, que nous venons de déterminer, con- 
stituent le seul système de solutions des équations différen- 
tielles qui se réduisent à^o ^0 pour x = Xq. 



100 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Pour le montrer, considérons une ligne rectifîable quel- 
conque L partant du point Xq et supposons :r astreint à par- 
courir cette ligne. Soient Y, Z deux fonctions défîaies le 
long de cette ligne, lesquelles satisfassent aux équations dif- 
férentielles, et se réduisent àyo> ^o pour ^ = Xq. Nous allons 
établir que dans toute la partie de L où |^ — ^o| <C p — '^d 
Tj étant une quantité fixe quelconque, on aura nécessaire- 
ment Y --=^y, 7j = z. 

On a, en effet, dans toute cette portion de L 

\y-J'o\<r — ^, 1^ — ^o|<^-o, 

désignant une quantité fixe qui dépend de y]. 

Les fonctions Y — y, Z — :; admettent, par hypothèse, les 
dérivées 

/(^, Y, Z)— /(^, 7, z), 
f,{œ,Y,Z)-Mœ,f,z). 

Elles ne peuvent donc varier que d'une façon continue, et 
leurs modules, nuls au point ûCq, origine de L, ne pourront 
atteindre ou dépasser un nombre s (que nous supposerons 
infiniment petit) sans avoir franchi toutes les valeurs inter- 
médiaires. 

Or tant que ces modules seront << £, on aura 

|Y-y| = | r[/{a:,Y,Z)~/{a^,f,z)]dx 

U -V. 

, |Y-.r| + |Z-.-| N „ 

^ e (O Ej-T) 

5 désignant l'arc de L compris entre ^o et x, 

bi nous prenons £ <^ -> cette expression seramomare que 

lôsN 
8^ ^ 



S^T) 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 

et si Parc s est moindre que la quantité finie -r—^- elle sera 

moindre que -• 

Donc sur cet arc fini s, |Y —j\ (et aussi |Z — ^j) ne pour- 
ront prendre aucune des valeurs comprises entre - et e. Ils 
ne pourront donc atteindre ni dépasser la valeur s; celle-ci 
étant arbitraire, ils seront nécessairement nuls. 

On verra de même que |Y — y\ et |Z — z\ seront nuls le 
long d'un second arc de même longueur que le précédent et 
lui faisant suite; ils seront donc nuls tant que \x — Xo\ sera 
<|p — 7]|, et enfin, Tj étant arbitraire, tant que \x — ^oi 
sera << p. 

85. Nous avons établi, par ce qui précède, qu'il existe un 
système unique d'intégrales y, z satisfaisant aux conditions 
du problème. Elles sont données sous forme de séries, dont 
la convergence est assurée dans un cercle G de ra^on p décrit 
autour du point Xq. 

Si la variable x sort de ce cercle, on pourra déterminer 
leur valeur de proche en proche par le procédé déjà employé 
au Tome I pour suivre la marche d'une fonction analytique. 

Supposons que x décrive une ligne L issue du point Xq] 
soient x^ un point de cette ligne, encore situé à l'intérieur 
de G; jKi, ^i les valeurs correspondantes de y, z. On aura 
|^<— ^o|</^|jKi— ro|<^^|^»— ^o|</'. Le point (^<,jK<,iji) 
sera donc un point ordinaire pour /, f\ et les équations dif- 
férentielles admettront un système de solutions se réduisant 
à yi, Z{ pour x — x^. Ges solutions seront des séries de 
puissances de x — x^\ soit G, leur cercle de convergence 
certaine; pi son rayon. 

Ges éléments de fonction analytique ayant pour centre x^ 
seront contigus à ceux qui avaient pour centre Xq et permet- 
tront de déterminer les valeurs dejK, ^, de .^4 à ^27 ^2 étant 
un point choisi à volonté sur L, au delà de x^ , mais encore 
à l'intérieur de Gi. 



102 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Au delà de ^2? l'intégrale sera représentée par de nou- 
veaux éléments de fonctions analytiques ayant leur centre 
en Xi- 

En continuant ainsi, on finira par arriver jusqu'à l'extré- 
mité de la ligne L, à moins que les rayons des cercles suc- 
cessifs p, p,, p2, . . ne forment une suite convergente; 
auquel cas il pourrait arriver que le procédé ne permette de 
suivre la marche des intégrales que jusqu'à un point déter- 
miné x^ de la ligne L. 

Lorsque x se rapprochera de x^ en suivant la ligne Ij, 
diverses circonstances pouvant se présenter : 

1^ L'une au moins des deux quantités j^, z ne tendra vers 
aucune limite, ou tendra vers l'infini; 

2° Elles tendront toutes deux vers des limites finies jk^ z\ 
Dans ce cas (x' ^ y' , z') sera un point critique pour l'une au 
moins des deux fonctions /, f^ . En effet, si ce point était 
ordinaire, il lui correspondrait un certain rayon de conver- 
gence p'. Pour un point x,i infiniment voisin de x^, pris sur 
la ligne L, y, z prendraient des valeurs y,i, Zn, infiniment 
voisines de y', z\ et le rayon de convergence p„, corres- 
pondant au point {^Xn-, yn, ^n), serait infiniment voisin de p', 
au lieu d'être infiniment petit. On pourrait donc, au moyen 
du cercle C/^, déterminer les valeurs de y^ z au delà du 
point x' . 

Le procédé indiqué ci-dessus pour suivre la marche des 
intégrales est peu satisfaisant au point de vue pratique. En 
effet, chacune des valeurs successivesjKi , ^^,y2^ ^2^ - - - exige, 
pour sa détermination, un développement en série, puis la 
sommation de cette série, opération compliquée et dont le 
résultat ne peut en général s'obtenir exactement. Or chaque 
erreur commise influe sur toute la suite des calculs. Il faudra 
donc opérer avec une très grande approximation, sous peine 
d'altérer beaucoup le résultat final. 

86. La méthode dite des quadratures, que nous allons 
exposer, est sujette à ce même inconvénient, mais donne 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Io3 

lieu à des calculs plus faciles. Voici en quoi elle con- 
siste. 

Marquons sur la ligne L une série de points ^,, ^25 ' • ', ^m 
intermédiaires entre x^ et X, et suffisamment voisins les 
uns des autres; puis, déterminons deux séries de quantités 
>"nJ2^ • • -^y;,.. Y'el^;, ^;, .. ., c;,„ Z^par Ics relations 

^ y m'^^^ jK^iniymi ^ m) \^ ^m)j 

Y' et U seront des valeurs approchées de Y, Z, et l'erreur 
commise tendra vers zéro à mesure que Ton multipliera les 
points intermédiaires. 

87. Nous justifierons cette méthode en cherchant une 
limite supérieure du module de l'erreur commise. 

Soient \ un point quelconque de la ligne L; Vj, Ç les va- 
leurs coi-respondantes des intégrales. 

On peut déterminer par hypothèse une quantité /•, telle 
que /' et f^ soient développables suivant les puissances de 
X — \i y — '^15 ^ — Ç tant que les modules de ces quantités 
ne surpassent pas /•. Ce nombre r est une fonction de ç. 

Si \ se déplace sur L d'une manière continue, yj, X^ variant 
aussi d'une manière continue, il en sera évidemment de 
même de /•, lequel admettra un minimum différent de zéro. 
Soit R un nombre inférieur à ce minimum. 

Si le point (^, jk, ^) se déplace, de telle sorte qu'on ait 
constamment sur la ligne L un point (?, 'f\^ Ç) fixe ou variable 
pour lequel on ait 

le poini (^, y, ^) décrira un ensemble borné et parfait où 
les fonctions /el>yi restent finies et continues. Leur module 
ne pourra donc surpasser un nombre fixe ^.. 

D'ailleurs, si j^r — i|, \y — 'r\\^ \z — X^\ sont < R — 5, 



I04 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

désignant un nombre fixe, on aura 
N étant égal à 4^-^. 

^ (271)3 

Cela posé, supposons les intervalles^o-^n • • • 7 ^k^k+i, • • • , 
tous <; )^ et cherchons une limite supérieure des modules 
des différences entre les valeurs y^^ Zi, . . . , jka, ^k, . . • , Y, Z 
des intégrales aux points ^<, . . . , Xk^ X et les valeurs appro- 
chées y\ , s', , . . . , Y', Z'. On a 

jA+i — /A = / /( ■3:', y, - ) ^^, 



f 



d'où 

[/(^. 7> -) —fi^k, fky -;,)]^^. 

Si nous supposons \y\ — j"a|, |s)^ — Zk\ moindres que R — o, 
le module de la quantité entre parenthèses ne pourra surpasser 

N 
[>^ + |7a-7a| + 14-^1]^ 

(1^ — Xk\ étant << ).); on aura donc 

Ij/c+i-/aI<|71--/a-| 

N 

On a une inégalité semblable pour z\^^ — z\.. 

Ajoutons ces deux relations, et posons pour abréger 

i/;.-j'*i+i4-=*i+>- = u*. 

Nous obtiendrons la relation 

TT -XT r ^N , ,1 ^T —\Xk+'i-Xk\ ^^ 77-< 

s désignant la longueur de la ligne L. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Io5 

D'ailleurs, au point œ^, on a y^=yQj z'q = Zq, d'où Uq = "X. 

Chacune des quantités Ua et a fortiori chacune des quan- 
tités l/k—yk]^ l^-'k — ^f^l ^^ ^^^^^^ |Y'— Y|, \U—Z\ seront 
donc moindres que 

si les précédentes sont moindres que R — ô. 

Cette condition sera satisfaite, si l'on prend \ assez petit 
pour satisfaire à l'inégalité 

La limite d'erreur ainsi trouvée tend bien vers zéro avec )., 
comme nous voulions l'établir. La formule montre toutefois 
l'imperfection de la méthode, car l'arc s figure sous une 
exponentielle dans l'expression de l'erreur à craindre. Pour 
peu que le champ d'intégration soit étendu, il sera difficile 
de multiplier assez les points de division pour obtenir une 
approximation suffisante. 

88. On a souvent avantage à transformer les équations 
différentielles proposées par un changement de variables, 
avant de recourir aux quadratures. Ce procédé constitue la 
méthode de la variation des constantes, dont nous allons 
indiquer le principe. 

Soient 

(8) ^:=M4-aN, ^ = M'4-aN' 

deux équations différentielles simultanées, où M, M', N, N^ 
sont des fonctions de x, y, z et a une constante très petite. 
Proposons-nous de trouver un système d'intégrales j', z se 
réduisant àyo? ^o pour x ^= Xq. 

Si l'on négbgeait les termes en a, les équations se rédui- 
raient à 

(9) S -M' S=^l' 



THF. 

TTNIVERSI 



I06 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Supposons qu'on puisse déterminer, par un procédé quel- 
conque une intégrale générale de ces deux équations, repré- 
sentée par deux équations 

(ro) j=z/(^,c,c'), z — <^{œ,c,c'). 

Le système d'intégrales particulières des équations (9) 
qui, pour a: = ^o? se réduisent àjKo) ^0 sera fourni par ces 
équations, en y donnant à c, c' les valeurs Cq, c'^ qui se dé- 
duisent des équations 

Le système des intégrales particulières des équations (8) 
qu'on demande de trouver pourra de même être représenté 
par les équations (10), à la condition d'y considérer c, c' non 
plus comme des constantes, mais comme de nouvelles incon- 
nues à déterminer en fonction de x. Ces nouvelles variables 
devront : 1° se réduire à Co, c^ pour ^ = -^^o j 2° satisfaire aux 
équations différentielles qu'on obtient en substituant dans les 

équations (8), à la place àey^ ^'77^' TT ■ ^^"^'^ valeurs 

y — f{œ,c,c'), z:==zo{x,c,c'), 

ày __ d£ df dc^ _^ f^ 

dx dx de dx de' dx ' 

dz __ ào à'^ de do de' 

dx ÔJ^ de dx de' dx ' 

Les équations ainsi obtenues, résolues par rapport à -7-, 

-j-i prendront la forme suivante 

où P, Q, P', Q' sont des fonctions de x, c, c'. 

Mais, si a était nul, c et c' seraient constants et leurs déri- 

dc de' 
vccs -7-> -j— se réduiraient à zéro. Donc P et P' sont nuls, et 

CLJO CtJO 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. IO7 

les équations précédentes se réduisent à la forme plus simple 



de 


£=■«•■ 


n en déduit 




c — Co = a / Q dx, 


c' —c^—^j. 



dx. 



Les fonctions Q et Q' contiennent, outre la variable d'in- 
tégration x^ les fonctions inconnues c, d . Mais les déri- 

dc de' (. , . , 

vees -T-? -7- j contenant en lacteur la quantité a supposée 

très petite, sont elles-mêmes très petites ; donc c, c varient 
lentement, et, si le champ d'intégration n'est pas trop étendu, 
on pourra, sans altérer sensiblement les fonctions Q, Q', y 
remplacer les variables c, c' par leurs valeurs initiales Cc, c'^. 
On n'aura plus alors qu'à intégrer une fonction de x seul, ce 
qui est facile. 

Si le résultat obtenu n'est pas jugé assez exact, on pourra 
remplacer c et c' dans les fonctions Q et Q' par les valeurs 
fournies par cette preaiière approximation, et recommencer 
l'intégration, et ainsi de suite. 

89. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que de 
calculer les valeurs numériques des fonctions y, z pour une 
valeur donnée de la variable. Il nous reste à tirer les consé- 
quences des résultats trouvés au point de vue des propriétés 
analytiques de ces fonctions intégrales. 

Leurs valeurs finales Y, Z en un point quelconque X dé- 
pendent, d'après notre mode de procéder, non seulement de 
la position de ce point, mais de la ligne L par laquelle la 
variable x se rend de Xq à X. Toutefois, si cette ligne est 
telle que la valeur x de la variable indépendante en chacun 
de ses points, associée aux valeurs correspondantes jk, z des 
fonctions intégrales, donne un point ordinaire des fonctions/ 
et/",, on pourra lui faire subir une déformation infiniment 
petite quelconque sans altérer les valeurs finales Y et Z. 



I08 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

En effet, chacun de ces points x est le centre d'un cercle 
dans l'intérieur duquel y ^\ z sont des fonctions mono- 
dromes de x. Le rayon R de ce cercle, variant d'une manière 
continue quand x se déplace sur L et n'étant jamais nul, ne 
pourra s'abaisser au-dessous d'un minimum fixe R'. Si l'on 
trace autour de chacun des points de L un cercle de rayon R', 
ces cercles recouvriront une région du plan dans l'intérieur 
de laquelle jr et z seront évidemment monodromes. On n'al- 
térera donc pas leurs valeurs finales Y, Z, si l'on remplace la 
ligne d'intégration L par une autre ligne quelconque U ne 
sortant pas de cette région. 

On pourra ainsi, sans altérer Y, Z, déformer la ligne L 
d'une façon continue, aussi longtemps que les valeurs simul- 
tanées de x^ y, z correspondant à chacun de ses points 
seront un point ordinaire de y* et de/") .Mais, si L prend dans 
le cours des déformations une forme telle qu'en un de ses 
points X, y, z soient un système de valeurs critique pour 
l'une au moins des deux fonctions /"ety,, le raisonnement se 
trouvera en défaut et il pourra même arriver que dans cette 
position de la ligne d'intégration Y, Z ne puissent plus être 
calculés par nos procédés. 

Les points pour lesquels les valeurs simultanées de x^y, z 
forment un système critique pour /ou y, pourront donc être 
(et seront le plus souvent) des points critiques pour les fonc- 
tions intégrales jK, z. 

90. Pour obtenir les éléments nécessaires à l'étude appro- 
fondie des fonctions intégrales, il resterait : i° à déterminer 
la position de leurs points critiques; 2° à étudier les varia- 
tions de ces fonctions aux environs de ces points critiques. 

Le premier de ces deux problèmes est malheureusement 
inabordable dans la plupart des cas; car jr et 3 figurant, ainsi 
que X, dans la définition de ces points, on n'a, en général, 
aucune méthode pour fixer leur position a prioj^i. On ne 
pourra les connaître qu'après avoir achevé l'étude des inté- 
grales, qu'ils auraient dû servir à faciliter. Il y a là un cercle 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. IO9 

vicieux, qui constitue la principale difficulté du problème de 
l'intégration. 

Suivant les circonstances, ces points seront isolés ou non ; 
ils pourront même constituer des lignes entières, auquel cas 
les fonctions y, z n'auraient une existence définie que dans 
la région du plan que l'on peut atteindre, en partant du point 
initial Xq^ sans traverser ces lignes critiques. 

91. Il existe toutefois un cas extrêmement important, où 
l'on peut déterminer d'avance la position des points critiques : 
c'est celui où les seconds membres des équations différen- 
tielles sont linéaires par rapport aux fonctions inconnues. 

Considérons, pour fixer les idées, un système de deux 
équations de ce genre 

(II) ^Z=:^A7-f-B.^-hG, ^ z=A'/ + B'^H-G', 

où A, B, . . . , G' sont des fonctions de x. Soit Xq un point 
ordinaire de ces fonctions; on aura, tant que le module de 
X — Xq r\Q surpasse pas une quantité fixe r, des développe- 
ments convergents 

A =\ ay,{x — ^0)^, 

G=^Ca(^-^or, 
) 

les coefficients ^a, ^a, • • • ayant pour limite supérieure de 
leurs modules une expression de la forme — • 
Cherchons un système d'intégrales 

y -- y^^\dx{x — X^)^, Z — Zq ^\ei{x~Xo)'^, 

qui, pour x = Xo^ se réduisent à jKo> ^o- On déterminera les 
coefficients d, e en substituant ces valeurs dans les équations 



IIO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

différentielles. Il viendra, en égalant les coefficients des termes 
en (^ — ^o^^j 

(X -+- i)<ix-H, =z a^di-h aidi^i -h. . .-h a\^^d^ -\- bQe\-\- . , , 

+ Z>x_, ei + «x/o + '^X-o + Cl, 
(X 4- i)ex+i = < ^x + . . • H- 4-1 ^A + ^0 ^A ^- . . . 

■4- ^x_i^i + 4/o + ^x^o + 4- 

Ces formules récurrentes donneront, pour les coefficients 
d^ e^ des expressions de la forme 

où Fx et ^\ sont des polynômes linéaires et homogènes par 
rapport à^o^ ^o et aux coefficients c, c', les coefficients de 
chacune de ces quantités étant des polynômes à coefficients 
positifs, formés avec les a, 6, a', b'. 

Nous obtenons ainsi cet important résultat, que les inté- 
grales cherchées y, z dépendent linéairement de y^y Zq. 

92. Cherchons le rayon de convergence certaine de ces 
séries. Le cas le plus défavorable est évidemment celui où 
les coefficients a, ^, c, a', b', c' sont remplacés par les 
limites supérieures de leurs modules, et j'o, ^o par une limite 
supérieure m de leur module. Dans cette hypothèse, les équa- 
tions diflerentielles se réduisent à 

— irO'H-- + 0. 



dz 

dx ~ 


' dx 


On en déduit 




-=y 


et 



d>_ M 

dx X - 



(27+1) 



et en intégrant, après séparation des variables. 



11... 2 y + I 



log-^ =— M/'iog 



2/?i 4- 1 \ /• 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I I I 

Cette fonction n'a qu'un point critique, x ^= Xq -h r. La 
convergence est donc assurée dans tout le cercle de rajon /-. 

Donc, quels que soient jKo? ^o, les intégrales jk, ^ seront 
continues et monodromes dans toute région du plan où les 
fonctions A, B, C, A', B', G' sont elles-mêmes continues et 
monodromes, et ne pourront avoir d'autres points critiques 
que ceux de ces fonctions. Encore n'est-il pas certain que ces 
derniers points soient critiques pour y et z. 

93. Les exemples suivants, que nous empruntons à Briot 
et Bouquet, montrent comment on peut effectuer l'étude des 
intégrales, aux environs de leurs points critiques. 

Soit l'équation différentielle 

dy 1 



(12) 



cU- J\x, y) 



f{oc^y) s'annulant pour ^ = o, jv' = o et admettant ces va- 
leurs comme point ordinaire. 

Cherchons celles de ses intégrales qui s'annulent pour 
^ = o. 

Si nous considérons x comme fonction de j^, il viendra 

(>3) ^=/(^,j). 

Cette équation admet une seule intégrale monodrome x^ 
s'annulant pour jk = o. Sa dérivée s'annulant également, elle 
sera développable en une série de la forme 



00 

=1 



X:=:. \ a-tV 

9 



Supposons que am soit le premier coefficient de la série 
qui ne s'annule pas. L'équation précédente, résolue par rap- 
port à y, donnera un résultat de la forme 



y z=z\^x"' ~\- l^x'' 



Cette fonction a /n valeurs correspondantes aux diverses 



112 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

déterminations du radical x^\ elles se permutent les unes 
dans les autres lorsqu'on tourne autour du point x ^=^0, qui 
sera un point critique algébrique. 

Le cas où tous les coefficients a^. s'annuleraient à la fois 
échappe à l'analyse précédente. 11 faut et il suffit, pour cela, 
que ^r = o soit une solution de l'équation (i3) et, par suite, 
que f{oc,y) contienne x en facteur. Dans ce cas l'équation 
^r = G, ne contenant pas y, ne permettra pas de tirer la va- 
leur dey en fonction de x. L'équation (12) n'admettra donc 
aucune intégrale qui s'annule avec x. 

94. Considérons, en second lieu, l'équation différentielle 

(>4) œ^=f{,a:,y), 

où f{x^ y) a la même forme que dans l'exemple précédent. 
Cherchons à déterminer les intégrales de cette équation, qui 
s'annulent pour x ^z o. 
Soit 

/(•^j 7) — 'ky^a^^x^ ^20^' -f- «11 '^Z + 

Substituons, dans l'équation différentielle, à la place de j^, 
une série 

(i5) r = Ci.r -f- c,^^ +. . ., 

et égalons les coefficients des mêmes puissances de x dans 
les deux membres. Nous obtiendrons une suite d'équations 
de la forme 

où cpjj^ est un polynôme à coefficients entiers positifs, formé 
avec les coefficients a, et les quantités Cj, ..., Cjj_<. 

Si \ n'est pas un entier positif, on pourra résoudre ces 
équations par rapport aux c, et l'on en déduira un résultat de 
la forme 

^^ étant une somme de termes ayant pour numérateur un 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. II 3 

produit de coefficients a, multiplié par un entier positif, et 
pour dénominateur un produit de facteurs de la forme [x — X. 
Ces derniers facteurs sont tous différents de zéro, et leur 
module croît indéfiniment quand [jl augmente. On pourra 
donc déterminer une limite inférieure / de leurs mo- 
dules. 

Cela posé, la série (i5) satisfait à l'équation (i4); mais il 
faut prouver qu'elle a un ra^on de convergence certaine. Or 
on accroîtra les modules de ses termes, en y remplaçant, 

M 

d'une part, les coefficients a^p par les quantités ô> limites 

supérieures de leurs modules, et, d'autre part, les facteurs en 
dénominateur par /, limite inférieure de leurs modules. Mais 
la nouvelle série, ainsi obtenue, est évidemment celle que 
l'on trouverait en cherchant à développer la racine infini- 
ment petite de l'équation algébrique 

M M , M 

et converge pour des valeurs de x suffisamment petites. 

9o. Pour reconnaître s'il existe d'autres intégrales que la 
série que nous venons de déterminer, et s'annulant égale- 
ment pour ^ = o, posons 

y ^ c^œ -h c^œ'^-h . . . H- -, 

z étant une nouvelle variable. Substituant cette valeur dans 
l'équation différentielle et supprimant les termes indépen- 
dants de s, qui se détruisent, nous obtiendrons l'équation 
transformée 

dz 
> (i6) iJC -^ = z{l ^ bio^ -h b^iz -h b,o^^ -^ - ")■ 

Nous avons à chercher une solution z de cette équation, 
J. — Cours, III. 8 



Il4 TROISlfî^tE PARTIE. — CHAPITRE I. 

qui ne soit pas conslamment nulle aux environs du point 
^ z= o, mais qui tende vers zéro lorsque x tend vers zéro 
suivant une loi convenable. 
Soient donc 

^0 un point voisin de l'origine; 
;;o<o la valeur correspondante de z\ 

L une ligne allant de x^^ à l'origine, et telle que z tende vers 
zéro quand x décrit cette ligne. 

L'équation (i6) pourra s'écrire 

OU, en supposant que \ ne soit pas nul et développant en 
série le dénominateur de dzj 

et, en intégrant àe Xq k x le long de la ligne L, 



I c X 

-log- -log — 



— / {c^-\-c^z-\-...)dz -^ i 



dx. 



Si ^ tend vers zéro, z tendant également vers zéro, les in- 
tégrales du second membre tendront vers des limites finies et 
déterminées. Le second membre sera donc de la forme A -f- e, 
A étant une constante et s s'annulant avec x. On aura par 
suite 

' logf -log^ =A-i-£; 

d'où, en passant des logarithmes aux nombres, 



œ^ x^ x'^ x^ 

C désignaïjt une quantité finie et différente de zéro. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 11^ 

Pour que z tende vers zéro, il est donc nécessaire que x^ 
tende vers zéro en même temps que x. Discutons cette con- 
dition. 

Soient 

\^=^p ^ qi^ ^ — p(cosO 4- isinÔ), 



on aura 



XlOgX — - g(p-f-(irO(Logp4-{0) 



X' 



I -— g;)Logp— vO^ 



Quand X tend vers zéro, son module p tend vers zéro, son 
argument B pouvant varier d'une manière arbitraire, suivant 
la nature de la ligne suivie L. Pour que ^^ tende vers zéro, 
il faut et il suffît que /?Logp — ^8 tende vers — oc . 

Soit d'abord ^=z=o. Cette condition sera toujours satis- 
faite, quelle que soit la ligne L, si/? est positif; mais elle ne 
pourra jamais l'être si p est négatif. Dans ce dernier cas, il 
n'existera donc aucune intégrale de l'espèce cherchée. 

Si q n'est pas nul, on pourra toujours déterminer B en 
fonction de p, de telle sorte que la condition 

Jim(/?Logp — 70)=: — 00 

soit satisfaite ou ne le soit pas. Mais ici il convient encore de 
distinguer le cas où p est positif de celui où il est négatif. 

Si /? > o, la condition précédente sera satisfaite toutes les 
fois que B sera assujetti à varier entre des limites finies. Pour 
que a^ ne tendît pas vers zéro avec x^ il faudrait donc que la 
ligne L fût une spirale décrivant un nombre infini de révolu- 
tions autour de l'origine. 

Si p <C o, le contraire aura lieu et oc^ ne pourra tendre vers 
zéro avec x que si L est une semblable spirale. 

96. Ces préliminaires posés, nous allons démontrer qu'à 
chaque valeur de la constante c correspond une intégrale de 
l'équation (16), développable en une série à double entrée 
suivant les puissances de x et de x^ et convergente tant que 
ces deux quantités seront suffisamment petites. 



Il6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Posons en effet 



X^ll 



l'équation (i6) deviendra 

(17) ^'dx~ «<(6io^4- h^^x^ii + 620^^ + . . .)• 

Substituons pour u une série à double entrée 

" — y^p"^"^^^"'' ( [A, V = o, I , . . . , 00 ). 

Egalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les 
deux membres, il viendra 

F[xv étant un polynôme à coefficients positifs, formé avec 
ceux des h et des c où la somme des indices est moindre que 

Celle de ces équations qui donnerait Coo est identique; ce 
coefficient reste donc indéterminé, et l'on pourra lui assigner 
la valeur donnée c. 

La résolution des autres équations donnera 



(p^,v étant un polynôme dont chaque terme est un produit de 
facteurs h^ multiplié par une puissance de c et par un entier 
positif et divisé par un produit de facteurs de la forme s -\-\t^ 
5 et ^ étant des entiers positifs, dont l'un peut être nul. 

Le module des facteurs s -\-\t =^ s -{- pt ^ iqt est diffé- 
rent de zéro et croît indéfiniment avec 5 ou ^ (l'hypothèse 
^ = o, /? <C o, étant exclue par ce qui précède). On pourra 
donc trouver une limite inférieure /n, telle que l'on ait 

\ s ^-lt\'> m 
pour toute valeur de s et de t. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 



117 



La série que nous venons de déterminer est une solution 
de l'équation différentielle (17) satisfaisant aux conditions 
posées, solution admissible tant que la série sera conver- 
gente. Or on diminue évidemment la convergence en rem- 
plaçant partout les facteurs s-^'kt par m, c par son module G 

. , M 

et les coefficients è^p P^ï" les quantités -;^^> limites supé- 
rieures de leur module. Or on voit sans peine que la nouvelle 
série obtenue est celle que l'on trouverait en cherchant à 
développer suivant les puissances de x et de x'^ celle des deux 
racines de l'équation 



/M M , M , \ 

\r r /-^ ; 






qui se réduit à G pour ^ = o, x^' = o. 

Mais cette racine est évidemment continue et monodrome 
tant que les modules de x et de x^ resteront au-dessous d'une 
certaine limite. Donc, tant que cette condition sera satis- 
faite, V sera développable en série convergente suivant les puis- 
sances de X et de x^, et la série qui donne u sera a fortiori 



97. Supposons maintenant "k entier et positif. S'il est ;> i , 
posons 



/ 



X -\- xz. 



L'équation transformée en z^ divisée par le facteur com- 
mun x^ prendra la forme 

^-T^ = (X — i)^ + ^lo^H- ^20-^^+ ^11-^^ -+■• • • 

et sera semblable à la primitive, le premier coefficient \ 
étant diminué d'une unité. 

Par une série de transformations analogues nous pourrons 



Ilo TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

réduire ce coeifîcient à l'imité. Reste donc à considérer 
l'équation 

dv 
('8) x-^z y -\- a^QOc — a^Qx'^^ a^^xy -\- 

Nous allons démontrer qu'elle admet pour intégrale une 
série procédant suivant les puissances entières de :r et ^ log .r 
et contenant une constante arbitraire. 

Désignons à cet effet par Aïo, • . . , A^p, ... les modules 
des coefficients ci^q^ . . . , a^p, ... ; par \ une quantité po- 
sitive un peu moindre que l'unité, et considérons d'abord, 
au lieu de l'équation proposée, la suivante : 

dy 

{nj) X -^ Xj-i-A,o^=A2o^--hA,i^j -h 

D'après ce que nous venons de voir, elle admet comme 
intégrale une série procédant suivant les puissances de x et 
de oc^ et contenant une constante arbitraire. 

Posons 

^'^> rrz ^ -f- ( I — \)t. 

Par cette substitution, nous obtiendrons, comme nouvelle 
forme de cette intégrale, une série procédant suivant les 
puissances de x et de ^, et qui sera encore convergente 
quand ces variables seront assez petites. Pour calculer di- 
rectement les coefficients de cette nouvelle série, nous re- 
marquerons qu'on a 

^^-'-^^^-'^^ 

d'où 

dt \a?' — X 

X -r- =: r— =r A ^ — X. 

dx I — À 

Posons maintenant 

(20) y = G,^x-\-C^,t -{-... +C^^xV-C' + ...^Sc^^xV-t'; 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I IQ 

on aura 



-|=Sc^-^H-''''+^"*''^-';£J 



Substituons ces valeurs de jr et ^ -j^ dans l'équation pro- 
posée et égalons les coefficients des mêmes puissances de x 
et de t dans les deux membres. Les termes en t se détruisent 
identiquement; ceux en x donneront 

(i — X)Cio— Goi + Aio — o. 
Enfin on aura généralement, lorsque [i. 4- v >> i , 

(21) ({J.-hXv _X)C[xv— (v 4-l)G^_i,v+i= ?p, 

(pjjLv étant le coefficient du terme en œl^t^ dans le second 
membre de l'équation. D'ailleurs on voit sans peine que cp^^^ 
est une somme de termes de la forme 

où K est un coefficient binomial et où les indices a, j^, p.^, 
Vo ••• satisfont aux relations 

[Xi + ...-t-(Xp=[j. — a. 



Ces équations permettent de déterminer de proche en proche 
tous les coefficients Cj^v en fonction de Cio, qui reste arbi- 
traire. 

Ce premier coefficient étant supposé réel et positif, la ré- 
solution des équations précédentes donnera pour C^^^ une 

expression de la forme 

G — F 

F|xv étant une somme de termes positifs dont chacun est le 
produit : i" d'une puissance de Cio? 2° d'une puissance de 
Goi =A,oH- (1 — )^)Cio, ^° d'un produit de coefficients Aap, 



120 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

4" d'un facteur numérique indépendant de X; le tout divisé 
par un produit de facteurs de la forme 

[x-hXv — X, [j,'-f-Xv' — X, .... 

On remarquera d'ailleurs que le nombre de ces facteurs, 
qui figurent ainsi au dénominateur de chaque terme, ne peut 
surpasser 2 ia + v — i . 

Supposons en effet que ce théorème soit vrai pour tous 
ceux des coefficients dont le premier indice est <; [,«. et pour 
tous ceux dont le premier indice est égal à [x et le second 
indice <^v. Si nous substituons pour ces coefficients leurs 
valeurs dans l'équation (21), elle donnera pour C|jiv une 
somme de termes dont le premier contiendra en dénomina- 
teurs un nombre de facteurs au plus égal à 

I-h2(;JL — 1) + v-f-i — I = 2îJ.-f-V — T. 

Dans chacun des autres termes, le nombre des facteurs en 
dénominateur sera au plus égal à 

I -h 2 [J-i 4- V, — I -h . . . + 2 [J-o 4- V. — I =z I 4- 2 ( |J- — a) H- V — 3 

7 2 [J. H- V — I — a. 

D'ailleurs la proposition se vérifie immédiatement pour 
C02Î donc elle est vraie généralement. 
Cela posé, faisons tendre \ vers l'unité. 



L'expression t = ^— aura pour limite celle-ci 

^ I —A ^ 

^'— — — — =— ^log^, 



laquelle satisfait à l'équation 



dt' 
œ-j- — t' 
dx 



L'équation (19) sera changée en 

x-^ —y 4-Aoi^=A2o^-4-An^/ -f- • 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 121 

et, SI l'on cherche à satisfaire à cette dernière par une série 
de la forme 

(22) y r^C,,X ^G,,t' -^ . . .^C\,,x\H"^ + . . . , 

les nouveaux coefficients G' seront évidemment donnés par 
les mêmes formules que les G, sauf le remplacement de \ 
par l'unité. 

Pour montrer la convergence de cette nouvelle série, com- 
parons un terme quelconque T' de Gjj,v au terme correspon- 
dant T de Gf;,v. Les facteurs A,o-l-(i — X)Gio, qui figuraient 
au numérateur de T sont remplacés par la quantité moindre 
A^o. Quant aux facteurs a+)^v — \ du dénominateur, ils 
sont remplacés par des facteurs ;j. -t- v — i, qui leur seront 
au moins égaux si v n'est pas nul. D'autre part, si v est nul, 
auquel cas p-> 2, on aura 

(jt. — I ^ 
Le nombre total des facteurs du dénominateur étant 

^2[J--hV — I<2({J.4-v), 



on aura donc 








T' 


-Xy-iv-^^) 


et, par suite, 


C^^<(2 


_X)2(P.+V), 



Gela posé, soit r le rayon d'un cercle dans lequel la 
série (20) est convergente : on aura, en désignant par M 
une constante, 

G <- ^ 

et, par suite, 

p, - M 



La série (22) sera donc convergente dans un cercle de 
rayon (2 — \)~'^r. 



122 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Revenons enfin à Téquation primitive (i8) et cherchons à 
y satisfaire par une série 

Co\ étant une quantité arbitraire ayant pour module Goi- Il 
est clair que les coefficients c'^y seront déterminés par les 
mêmes formules que les coefficients GJ^^, sauf le remplace- 
ment des quantités 

par 

^loj <^]0' • • • » ^a,S 

et que les coefficients cj^v auront les C'^^ pour limites supé- 
rieures de leurs modules. La nouvelle série sera donc con- 
vergente pour des valeurs assez petites de x et de t'. 

98. Considérons, en dernier lieu, une équation algébrique 
irréductible 



entre j)^ et sa dérivée, et de degré n par rapport à celle-ci. 

Une intégrale y de cette équation sera complètement 

définie si l'on donne pour la valeur initiale Xq de la variable 

indépendante ^ : i** la valeur initiale j'o de j^, laquelle peut 

être prise arbitrairement; 2^ la valeur initiale de —-, laquelle 

devra être choisie parmi les n racines de l'équation 



/(È'>)-°- 



Si Ton fait décrire à x une ligne continue quelconque, 
y cl -— varieront également d'une manière continue tant 

que X ne passera par aucun point critique. 

Soit ^ l'une de ces valeurs critiques. Nous avons vu que 
lorsque x tend vers ^ trois cas pourront se présenter : 

i" y ne tend vers aucune limite; 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 123 

2° y tend vers une valeur finie r^ pour laquelle l'équation 



/(£■'.)=» 



admette une racine multiple ou infinie, et — tend vers cette 

racine. 

3*^ y tend vers co. 

La première de ces hypothèses doit être rejetée. On pour- 
rait, en effet, assigner à œ une valeur ^' plus voisine de ^ 
qu\ine quantité arbitraire £ et telle : i° que la valeur corres- 
pondante de y eût son module au plus égal à une quantité 
fixe A; 2" que la distance du point r/ à chacun des points Tj 

dy 
pour lesquels l'équationy = o donne pour -—- une racine mul- 
tiple ou infinie soit au moins égale à une quantité fixe 8. 

Soit 7' une quantité positive moindre que ô. 

Pour toute valeur r/ de y qui satisfait à ces conditions, 
les m racines de l'équation /= o seront développables en 
série convergente suivant les puissances dey — v]' dans l'in- 
térieur d'un cercle de rayon /' décrit autour de '/]' et sur sa 
circonférence. Elles resteront donc finies et continues. La 
région du plan couverte par ces cercles est d'ailleurs bornée 
et parfaite. Le module d'aucune de ces racines ne pourra donc 
surpasser un maximum fini M. 

Cela posé, l'élément de fonction analytique, qui permet de 
déterminer la variation de y au delà du point ^', a un rayon 
de convergence certaine, qui peut cire assigné en fonction 
des deux nombres fixes r et M et qui, par suite, est lui-même 
un nombre fixe, plus grand que l'infiniment petit £ qui 
représente la distance des points ^' et Ç. Ce dernier point 
ne peut donc être critique, comme nous l'avions supposé. 

Nous connaissons donc a priori les valeurs de y, finies 
ou infinies, qui correspondent aux points critiques. 

99. Soit Tj l'une de ces valeurs, supposée finie. Nous 
savons qu'en faisant tendre y vers /) suivant une ligne con- 



'24 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

venable, nous pourrons faire en sorte que -^5 ou son 

inverse -7- tende vers l'une quelconque des n valeurs four- 
nies par l'équation 

Chacune de ces racines peut être développée aux environs 
du point T, suivant les puissances croissantes, entières ou 
fractionnaires de y — ■^• 

Soit 

dx ^ ^ 

(23) _::=A(7-rî)P+B(y-^y' + ... 

l'un de ces développements; /?, a, [3, . . . étant des entiers 

sans diviseur commun. 

Si p -h a^o, l'intégrale du second membre, prise de jk^Tj, 

aura une valeur infinie ; y ne pourra donc atteindre la valeur yj 

dx\ 
avec cette détermination de -y- j pour aucune valeur finie 

de X. 

Si/? + a>>o, l'intégration donnera, en désignant par ; 
la valeur finale de x, 

(24) ^-i=/—(/-^)^+-^(y-^)'^-^.-., 



et ç pourra être un point critique de l'intégrale y. 

Pour nous en assurer, développons, suivant les puissances 

\_ 
croissantes de x — ?, celles des valeurs de (jk — "^Y qui 
s'annulent avec x — \. Ces développements seront de la 

forme 

1 

{y — -^iY — c^u -\- c^iî^ -^ . . ., 

où a représente successivement les diverses valeurs du 

1 
radical (x — i)^^. 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDLVAIRES. 125 

On en déduit 

y — 7] — {CiU-\-C2iâ-h...)P=c'f, iiP 4- Cp+j mP+1 + 

On voit par là que le point \ est en général un point cri- 
tique algébrique pour l'intégrale y. Ce sera un point ordi- 
naire, au moins lorsqu^on j arrive avec la détermination 

de -T- que nous avons adoptée, si le développement Ae y ne 
dy 

contient que des puissances de u multiples de /? + a. 

Ce cas se présentera si y? -f- a = i . Cette condition est 

d'ailleurs nécessaire. Supposons en effet qu'on obtienne^ 

pourjK — '/;, un développement suivant les puissances entières 

et positives de :r — i, tel que 

j — rj = C ^ ( ^ - '7 + C ^+ 1 ( ^ — '^'^ ' H- • • • • 

On en déduira, en renversant Ja série, 

_i i 1 

oo — l — c,jn{y — r^)n-\-d{y — T,)n^ 

Comparant avec le développement (24)1 on voit qu'on doit 
avoir 

[A, V, . . . étant des entiers. Mais/7, /? + a, /> + p, ... n'ayant 
pas de facteur commun, on aura [x = i, d'où/? -f- a = i. 
Considérons maintenant une valeur infinie de y. Posant 

7 = -î nous obtiendrons une équation transformée 

«=/{-iS.-;)=/.(S'=: 

Cl 3C 

et nous développerons les diverses valeurs de -7^ suivant les 

ciz 

puissances croissantes de z. Soit 

dx ^ ^- 

(25) ~=A.-^+B^P4-..., 

clz 

un de ces développements. Intégrons-le de ^ à zéro. Si 
/;>4-a^o, l'intégrale du second membre sera infinie. Donc^ 



126 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

ne pourra devenir nul ou y infini, avec cette détermination 
de la dérivée, pour aucune valeur finie de x. 

Si /?4-a>o, on aura, en appelant Ç la valeur de x 
pour jz = o^ 

y. pA —- pB '—r- 

p-\-^ />4-p 

1 
d'où, en posant (x — 1)p^^ z=: u^ 

et enfin 



z— c'^uP-{- c^+1 uP-^'^ 



y— - = -T u~P + du-P^ 



Donc \ sera, en général, un point critique algébrique 
pour la fonction j/-, lorsqu'on j arrive avec la détermination 
de la dérivée que nous considérons. Ce sera un pôle, 
si /> 4- a := I . 

Nous avons ainsi déterminé la manière dont la fonction jk 
se comporte aux environs de chaque point critique; mais la 
position de ces points critiques reste encore inconnue. 

100. Considérons, en particulier, le cas où y est une 
fonction uniforme. D'après ce qui précède, ce cas est carac- 
térisé parla condition que, dans chacun des développements 
précédents, /> + a est nul ou négatif ou égal à l'unité. 

Si cette condition est remplie, y^ n'avant que des pôles, 
sera une fonction méromorphe. Nous allons montrer qu'on 
peut la déterminer par des opérations purement algébriques. 

clx 
En effet, -7- étant une fonction algébrique dejK, ^ consi- 
déré comme fonction de y sera une intégrale abélienne et 
aura, pour chaque valeur Y de y, n systèmes de valeurs 

Xi H- 2/?iW -f- 2 7?i'io'h-, . ., 



X„ -h 2 m w -f- 2 /?i' 00' ~f- . . . , 
où m, m\ . . . sont des entiers et 2 to, 2to', ... des conslantes 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. I27 

linéairement distinctes, chacun de ces systèmes de valeurs 

correspondant d'ailleurs à une des n déterminations de —r- 

dy 

pour y z=:zY. 

L'intégrale jK, considérée comme fonction àex, admettra 
donc les périodes 2(jl>, 20)^, ..., et, comme une fonction 
méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes linéaire- 
ment distinctes, trois cas pourront se présenter. 

101. Vv.^Mmv.cks : Il existe deux périodes distinctes, 203 
et 2u)'. — L'intégrale y sera une fonction méromorplie et 
doublement périodique d'ordre n. 

A chaque valeur de y, finie ou infinie, et à chacune des 

dx 
déterminations de -7- correspondront des valeurs finies dex, 

une dans chaque parallélogramme des périodes. Pour que ce 
cas se présente, il faudra donc que, dans chacun des déve- 
loppements (28) et (25),/? + a soit égala i; car, s'il était 
nul ou négatif, ce développement ne pourrait fournir aucune 
valeur finie pour^. 

Gela posé, soit p{u^ g2i gs) la fonction elliptique de 
Weierstrass qui admet les deux périodes 2to et 20)'. La 
fonction p(x — Xq, g2^ gz) elliptique du second ordre, sera 
liée ky par une équation algébrique 

F[y, p{x — œ,,g^, ^3)] = o 

du second degré en y et de degré n en p[x — ^01 g2^ gs)- H 
reste à déterminer : 1° les coefficients A, B, ... du polj- 
nôme F; 2"^ les invariants ^2? ^'3- On y parviendra en déve- 
loppant le premier membre suivant les puissances croissantes 
de ^ — Xq et identifiant le résultat à zéro. 
On a, en effet, 

p{x — Xo, g^, g,)=j-—^—-^^ H- -L o^2(^_-^q)2 



[x — ^0)" 20 
ÏÏ8 



^^3(^-^0)' H-.-.. 



128 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

D'autre part, l'équation 



dx 

donne, par différentiation, les dérivées successives de y 
exprimées au moyen de jk et —-' Or, pour x = Xq, on con- 
naît la valeur jKo de y et l'on a précisé, en outre, celle des 
racines de l'équation ci-dessus que l'on choisit comme valeur 

initiale de -7-' On peut donc déterminer, pour x = Xq^ la 

valeur de y et de toutes ses dérivées et, par suite, déve- 
lopper j^ suivant la série de Tajlor. 

Les équations, fournies par cette identification à zéro, 
sont évidemment linéaires et homogènes par rapport aux 
coefficients A, B, ... et algébriques par rapport à g2, gz- 

102. Deuxième CAS : Il n'existe qu'une seule période 20). 
— Ceux des développements (sS) dans lesquels /> -f- a >> o 
donneront chacun une série de pôles de la fonction y, ayant 
pour formule générale ^0+ amw (^0 restante déterminer). 
Aux environs de chacun d'eux, on aijra pour y un dévelop- 
pement de la forme 



y — ^ + . . . H h «'0 -+-.-. , 

•^ {x — ^0 — 2moi)i' X — Xq — 2mw 

où p et les coefficients a^, . . ., «o? • • • sont donnés par 
l'analyse précédente et ne dépendent pas de ni. 
Cela posé, l'expression 





7r/.r„ 

e " 


w . 





admet la période 2 to. Elle a pour pôles les points Xç^-^ ini w, 
les résidus correspondants se réduisant à l'unité. 

Sa dérivée d'ordre k admettra les mêmes pôles et sera, aux 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 129 

environs du pôle ^o + 2mto, de la forme 

(-■)^'-^---^ I p., 

R ne devenant plus infini. 
On aura donc 

du (-1)^"' ^^"^« 

le reste y' admettant la période w et les pôles de j-, sauf ceux 
de la série Xq + inibi. On trouvera de même 

S désignant une nouvelle fraction rationnelle formée avec 

71/. f 

e ^ Gly" une autre fonction périodique où une seconde série 
de pôles a disparu. Continuant ainsi, on pourra mettre y 

sous la forme 

j z= T 4- Y, 

TZr.r 

T étant une fraction rationnelle en e ^ et Y une fonction 
périodique qui n'a plus de points critiques à distance finie, 
et qui, par suite, sera développable par la formule de Fourier 
en une série procédant suivant les puissances positives et 

TT/.r 

négatives de e '^ . Or M. Picard a démontré que, si cette 
série contenait un nombre infini de termes, l'équation précé- 
dente donnerait en général, pour chaque valeur dey, une in- 

TZix 

fînité de valeurs de e " . Mais à chaque valeur de y corres- 
pondent n séries de valeurs de x; et, comme les diverses 

valeurs d'une même série donnent la même valeur pour e ^ , 
cette quantité n'a que n valeurs pour chaque valeur de y. 
Donc la série Y sera limitée, et y sera une fraction ration- 

TT/.r 

nelle en e ''^ ; on aura donc 

(26) p^_i-Q=,0, 

Pet Q étant deux polynômes entiers en e '^ , l'un de degré /?, 
l'autre de degré ^«. 

J. — Cours, III. Q 



l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

Les coefficients de ces deux polynômes se détermineront 
comme dans le cas précédent. 

Il est aisé de trouver le critérium qui caractérise ce second 
cas. En effet, pour chaque valeur dey, l'équation (26) donne 

en général, pour e ^ , n valeurs finies et différentes de zéro ; 
d'où résultent pour œ, a classes de valeurs x^ -f- 2/?îw, . . . , 
x,i-\ -\- 2/?ito, ^oj • • -5 ^n-\ étant des quantités finies. 

11 y a toutefois exception pour les deux valeurs (finies ou 

«TC/.r 

infinies) de y qui annulent le coefficient de e ^^ ou le terme 

TZix Tlix 

indépendant de <? '^ ; car ces valeurs donnent pour e^ une 
racine, ou un groupe de racines, nulles ou infinies, auxquelles 
ne correspond aucune valeur finie de x. 

Soit, par exemple, y s la valeur de y qui annule une ou 
plusieurs racines de l'équation. Soit q le nombre de ces 
racines. Aux environs du point jr, on pourra les développer 
en séries de la forme 

TZix J. 2 



On en déduit 



"'''-log[?i(i 



tù 

=:r - log(/ -/i) H- Ti+ T2 (7 -rO'^H-. . .; 



d'où, en prenant la dérivée par rapport à 7 



dx w I Y2 



^^^ df rùq y—y, iiiq^^ -^'^ 

Soit de même y^ la valeur de y qui donne des racines 
infinies, en nombre q' . On pourra développer leurs inverses 
en séries de la forme 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l3l 

d'où l'on déduit 

Si les racines nulles ou infinies correspondaient à une va- 
leur infinie de y, ces développements suivant les puissances 
de y — jKi ou de y — y^ devraient être remplacés par des 

développements analogues suivant les puissances de - =:= i:. 

Les deux développements précédents doivent évidemment 
faire partie de la série des développements (28) et (ao). 
Donc parmi ces derniers il en existera deux qui commencent 
par un terme de degré — t et pour lesquels /? + a sera nul, 
cette quantité étant égale à i pour tous les autres, qui doivent 
donner pour x des valeurs finies. 

L'identification de ces deux développements avec (27) et 
(28) fera d'ailleurs connaître la période to, et les entiers q^ q' . 

103. Troisiîïme cas : Il n^y a aucune période. — Dans ce 
cas X ayant n valeurs seulement pour chaque valeur dejK, et 
n'ayant que des points critiques algébriques, sera une fonc- 
tion algébrique de y. Réciproquement, y sera algébrique 
en X et, comme il est uniforme, il sera rationnel. On aura 
donc 

P/ + Q=.o, 

P et Q étant des polynômes entiers en x^ l'un de degré /?, 
l'autre de degré ^aï, dont on pourra déterminer les coeffi- 
cients comme précédemment. 

Pour chaque valeur dey, on aura n valeurs de x^ générale- 
ment finies. 11 n'y aura d'exception que pour la valeur (finie 
ou infinie) dej^ q^i annule le coefficient de .r'^, et à laquelle 
correspondra une racine^ ou un groupe de q racines, infi- 
nies. Les inverses de ces racines pourront être développées 
en séries de la forme 



X 



L 1 



l32 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. 

d'où 

_1 1 

^"ïi(/-yi) '^-^ï2 + T3(/-yi)'7 -f- ...; 

^, = -5(7-70 '/ +.... 

Donc l'un des développements (23) [ou des développements 
(25) si la valeur de y qui rend x infini est elle-même infinie] 

commencera par un terme d'exposant — On aura donc 

q 

pour ce développement/? -f- a = — i, et pour tous les autres 
/; -h a = I . 

Les divers caractères dont nous avons reconnu la nécessité 
dans chaque cas, étant contradictoires entre eux, seront en 
même temps suffisants. On pourra donc a priori reconnaître 
dans quel cas on se trouve, sans qu'il soit besoin de tâton- 
nement. 

lOi. Gomme application des résultats qui précèdent, 
cherchons, parmi les équations binômes de la forme 



iè)''=^^if—')''if--^)'- 



n^ )vj,)v2, ... étant des entiers sans diviseur commun, celles 
dont l'intégrale est monodrome. 
Les points critiques de 

dx -'' -^ -^^' 

^rrrA "(j-^i) " (/ " «2) V,. 

sont «,, a.,^ .... Pour l'un d'entre eux a^^ on aura comms 
développement 

|^p.(,-«.nV.... 

D'autre part, si l'on pose jk= -5 on aura l'équation trans- 
formée 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l33 

d'où 

Si donc nous posons, pour abréger, 

il sera nécessaire et suffisant que [jl, [ji,, |jl2, ... soient de la 



forme -— — ' ï o^i ^^ ^ • Ces quantités satisfont d'ailleurs à 



P 
la relation 

(29) fA-f- [X,-f-[X,-}-.. .= 2. 

Premier cas : L intégrale est doublement périodique. 

Dans ce cas, p., [x,, ji.2, ... seront tous de la forme — 



P 
et, par suite, au moins égaux à {, sauf j^., qui peut être nul. 

Supposons d'abord [^ = 0. Il résulte de l'équation (29) 
que le nombre des quantités jx,, jjio, ..., qui sont toutes 
J^, mais <^i, sera 4 ou 3. 

S'il y en a quatre, on aura nécessairement 



V'\~V"L~'^i—\H~\, d'où \—\^—\..— \, 



2. 



S'il y en a trois, on aura, en substituant dans (29), pour 
p-M [^2, [^35 leurs valeurs — 



i»2 — I p% 



Pi Pt Pz 



I I I 

1 1 =1. 

Pi Pt Pz 

Les quantités /?< , /?2, p^ étant supposées rangées par ordre 
de grandeur croissante, on en déduira 

— Ji, d'où /?!— 3 ou 2. 
P\ 

Si /?< =z 3, on devra avoir 



i34 








TROISIÈME PARTIE. 


d'où 








), = X,= 


Xs- 


Si 


Ps 


= 2, 


il 


viendra 

I 
Pi 


I 

H 

P^ 



CDAPITRE I. 



d'où 

Si /?o = 4? Oïl aura aussi 

Si /-?2=^ 3, on aura 

/^3 = 6, 

ce qui donne les deux solutions 

X3-.r 



Xi=r2, Xs 
Xir=3, X,: 



/Z -iri 4, 



4, Xg-rô, /^ — 6. 



Les solutions où [jl n'est pas nul se déduisent évidemment 
des précédentes par la suppression d'un facteur. On obtient 
ainsi les nouvelles solutions 



x, = x. 


= X3=I, 


Il r= 1, 


X,=r.X, 


= 2, 


Il r=z 3, 


X,=:2, 


X2= 1, 


// = 4, 


Xi=I, 


X^-r, 


/i^4, 


X,= 3, 


)^2=4, 


/i := 6, 


Xi=4, 


X^rzzS, 


« = 6, 


X,= 3, 


X^iz^S, 


« = 6. 



Deuxième cas : L intégrale est simplement périodique, 
— L'un au moins des nombres [ji, [a,, p.2, . . . sera égal à i. 
Soit d'abord p. =:^ o, pi, = i. L'équation (29) deviendra 

1^2 + (^3 4- . . • = I , 



ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. l35 

les quantités |jl2, p<-3, ... étant égales à i ou de la forme 

ZLnJ. 

P 

On voit par cette équation que le nombre des quantités 

^2, p^3, ... ne peut surpasser deux. 

Si ces quantités sont au nombre de deux, on aura néces- 
sairement 

i d'où 

S'il n'existe qu'une seule quantité [^2, on aura 

■ d'où 

Les solutions où \k n'est pas nul s'obtiendront encore par 
la suppression d'un facteur et seront les suivantes : 



X, 


r=2, 


X2=II, 


Al = 2, 


>M 


=: X2 = 


> 


n = '2, 


^1 


= I, 




nr- l. 



Troisième cas : L! intégrale est rationnelle. — Une des 
quantités [x, [jl,, ... sera de la forme > et les autres de 

la forme ~ 

P 

bi UL =:= o et ui, = ^ j uio =: j • • • j il vicncira 

^ q ^' Pi 

/^2 * * ■ q 

On aura donc 

(Xgzz:...— o et Pï~=^q, 
d'où 

Xi=7-4-i, X2=^~i, 'i = <7, 

rentier ^ restant arbitraire. 



l36 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — ÉQUATIONS, ETC. 

Enfin, si |x n'est pas nul, on aura les solutions 

Xi=«7 — I, n — q. 

lOo. Les considérations développées dans cette Section 
permettent de définir, d'une manière plus précise, les di- 
verses sortes d'intégrales que peut présenter une équation 
différentielle 

Soit Xç^ une valeur particulière de la variable indépen- 
dante. A toute valeur initiale y^ donnée à j", et telle cjue 
(^ojJKo) soit un point ordinaire pour la fonctiony, correspond, 
comme nous l'avons vu, une intégrale de l'équation dilTéren- 
tielle, dont on pourra suivre la variation, soit dans tout le 
plan, soit dans une région limitée par des lignes singulières. 
Outre ces intégrales, ordinaires par rapport au point x^^ 
et qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la con- 
stante jKo, il peut en exister d'autres, qui deviennent infinies 
ou indéterminées pour x = x^^ ou prennent en ce point une 
valeur JK07 telle que(^07j^o) soit un point critique pour la 
fonction/. Ces intégrales seront dites singulières par rap- 
port au point Xq. 

Gela posé, nous appellerons intégrale générale l'en- 
semble des intégrales particulières qui sont ordinaires pour 
quelque valeur de x', intégrales singulières celles qui 
seraient singulières par rapport à toute valeur de x. 

11 est clair que l'existence de ces intégrales singulières sera 
un phénomène exceptionnel. Soit en effet F(^,j)=:o la 
relation qui doit exister entre x et y pour que /présente un 
point critique en x, y] il faudra, pour qu'il y ait une inté- 
grale singulière, que la valeur de j^ en fonction de x^ tirée de 
l'équation F = o, satisfasse à l'équation différentielle pro- 
posée, ce qui n'aura lieu qu'accidentellement. 



ÉQL'ATlOJiS LINÉ.URE3. 187 



CHAPITRE IL 

ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



I. — Généralités. 

106. On nomme équations différentielles linéaires celles 
où les fonctions inconnues et leurs dérivées ne figurent 
qu'au premier degré. 

Ces équations jouissent de plusieurs propriétés que nous 
allons exposer. 

407. 1° Toute équation linéaire reste linéaire si Von 
change la variable indépendante. 

Soit, en effet, 

une semblable équation, /?o, P\, . . ., T désignant des fonc- 
tions connues de la variable indépendante t. 

Posons ^ — çp(«), u désignant une nouvelle variable. On 

en déduira 

dx dx , , , 

Ta =Â^("^' 

CL OC et OC ta., V ^^ Ou „ . ^ 



équations qui donnent -j-j —r-i ••• en fonction linéaire 



l38 TROISIÈME PARTIi:. — CHAPITRE II. 

(xoc cl^ oc 
de -y-) 7/~T' '■*■ Substituant ces valeurs, ainsi que celle 

de ^, dans l'équation proposée, on obtiendra l'équation Irans- 

formée, qui sera évidemment linéaire en ^, -7-5 -,—-, 

^ ' du du- 

108. i"" Soient x^ y^ ... n fonctions d'une même va- 
riable indépendante t, satisfaisant à un système de n 
équations linéaires 

(î) E,=rO, ..., E,=rO, 

et soit V un polynôme entier par rapport cl x^ y^ ... et à 
leurs dérivées successives, dont les divers termes aient 
pour coefficients des fonctions quelconques de t. La fonc- 
tion V satisfera à une équation linéaire dont les coeffi- 
cients s'expriment rationnellement en fonction des coef- 
ficients <fe E,, . . . , E/i, Y et de leurs dérivées successives. 

En effet; soient respectivement m, m', . . . les ordres des 
plus hautes dérivées de x, y^ ... qui figurent dans les 
équations (i); k le degré du polynôme V. Formons les dé- 
rivées successives de V. Chacune d'elles sera im polynôme 
de degré k par rapport à x^ y, ... et à leurs dérivées suc- 

T^, -n , 1, . . d'^'x d"'^^x d"'' y 

cessives. D ailleurs les denvees —, — -, — ? ••-, , ' , ? 

, ^j^,^^ -> ••• peuvent s'exprimer linéairement par les déri- 
vées précédentes, au moyen des équations (i) et de celles qui 
s'en déduisent par dérivation. 

Substituant ces valeurs, on aura pour V, -y-? •••j des 
expressions de la forme 

1 //V 

(^) „=r.p.4-T;p.-H..., 

T,, T2, . . . , T', , T2, . . . étant des fonctions de ^, de l'espèce 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. tSq 

indiquée à l'énoncé, et P,, P2, - . . des produits de la forme 



dt ) \dt"'-^ J -^ \dij \dt"''- 

où le nombre total des facteurs est au plus égal à k. Soient P, , 
P2, ..., P/ les divers produits de ce genre que l'on peut 
former et dont le nombre est évidemment limité. L'élimina- 
tion de ces quantités entre les expressions (2) donne une 

dY d'Y 

relation linéaire entre V, -j--> • • •? —7-7-* 

109. 3° On sait que tout sj'stème d'équations différentielles 
simultanées peut être ramené, par l'adjonction de variables 
auxiliaires et la résolution par rapport aux dérivées des fonc- 
tions inconnues, à un système normal. Si les équations sont 
linéaires, il est clair que ces opérations laisseront subsister 
le caractère linéaire. 

L'étude d'un système linéaire quelconque se ramène donc 
à celle d'un système linéaire normal de la forme 

dx 

__ -H«^ -i-bf -{-... =zT, 



où a, b, . . . , a, , 6, , . . . , T, T, , ... sont des fonctions de t. 
Nous considérerons en premier lieu les systèmes dits sa/is 
second membre, où l'on a 

T = T, = ...=:o. 

110. Théorème. — Si a^i, j'i, ... ; 0^2, JK25 • • • î • • • sont 
des solutions particulières d' un système d'équations li- 
néaires sans second membre, les expressions 

OÙ Cj, Co, . - . sont des constantes arbitraires, satisferont 
au même système d'équations. 



l/jo TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

En effet, le résultat de la substitution de ces expressions 
dans le premier membre de l'une quelconque des équations 
proposées sera évidemment de la forme 

C1II1-+-G2H2 + ..., 

II, désignant le résultat de la substitution de .r,, r,, ..-i 
Ho le résultat de la substitution de x^,yo, .... Mais .r,, 
Yi^ ... ; x-y, y-ii • ■ ''1 • • • étant des solutions, on aura 

Hi = o, II, = 0, ..., 
d'où 

111. Considérons spécialement un système canonique 
formé de n équations linéaires du premier ordre et sans se- 
cond membre. Ce système admet la solution évidente x = o, 
j' = o, ...; mais il admet une inflnité d'autres solutions 
particulières. 

Nous dirons que k solutions particulières d'un semblable 
système, telles que 

•^1> fly -'l-> • • • > 



^k, fk, -/o • 



sont indépendantes, si l'un au moins des déterminants 
d'ordre k formés avec les diverses colonnes du Tableau ci- 
dessus n'est pas identiquement nul. 

Théorème. — Si l'on connaît k solutions indépendantes 
d^un système de n équations linéaires du premier ordre 
et sans second membre {k étant <Cn)^ on pourra ramener 
Vintégration du système proposé à celle dUin système 
analogue ne contenant plus que n — k équations et à des 
quadratures. 

Chaque solution de ce nouveau système fournira une 
solution du système primitif , indépendante de celles qui 
sont déjà connues. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l4l 

Nous admettrons, pour fixer les idées, qu'on ait quatre 

équations 

I dx 

G, 



' —r-{-ax -{- by -h cz -h du 
dt "^ 

dy 



(3) 



dt 



+ «1 .r -H h^y -\- Cl 5 -H d^ a 



-j^ -V- a^x -f- b^y -\- c^z ■+- d=^ a -=r o, 

da j j 

. -- -^ a^x -^ b^y -^c^z -\- d-^u — o, 
\ at 



et que l'on connaisse deux solutions indépendantes 

•^1) J^i) -^1) ^^1 5 

•^2> JK25 ^2> '''2' 

Admettons qu'on ait, par exemple, 
•^1 /i 



^2 /2 



On pourra poser 



X \^^X ^ — |— L-<2 -^2 » 

r =::Ci/i + C2/2, 



a r= Cl «1 + G2 Ui 4- 'J, 

Go Go, ^, u étant de nouvelles variables. Effectuant la substi- 
tution et remarquant que les termes en G,, Go s'annulent 
(car les équations proposées seraient satisfaites si Ç, u étaient 
nuls et Gi, G2 constants), il viendra 

d\^i d\ji^ ^ , 

- ' X^-^- CL -h rf'j =: o. 



dt 

dC, 

dt 

dC, 

~dt^' 

dC, 
dt * 



Xi 



dt 



dC^ y J 



o; 



dO^ 
~dt 

dC^ 
~dt 



dt 
dj_ 
~dt 



-h C2 ^ -h <^2 "J = o» 

H- C3C 4- ^s'J = o. 



1^2 



TROISIÈME PARTIE. 



CHAPITRE II. 



Résolvant par rapport aux dérivées -^ 
on aura un résultat de la forme 



dC, dC. dX, d^J 



dt 



dt ' dt' 



dt 



(4) 



(5) 



■ 5 ■= « 



Bu, 






d: 

dt 
du 
dt 



-- A2S + B2U, 
— As^-I- B3U. 



On obtiendra donc Ç et u en intégrant les deux équations 
linéaires simultanées (5); C) et C2 s'obtiendront ensuite par 
des quadratures. 

Soient d'ailleurs Ç', \j' une solution particulière quel- 
conque des équations (5) (autre que la solution évidente 
Çrrr o, U = o) ; ct supposous, pour fixcr les idées, que Ç' ne 
soit pas nul. Soient C\, G'^ les valeurs correspondantes de 
C< , Co. La solution 



^3 = 


= G' 


,œ 


1 + 


Cg^a» 


73 = 


= g; 


7i 


+ 


c; 


y 2, 


•^3 = 


-c; 


^1 


-1- 


c; 


~ _1_ Yl 
^•2 -t- S , 


Ih^ 


= c; 


"1 


^- 


c; 


ii^_ -+- u' 



sera indépendante des deux solutions déjà connues ^i, y^, 
Z\, U\j', ^2? J2? ^2, it-,; carie déterminant 



^1 /i -1 

^3 /3 ^3 

est différent de zéro. 



= ^' 



^1 Ji 
•^2 J'2 



112. Théorème. — Tout système de n équations li- 
néaires du premier ordre et sans second membre admet 
n solutions particulières indépendantes ^i, r^ . . .; . . .; 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. I/^S 

.r^, Vn^ ... et sa solution la plus générale est la suivante 

^ = Ci^i-4-.. .4- C,,^„, / = Gi7i-f-. . .-i-C„7„, ..., 
ou Cl , . . . , C« sont des constantes arbitraires. 

La première partie de cette proposition résulte de ce que 
nous venons d'établir, que de l'existence de k solutions indé- 
pendantes (A* étant <C^n) résulte celle d'une nouvelle solu- 
tion indépendante des précédentes. 

Pour démontrer le second point, posons 

(]<, . . ., C/i désignant de nouvelles variables. Effectuant la 
substitution et remarquant, comme au numéro précédent, 
que les termes en G<, . . . , G„ s'annulent, il viendra 

dOxy dCn 



Mais le déterminant des quantités ^i, r,, . . .; . . .; Xni 
y ni . • • est ^ o par hypothèse, les n solutions données étant 
indépendantes ; donc 

dC, dC,, 

et G,, . . . , G,i seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. 
113. Soient 

È, rz= g; ^1 + . . . -+- c; ^„, 7)1 == g; 7i + ...-+- c; 7„, 



^,=:Gï^i-f-...H-G;;^,„ ^n = G;^7i-t-... + G;^7„, 

n solutions particulières quelconques du système proposé. 
Leur déterminant est évidemment égal au produit du déter- 
minant des solutions ^4, 71, . . .; . . .; ^„, 7,^, . , . par le 
déterminant des constantes G'^, . . ., G^. La condition néces- 



l44 TR0ISIÈ31E PARTIE. ■— CHAPITRE II. 

saire et suffisante pour que ces solutions soient indépendantes 
est donc que ce dernier déterminant soit différent de zéro. 

il4. Les coefficients des équations différentielles pro- 
posées peuvent aisément s'exprim.er au moyen d'un système 
quelconque de n solutions indépendant js, telles que Ç,, 

"'it ? • • • j Ç/o '^1/" .... 
Soit, en effet, 

doc 

-7- -^ ax -\-hy -\-. . .^^o 

une de ces équations; on aura identiquement 






et de ce système d'équations on déduira «, 6, ... exprimés 
par des quotients de déterminants. 

115. A tout système d'équations linéaires sans second 
membre, tel que 

cloc 

—r- -h«^ -hày -\-cz =zo, 

at 

dy 

-^ -+- «1^ -h b^y -4- Cl 5 3= o, 

dz , 

— H- a^x 4- b^y -h C22 = o, 

est associé un système adjoint défini par les équations 

J — haX-h «1 Y + a^L^zi o, 

dt 

-^ -^bX-v-b,Y-\-b,Z^o, 
dt 

j- -f- cX -h Cl Y -H CgZ =1 o. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l45 

Les solutions de ces deux systèmes ont entre elles une 
liaison remarquable. Pour la mettre en évidence, ajoutons 
les équations précédentes, respectivement multipliées parX, 
Y, Z, — x^ — y^ — z. Il viendra, toute réduction faite, 

,^ dx dX ,, dv dY ^ dz dl^ 

''-^Tt^''-dt^^tt-^^irt-^^-dt-^'^a 



= ^^iX.-^Yy^Z.), 



d'où 



Xûo + Y/ -\-Zzz= const. 



La liaison entre les deux systèmes adjoints est évidem- 
ment réciproque. L'intégration complète de l'un d'eux en- 
traînera celle de l'autre. Supposons, en effet, que l'on con- 
naisse trois solutions indépendantes J0^, y^, z^; Xo, y2') ^2 5 
^3, ^^3, ^3 du premier système. La solution générale X, Y^, Z 
du système adjoint sera donnée par les relations 

X^j-f-Y/,+ Z^, = C„ 

Xa-.^Yy^-hZz.^zC^^ 
Xx,-l-Yy,-r-Zz,^C„ 

C), Co, G3 étant des constantes arbitraires. 

Si l'on connaissait seulement une ou deux solutions indé- 
pendantes du premier système, on aurait seulement une re- 
lation linéaire 

X^,H-Yri4-Z..r-C, 

ou deux relations 

X^,-hYj,4-Z..,-_-=:G„ 

X^aH-Yja-f- ZZ2 — C2. 

Ces relations permettraient d'éliminer une ou deux des 
variables X, Y, Z des équations différentielles du système 
adjoint, et de ramener ainsi l'intégration de ce dernier sys- 
tème à celle d'un système plus simple, contenant une ou 
deux équations de moins. 

J. — Cours, III. 10 



l46 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

116. Systèmes cV équations linéaires à seconds mem- 
bres. — Soit à intégrer un système d'équations linéaires à 
seconds membres, tel que le suivant : 

\ dx . - ^ 

-j — \- ax + by H- cz -^ du = 1 , 

dy 



(6) 



/ 



~ H- «2-3^ + biy -\- c^z-A- d^ u =: T2, 



du , I rr. 

— -+- a^x-\- bsy -^ c^z-hd^u -- I3. 

Considérons le système linéaire analogue 

/ dx 



(7) 



dt 



4- ax -h by ■+■ cz -^ du rr^ o, 



obtenu en supprimant les seconds membres. 

Nous avons vu (111) que, si l'on connaît deux solutions 
indépendantes de ce dernier système, on peut, par un chan- 
gement de variables convenablement .choisi. Je ramener au 
système suivant : 

|=A,ç + B.., J; ==A3Ç + B,o. 

Tl est clair que le même changement de variables, appliqué 
au système (6), le ramènera à la forme 



dCi 



dC, 



^ r:=:A2^4-B2O-l-02, ^ =: A3 C + B3 u + O3, 

0, . . ., 83 étant des fonctions de t. On n'aura donc, pour 
déterminer Ç et u, qu'à intégrer un système de deux équa- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 1 47 

lions Jinéaires simultanées; Ci, C2 s'obtiendront ensuite par 
de simples quadratures. 

Si l'on avait obtenu l'intégrale générale du système (7) 

> 

« rrz Cl Z^i + C2 «2 H- C3 W3 4- C4 W4, 

l'intégration du système (6) pourrait s'effectuer par de 
simples quadratures. Substituons, en effet, les valeurs pré- 
cédentes dans les équations de ce système, en considérant 
Cl, ..., G/, comme de nouvelles variables. Ces équations 
deviendront 

^G, dO^ f/G., dO.,, 

; — ce 1 --\~ ', — CO 9 ~T~ - ~, OC q ~\— ; ce I. J. . 

dt ^ dt ^ di ^ dt * ' 



^d rfC, ^Cg ^G, 

et donnent immédiatement les dérivées —7-^? •••? —r^- On 

dt dt 

aura donc G,, . . . , C4 par des quadratures. 

117. On pourra même se dispenser de ces quadratures, si 
l'on connaît une solution particulière x^^y^^ ^05 ^^0 <Ju sys- 
tème (6). Posons, en effet. 

Le résultat de la substitution de ^o>JKo? ^o^ ?'o dans les pre- 
miei's membres des équations (6) détruira les seconds 
membres, et il restera 

— -^ac,-\-bf\-\-ct-\-d^r=iQ^ 



On obtiendra donc la solution générale du système pro- 
posé en ajoutant la solution particulière ^O) y^i -Sq, Wq à la 
solution générale du système sans seconds membres. 



l48 TROISIÈME PARTIE. — CllAPITIlE II. 

On peut enfin remarquer que, si les seconds membres sont 
de la forme 

T^T~i-T' -+-..., Ti=-_: t; -+- r; -h. . . , 

et si l'on connaît une solution particulière ^o'^^y'^, . . . pour 
un système analogue où les seconds membres se réduisent 
respectivement à T', T'^, . . . , une autre solution particulière 
^"o'y'o-' ' ' ' pour le cas où les seconds membres se réduiraient 
à T", T"^, . . . , etc., on aura une solution particulière du sys- 
tème proposé, en posant 

118. Une équation linéaire d'ordre n 

d'^x d"-^x 

^-'-l'^-dF^-^--'-^P-^--=^ 

peut être remplacée parle système équivalent 



dx 

dt -^ =°' 


..-h 7?,,.^ 




dx'^-^- „ , 

^«-1 = 0, 

dt ' 


= T. 



qui rentre comme cas particulier dans ceux que nous venons 
de discuter. 11 convient, toutefois, d'effectuer l'étude directe 
de cette équation; car elle fera paraître sous un nouveau jour 
quelques-uns des résultats déjà obtenus. 

119. Considérons d'abord Téquation sans second membre 
d'^x d'^-^ X 

(8) 7/7» +/'>7/ï^+--- + ^'""^^"°- 

Soient x^^ ..., Xu des solutions particubères de cette 
équation. Nous dirons que ces solutions sont indépendantes, 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



i49 



si le déterminant 



^1 


x^ 


' 


. . Xk 


œ\ 


x\ 


• 


• • <• 


œ\-^ 


x\- 


-1 





formé par ces fonctions et leurs k — i premières dérivées 
n'est pas identiquement nul. 

Toute équation linéaire d'' ordre n sans second membre 
admet un système de n solutions indépendantes x^, . . . ,x,i, 
et sa solution générale est 

C, ..., Qn étant des constantes arbitraires. 

Pour établir ce théorème, nous supposerons qu'il soit vrai 
pour les équations d'ordre n — i et nous montrerons qu'il 
est encore vrai pour l'équation (8) d'ordre n. 

Soit x^ une solution de cette équation (autre que la solu- 
tion évidente ^r = o). Posons x = (^x^^ G désignant une 
nouvelle variable. On aura 



dx 
~dt 



Qa' x^-\- Cx\ 



^ ^G'x,-^2C'x\ + Cx\ 
at^ 



— ^ 0'x,-V nC^-'x', 4- '''^'' '^ 0'-^x'[-h. . . -h Cx'!. 
at"- ^ 2 ^ ^ 

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura 
l'équation transformée 



1 ^iC"-l- nx[ 
: (9) i 4-/'i^i 



2 ^ 

4- npi x\ 
-hp2^i 



G"-2+...=:0. 



L'équation devant être satisfaite, par hypothèse, si l'on 



l5o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

suppose C constant, l'équation (9) ne contiendra aucun terme 
en C. Ce sera donc une équation linéaire d'ordre n — i par 
rapport à sa dérivée G'. Elle admettra, par hypothèse, n — i 
solutions indépendantes 72? •••,7/o et sa solution générale 
sera de la forme 

G2/2 + - • --^C/iJ^, 

où Go, . • ., G/i sont des constantes arbitraires. 
Intégrant cette expression, il viendra 



G ~ Cl -f- G2 / f,dt-\-...-hCn y a 



dt. 



\ étant une quantité choisie à volonté, et G, une nouvelle 
constante arbitraire. 
On en déduit 

en posant, pour abréger, 

^2 — ^1 / J'idl, ..., J^n—JCi Vn^-^- 

Il reste à prouver que le déterminant 



oc \ oc i) 



.«-1 ^n-\ 
1 ^ l 



x: 



n'est pas identiquement nul. 
Or ce déterminant est égal à 



X, oc 



1 / /2^^ 

\ oc'A y^dt \- x,y^ 

\ oc\ j y. dl-^1 x\ 72 + x^y\ 



xA yndt 

3c\ j yndt -^Xiy„ 

oc\ I yn dt -f- 2^1 yn ^- x^y'„ 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

OU, en supprimant les termes qui se détruisent, à 



i5i 



X 



1 -^1 / y-L^l ... ocA yn 



dt 



G ^1/2 

o x^y\ 






X', 



/2 
72 



y'n 



Or chacun des deux facteurs qui composent ce produit est 
différent de zéro, par hypothèse. 

120. Soient Xi^ . . ., jt^ le système de solutions indépen- 
dantes dont nous venons de démontrer l'existence, et 

^1 = C'i ;ri M- . . . + C,^Xn, 



Ç/,, — '- Cl'/ ^1 -h . . . -H Ci/i oc,i_ 

un autre système de n solutions. Le déterminant 



^n 



tn-l tn- 

^l • • • ^a 

est évidemment égal au produit du déterminant des solutions 
j:, , . , . ^ Xn par celui des coefficients G. 

Il est donc nécessaire et suffisant, pour que les solutions 
^,, . . ., \,i soient indépendantes, que le déterminant des G 
ne soit pas nul. 

S'il en est ainsi, x^, ..., Xnt et par suite toutes les solutions 
de 1 équation différentielle, seront des fonctions linéaires de 

? ,?.. 

121. Soient d'ailleurs ^,, ^2? •.•t^// "n système quelconque 
de solutions indépendantes de l'équation (8); on aura 

d^\,^ d^--% , 

^-^P^-dï^-^'-'-^P'^^'^'^''^ 



l52 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Ces équations permettront d'exprimer les coefficients 
/?, , ...,/>„ en fonction de i< , . • . , ?« et de leurs dérivées. 



122. On peut remarquer que la condition 

y 4 ... .3? /, 



exprime la condition nécessaire et suffisante pour qu'il 
n'existe entre les fonctions x^, . . , , jc^ aucune relation li- 
néaire à coefficients constants, telle que 

ai^i-4-. . .-h a„^„— -o 

En effet, s'il existait une relation de ce genre, on obtien- 
drait, en la différentiant, 



ai^j 



aj^'( 






et, en éliminant les paramètres a:^, . . . , a/^, il viendrait 



^1 


. . X, 


œ\ 


. . . X 




.. œ', 



■:=. O. 



Réciproquement, si ce déterminant est nul, ^,, x^^ . . ., 
x,i seront n solutions particulières de l'équation linéaire 
d'ordre n — i 



X 


x^ 


. . X 


X' 


x'.. 


. . X 


X«-i 


K'' • 


.. X', 



z=-. o. 



On aura donc, en désignant par Xi, . . ., X/,_, des solu- 
tions indépendantes de cette équation, et par C'^, . . ., C/'J_, 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l53 

des constantes, 



^,.= GïXi + ... + G^,X„_i. 



Éliminant Xi, ..., ^n-t entre ces équations, on en dé- 
duira une relation linéaire entre Xi, . . ., :r,i' 

123. Si l'on connaît k solutions indépendantes ^,, . . ., ^A 
de l'équation linéaire sans second membre 

on pourra ramener son intégration à celle d'une équation li- 
néaire d'ordre n — A-, suivie de k quadratures. 
Posons en effet 






\ C/^/, 



les G désignant k nouvelles variables, liées entre elles par 
les A" — I relations 

(10) ^^g;.^,= o, ^^g;.^;.=o, ...,, ^^G;.27f-2=:.o. 

On aura, en tenant compte de ces relations, * 



X' 

luis 



Yr désignant une fonction linéaire de G, , . . . , Ga et de leurs 
dérivées jusqu'à l'ordre r. 

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura 
un résultat de la forme 

G = o, 

G désignant une fonction linéaire de Ci, . . ., G^ et de leurs 
dérivées jusqu'à l'ordre n — A- -f- i . D'ailleurs, l'équation 
étant satisfaite en supposant G,, ..., G^ constants, les 
termes qui contiennent ces quantités disparaîtront, et G ne 



l54 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE II. 

contiendra que les dérivées G'^, ..., G'^ et leurs dérivées 
successives jusqu'à l'ordre n — k. 

Gela posé, on peut tirer des équations (lo) les valeurs de 
G' , . . . , G'i- en fonction de G',. Substituant ces valeurs, ainsi 



i^. cil iuin^tiuii «ac \jt , 



que leurs dérivées, dans G, on aura pour déterminer G', une 
équation linéaire d'ordre n — k. 

Gette équation intégrée, on aura G',, . . ., G'^., et l'on en 
déduira G|, . . . , G^ par quadratures. 

124. Supposons, par exemple, qu'on connaisse une solu- 
tion particulière x^ de l'équation du second ordre 

œ" H- pxx' -\- pi.x ^= o. 

Posons ^ = G,.r, ; nous obtiendrons l'équation transformée 

C'i JTi -h ( 2 J7'j -h /?i X-^ ) G'i =r O 



OU 






c; : 


1LX\ 


et, 


en in 


ilégrant, 










iogG;--= 


= — 2l0g^, 


— Pidt-h 






c;- 


-A. ^— , 








Ci = 


- -V Ç'~''' 


di 




-^v ^\ 


— — f— i_> 


et 


enfin 












X ■■ 


— ■/- 


-h\dt 

1 B^- 




x\ 



const, 



A et B étant des constantes arbitraires. 

125. L'intégrale générale de l'équation à second membre 

(il) ^" -1- /?i. r"-^ -h. ..-!-/?„ ^—_T 

se déduit, par de simples quadratures, de l'intégrale générale 
de l'équation sans second membre 

(i2) ^"-h/?i^'^-*-l-. . .H-/?rt^ = 0. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l55 

Posons, en effet, 

d, ..., Cn étant de nouvelles variables, assujetties aux 
conditions 

(i3) V'g;^,=i.o, V'c:.'r;=:o, ..., Y^c;-^r'==o. 

On aura, en tenant compte de ces relations, 



ce 
et enfin 






Substituant dans l'équation proposée, les termes en Ci 
C,t disparaîtront et il restera simplement 



Y^^r^ 



T 



1 
ra. 



Cetteéquation, jointe aux relations(i 3), donnera C',, ...,C^/, 
et Ton en déduira G,, . . . , Cn par des quadratures. 

On pourra d'ailleurs se dispenser de ces quadratures s 
l'on connaît une solution Xq de l'équation (ii). Il suffi 
dans ce cas, de l'ajouter à l'intégrale générale de l'équation 
sans second membre. 

126. Revenons à l'équation sans second membre 

Multiplions-la par une fonction indélerminée^' et intégrons. 
Il viendra, en appliquant aux termes qui contiennent les dé- 
rivées de X, l'intégration par parties 



l56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Si la fonction j' est une solution de l'équation linéaire 

(i5) .r-(A7)"-^+(/^27)'^-'-...-f-(-i)V«7 = o, 

Pintégrale disparaîtra de la formule précédente, et l'on aura, 
pour déterminer x, une équation linéaire d'ordre n — i, 
contenant une constante arbitraire. 

Si l'on connaît k solutions jKj, . . . , jr^ de l'équation (i5), 
on obtiendra, en posant successivement j^ r=:j^^ , ...^y^=yj^^ 
k équations linéaires d'ordre n — i en .r. Eliminant entre ces 
équations les dérivées x'^'^ , • • • , ^"~^+^ , on aura, pour déter- 
miner .r, une équation linéaire d'ordre n — A", contenant k 
constantes arbitraires. 

L'équation (i5) se nomme V équation adjointe de l'équa- 
tion (i4)- Il est clair que réciproquement l'équation (i4) 
est adjointe à l'équation (i 5). 

127. On aurait pu arriver à l'équation adjointe (i5)en 
remplaçant l'équation primitive (i4) par le système d'équa- 
tions du premier ordre 



dt 



dx"^-"' 



dx 
'dt 



qui lui est équivalent. 

Ce système a pour adjoint le suivant : 



dt ~ 

dX^^ 

dt ~ 






^X 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l5j 

On peut aisément éliminer X"~-, . . . , X entre ces équa- 
tions. Il suffira de les différentier respectivement n — i fois, 
n — 2 fois, etc., et de retrancher la somme des équations de 
rang impair de celle des équations de rang pair; il viendra 

'~~dF' 'dt^^ ^ ^^«-2 . . . — o, 

équation qui ne diffère de (i5) que par la notation. 

II. — Équations linéaires à coefficients constants. 

128. Une équation linéaire à coefficients constants et sans 
second membre 

d"x d"-'^œ 

""cU^ -"""^-dt^-^ +... + «,^..0 

peut être mise sous la forme symbolique 

F^ = o 
où 

F = aT>" 4- aiD'^-i + . . . 4- a„, 

chaque facteur symbolique D représentant une dérivation. 

129. Soit 

une autre opération analogue à F (^, 6,, . . ., b,n étant des 
constantes comme a^ a^. . . . , cin). 

Effectuons successivement ces deux opérations; l'opéra- 
tion résultante sera 

I 6a D'«+« + ( 6r/, 4- a^,)D '«+«--' + 

Cette expression est la même que l'on obtiendrait en mul- 
tipliant les deux polynômes F et G comme si D représentait 
une quantité et non un symbole de dérivation. L'opération 



l58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

résultante sera donc indépendante de l'ordre des deux opé- 
rations F et G et pourra être représentée indifTéremment 
par FG ou par GF. 

D'ailleurs, une opération quelconque de l'espèce considé- 
rée, effectuée sur une quantité identiquement nulle, donne 
lui résultat nul. Donc l'équation 

o=:FG^r=GF.r 

admet comme solutions celles des équations 
F^n-O, G^=:o. 

130. Soient donc .s,, ^2, ... les racines de Véquatlon ca- 
ractéristique 

o — Fr=«D«+aiD'*-i + . . .+ a,„ 

jjL,, (jLo, ... leurs ordres de multiplicité. L'équation diffé- 
rentielle 

admettra comme solutions celles des équations 

(D — 5i){^..r =rO, (D — 52);^-^^==0, 

Il est aisé de trouver ces dernières. Posons, en effet, 



On 



X = e^i'-y. 



(D — s^)x -- .Çj e^^^y -\- e^\^ D/ — s^ e^^^y 
et en répétant cette opération 

Pour que le second membre soit nul, il faut et il suffit quejv 
soit un polynôme arbitraire de degré jjli — i. 

Réunissant les solutions particulières ainsi trouvées, on 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. loQ 

voit que l'équation 
admet la solution 

où P,, P21 ••• sont des polynômes arbitraires de degrés 

p-t — I, lJ-2— I, 

Cette solution contient jji, + uo H- . . . == /i constantes arbi- 
traires. Ce sera donc la solution générale, si elle ne peut 
s'annuler que lorsque toutes ces constantes sont nulles. 
Nous allons prouver qu'il en est ainsi. 

En effet, supposons qu'on ait 

PieV4-P2e^.^-f-.. .==0. 
Posons 

H=(D — 52)!^'^(D — .Ç3)!^-3 .... 
On aura 

o = H(Pie«.^-HP2eV4-...)— II(Pie^.^). 

Mais on a, d'autre part, 

Or les polynômes (D — Si)^i et H étant premiers entre eux, 
on pourra déterminer deux nouveaux polynômes M et N tels 
que l'on ait 

M(D — 5i)!''4-NH=:i 

et, par suite, 

o =[M(D — 5,)!^.-i- NH](Pie-^.')= Pie'-'. 

Donc P, doit être identiquement nul. De même pour les 
autres polynômes Po, .... 

131. Si les coefficients «i, «2, . . . étant réels, l'équation 
caractéristique F = o a des racines imaginaires, la solution 
générale que nous venons d'obtenir renfermera des imagi- 
naires; mais il est aisé de les faire disparaître. 

Soient, en effet, 5< =:== a -h ^i, ^2 = a — (3? un couple de 



l6o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

racines conjuguées, a leur ordre de multiplicité; nous au- 
rons dans l'intégrale générale les deux termes 

= Qie°''cosp/-4-Q2e°''sinp^, 
Qi, Q2 étant des polynômes de degré [x — 1, arbitraires 
comme l'étaient P^ et P2. 

132. Connaissant, par ce qui précède, l'intégrale de l'équa- 
tion sans second membre 

(1) Fj:=:0, 

on obtiendra par des quadratures celle de l'équation à se- 
cond membre 

(2) F^^T. 

On sera, d'ailleurs, dispensé de ces quadratures si l'on 
peut déterminer une solution particulière de cette dernière 
équation. 

Ce cas se présentera si T est un polynôme entier en ^, 
e*^ e?^, . . . , siny^, cosyi, .... Car en remplaçant les sinus 
et cosinus par des exponentielles, T sera une somme de 
termes de la forme 

s désignant une constante et II un polynôme, dont nous dé- 
signerons le degré par À. 

Nous aurons donc à chercher une solution particulière de 
l'équation 

(3) F^=:ne^^ 

Les solutions de cette équation satisfont à l'équation 

(4) (D — 5)>^+' F^ = (D — 5)^^' ne-^'-T-o 
qui n'a plus de second membre. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l6l 

Deux cas seront à distinguer ici : 

1" Si s diffère de Si, 50, . • -, l'équation (/f) a pour inté- 
grale générale 

où P est un polynôme de degré A. 

Supprimant les termes qui appartiennent à l'intégrale de 
F^ 1= o, on voit que l'équation (3) doit admettre une inté- 
grale particulière de la forme Pe^^. 

2'' Si s = Si, l'intégrale générale de (4) sera 

P'^ étant un poljnôme de degré a, + À. 

Supprimant encore les termes qui appartiennent à l'inté- 
grale de F^ =: o, on voit que l'équation (3) admet une inlé- 
grale particulière de la forme /H-iPe-^/, où P désigne encore 
un polynôme de degré X. 

J^a forme de la solution particulière étant assignée dans 
chaque cas, il restera à déterminer les coefficienls du poly- 
nôme P. Pour cela on substituera Pe'^^(ou /t'iPe^i'^) à la place 
de X dans l'équation (3); l'idenlification des deux membres 
donnera un système d'équations linéaires pour calculer les 
coelficients inconnus. 

133. Exemple. — Soit à intégrer l'équation 
( ) --- 4- m^ ^ = ces ni. 

Considérons d'abord l'équation sans second membre 

-j-^ -f- ru'X =;(D-4- j)i ):r = o. 
Son équation caractéristique 

D^H-m^rrrO 

admet les deux, racines simples ziz mi. Elle aura donc pour 
J. — Cours, III- Il 



l62 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

intégrale générale 

Ccos/?i^-+- Cl sinm^, 

où G, G, sont des constantes arbitraires (des polynômes de 
degré zéro). 

Revenons à l'équation à second membre (5) 

(D- 4- m- ) X =: CCS nt. 
On en déduit 

(6) (D2H-/i2)(D2+m2)^ = (D2-4-/i2)cos/i^ = o, 

i" Si n-^m-j cette dernière équation aura pour intégrale 
générale 

Acos/i^ 4- Al s'innx -\- G cosm.r h- Ci sinmcr, 

où A, A,, C, G< sont des constantes arbitraires. L'équa- 
tion (5) a donc une intégrale particulière de la forme 

A cosnx + Al ?>\xinx. 

Substituons cette expression dans (5), il viendra 

( — /i--t- T7i^){\. cosnx H- Al s'innx)zzz cosnx, 
d'où 

A =1^ — ^ 5 Al = o. 

m- — /i- 

L'intégrale générale de (5) sera donc 

C cosmx -f- C, sinm^ H -: 



m* — rf 

2*^ Si n-= m'-j les équations (5) et (6) deviennent 
(5)' (D2+/?l2) ^'r=rcosm^, 

(6)' {D''-\-7Jl'-y'X=zO. 

Gette dernière a pour intégrale générale 

(C -f- A^) cosmt + (Ci4- Ai^) sinm^ 
et (5)' admettra une intégrale particulière de la forme 
^(A cosmt -+- Al sin/7i^). 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

Celle expression, subslituée dans (5)'^ donne 
2m ( — A sin mt -\~ Aj cosm^) = cos mt, 



i63 



d'où 



o, Al 



I 

2/11 



L'inlégrale générale de (5)' sera donc 



C cosm^ + Cl sinm^ 4- 



2771 



134. Considérons un système d'équalions linéaires à coef- 
ficienls constants et sans seconds membres. Nous suppose- 
rons, pour fixer les idées, que ces équations soient au nombre 
de trois. Elles seront de la forme 

(7) Li^ + M,j)- + ]Ni^ = o, 

l Lg^ + Mgj)' -f- Na^ — o. 

L, M, ... désignant des facteurs symboliques tels que 



Soit 



X---aD!^-}-aiDf^-i 



une autre opération ditrérentielle quelconque. On a évidem- 
ment 

X(L^ + My + N5) = o. 



On pourra donc remplacer le système (7) par le système 
obtenu en multipliant symboliquement une de ses équations 
par 1 et l'ajoutant à une autre, par exemple, par le système 



Li^-f- Mij-i-Ni^ 



o, 



On peut faire subir au système une autre genre de trans- 
formation. 



l64 TUOISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Soit x' une nouvelle variable définie par la relation 

X ■=z x^ -\-^ y. 
On pourra remplacer le système proposé par le suivant 

L ^•'4-(L X H- M )/ -\- N z ---., o, 



Ces deux sortes d'opérations (combinaison des équations 
données et changements de variables) vont nous permettre 
d intégrer le système. 

133. Soit A le déterminant 



L iM N 
L, Ml N, 
U M, N, 

l m II 
/i ni^ /Il 

4 7)1.2 ^2 



Soient 



ses mineurs; o leur plus grand commun diviseur. 

Multiplions la première équation (7) par^^la seconde 

/, , . ., 4 • -1 • 

par ^ j la troisième par -. et ajoutons^ il vient 

L/+ L,/, ^-Ls/., M/-{- Ml/, -I- ^2^2 

^ 

N/+Ni/,+ N,/2 



ou, d'après les propriétés des mineurs, 



A 

-;^ X —Z O. 




On trouvera de même 



O. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l65 

Donc .v^y, z satisfont à l'équation difTérenlielle unique 

A 

^-.r = o, 

dont nous savons déterminer l'intégrale générale. On aura 
donc, en désignant par .9,, s.,, ... les racines de l'équation 
caractéristique, par jji,, tJio, • • . leurs ordres de multiplicité^ 



lf;-i--f- 1-2' 



-h. 



P,, Qi, R, étart des polynômes de degré p-i — i; Po, Qa? ^2 
des polynômes de degré [J-o — 1 7 • • • 

Substituons ces valeurs dans les premiers membres deséquc- 
tions (7) et identifions le résultat à zéro. Nous obtiendrons 
un certain nombre de relations linéaires entre les coefficienls 
de ces polynômes, et la solution contiendra autant de con- 
stantes arbitraires qu'il restera de coefficients indéterminés. 

136. Si les équations proposées avaient des seconds mem- 
bres de la forme 

n, Ui étant des polynômes de degré ^}^, on les ferait dispa- 
raître en multipliant les équations données par le facteur 
symbolique 

et l'on serait ramené au problème précédent. 

Cette analyse sommaire suffit pour obtenir la solution gé- 
nérale, sauf le cas où A est identiquement nul. Mais pour 
traiter ce cas exceptionnel, et aussi pour déterminer a priori 
dans le cas général le nombre des constantes arbitraires, il 
nous faut serrer la question de plus près. 

137. Nous considérerons le système proposé comme d'au- 
tant plus simple que le degré minimum de ceux des coeffi- 
cients L, . . . , N2 qui ne sont pas identiquement nuls sera 
plus petit. Ceci admis, proposons-nous de simplifier progrès- 



l66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

sivement le système par les opérations indiquées ci-dessiis 
(addition de lignes ou de colonnes). 

Soit, pour fixer les idées, Mj le cocfLcient de degré mini- 
mum dans le Tableau 





L M N 




Li Ml Ni 




L, M, N2. 


I^i visant M par Mi 


, on pourra écrire 




M = XM,-f-R, 



R étant de degré moindre que M, si M^ ne divise pas M et 
pouvant être pris égal à M^ si M, divise M. 
Dans le premier cas, le système 



XLi 


M-XM, 


= R 


N-XN, 


1 


M, 




Ni 


2 


M. 




N. 



sera plus simple que le proposé. Dans le cas contraire, il 
aura deux coefficients égaux à la seconde colonne. 

On pourra de même, ou simplifier le système, ou le rem- 
placer par un autre, où i\J2 soit remplacé par M,. On obtien- 
dra ainsi un système de la forme 



V 


M, 


N' 


Li 


M, 


N, 


K 


M, 


N' 



Si l'un des coefficients U, N', L, , N, , Lo, N'a n'est pas divisible 
par M,, on pourra simplifier le système (par des additions 
de colonnes). Sinon on pourra rendre V et N' égaux à M,. 
Nous sommes ainsi parvenu à un système où tous les coef- 
ficients sont des multiples du premier. 

Soit généralement 

A AiA A2A 

RA R^A R2A 

Ga GjA C2A, 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 167 

un semblable système. Par des soustractions de lignes, puis 
de colonnes, on pourra faire disparaître les coefficients de 
la première ligne et de la première colonne, sauf le premier, 
et l'on obtiendra un système de la forme 



A 





B;a 


b;a 


c;a 


c;a. 



Si B',, B'^, C'^ , G'^ ne sont pas nuls à la fois, on pourra de 
même remplacer le Tableau partiel 

b;a b;a 

C'j A Gg A 

par un autre, oi^i le premier coefficient sera un multiple de A, 
tel que AA,; le second et le troisième seront nuls, et le der- 
nier sera un multiple de AA,tel que A Ai A2. 

Le Tableau est ainsi ramené à la forme canonique 

A o o 

o AA| o 
o o AAjAg. 

Une partie des transformations que nous avons fait subir 
au Tableau sont dues à des changements de variables. Soient 
^, T,, Ç les dernières variables indépendantes adoptées. Elles 
seront définies indépendamment les unes des autres par les 
équations linéaires 

(8) A^ = o AAiTf]=o, AAïAjC^o. 

[jC nombre des constantes arbitraires sera égal à la somme 
des degrés des polynômes A, AA, , AA, A2 ou au degré de leur 
produit. Or ce produit est égal à A, car les additions de lignes 
ou de colonnes ne changent pas le déterminant. 

On voit aisément qu'elles laissent également inaltérés : 
i" le plus grand commun diviseur 0, des mineurs du premier 



l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

ordre, le plus grand commun diviseur Oo des mineurs du 
second ordre, etc. Or. sur la forme rédi ite du Tableau, on a 



\ — \K'^\\,, 



-1 — -•■ - 



Ces équations permeltraient de déterminer a priori A*, A,, 
A 2 à l'inspection du Tableau primitif. 

138. Si le premier coefficient A se réduit à une constante, 
la première équation (8 , ne sera plus une équation difTéren- 
tielie. mais donnera ; — o. Si A, se réduit aussi à une con- 
stante, on aura de même r, = o, etc. 

Enfin, si A est nul. un ou plusieurs coefficients A, A,, A^ 
seront nuls. Soit par exemple Ao^o. Les deux premières 
équations (8) détermineront encore ;, r, ; mais la dernière de- 
venant identique, la foncticn "Ç restera arbitra rj. 

139. On peut ramener aux équations à coefficients con- 
stants les équations linéaires de la forme 

(9) (^t-h?r-^^^d^^-^?r-''-—^- -^- --^ 



^^n "IV- . r/ ^^. 



Posons 


en effet 




a ^ -H 2 = e' 


on aura 




dr 

dt 


dx 
du 


d}x 
dC- 


dx 
"^-di 

du 



d'où -x dl ---z c'' du \ 



( dx d*x\ 

et, en général, 



In 



'- = a^-e-^-«P,-, 



p. désirant une fonction linéaire à coefficients constants 



ÉQUATIONS LISÉAinES. 



6q 



de ^. ..., ^ En effet, si cette proposition est établie 

du da^ 

pour le Dombre k, elle sera encore vraie pour A- -f- 1 ; car on 



aura 






_^t-r-lg-«/ Ae-Al 




^^i.ie-.A-HD.p^.^^ 



.—km _ _ 1 



Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura 
pour déterminer x en fonction de ii une équation linéaire à 
coefficients constants. 

Si l'équation caractéristique correspondante a ses racines 
inégales, l'intégrale générale sera de la forme 

S'il V a des racines multiples, à chacune d'elles. 5,, cor- 
respondra comme solution une expression de la torme 

III. — Intégration par des séries. 

140. Considérons une équation linéaire sans second 

membre 

d'^.r df^-Kr 

dont les coefficients soient uniformes en t et n'aient que des 
points critiques isolés. 

Nous avons vu (119) que la forme générale de ses inté- 
grales est la suivante 

CyX^~. . . — C„^,, 

OÙ C|, . . .y c„ sont des constantes, et x, r„ un svs- 

lème quelconque de n intégrales indépendantes. Nous savor.s 



170 TROISIÈME PARTIK. — ClIAPITRK If. 

ea outre (92) que ces intégrales n'ont pas d'autres points 
critiques que ceux des fonctions yi>,, , . . , p,}. 

Cherchons comment se comportent ces intégrales lorsque 
la variable indépendante t tourne autour d'un de ces points 
critiques, que, pour plus de simplicité, nous supposerons 
situé à l'origine des coordonnées. 

L'intégrale considérée x varie avec ^, mais sans cesser de 
satisfaire à l'équation différentielle. Lorsque t revient à sa 
valeur initiale, p\, - . ■ , Pn reprenant également leurs valeurs 
initiales, l'équation différentielle redevient ce qu'elle était 
primitivement; et l'intégrale transformée, devant satisfaire à 
celte équation, sera de la forme 

Cl ^1 -f- . . .H- CiiX ,1. 

En particulier, soit xi l'une quelconque des intégrales 
indépendantes x^^ , . .^ Xn\ elle sera transformée en une ex- 
pression de la forme 

C/i X^ -h • . . -\- Cin X n^ 

de telle sorte que la rotation de t autour de l'origine aura 
pour résultat de faire subir aux intégrales x<^^ . .., Xn une 
substitution linéaire telle que 

X\ d 1 X\ -4- . . . -j— C\ n X „ 



Le déterminant des coefficients c sera d'ailleurs différent 
de zéro ; car, s'il était nul, les intégrales transformées seraient 
liées par une relation linéaire, qui continuerait d'avoir lieu 
en faisant rétrograder t en sens contraire de son mouvement 
primitif. La même relation subsisterait donc entre les inté- 
grales primitives Xi, ..., x,,, contrairement à l'hvpothèse 
faite, que ces intégrales sont indépendantes. 

141. Soit 

> 



ÉQUATIONS LINÉAIHES. I7I 

un autre système quelconque d'intégrales indépendantes. La 
substitution S, opérée sur les x^ remplacera les jk par d'autres 
fonctions linéaires des x^ ou, comme les x s'expriment 
linéairement au moyen des jr, par des fonctions linéaires 
desj^^ 

La rotation autour de l'origine aura donc également pour 
effet de faire subir aux y une substitution linéaire. Nous 
pouvons nous proposer de profiter de l'indétermination des 
coefficients a pour simplifier le plus possible l'expression de 
cette substitution. 

Cherchons tout d'abord s'il existe quelque intégrale 

qui se reproduise multipliée par un facteur constant .v. Il faut 
pour cela qu'on ait 

ai(cH^i4-. . .4- C^,iXn) 4-. . .4- ««(Crti^i-h. . • "h C,,„ ^„ ) 
= 5 ( ai ^î H- , . . + a„ x,.^ ) : 

d'oii les équations de condition 

(Cu — 5) a, H- c.ia,-^. . . + C„ja„-=0, 



(0 



Les coefficients a,, . . . , a,; ne pouvant être nuls à la fois, 
il faudra que le déterminant caractéristique 



A=z 









Cin 



s'annule. 

Supposons d'abord que l'équation A = o ait n racines 
inégales s^, ..., s,i. Soit si l'une d'elles. En la substituant 
dans les équations (i) elles deviendront compatibles et dé- 
termineront les rapports des coefficients a. Il existera donc 



172 



TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lî. 



unefonction j'i qui se reproduira multipliée par .ç/. D'ailleurs 
les /z fonctions j)'4, . . . , j^„ ainsi obtenues sont indépendantes; 
car, si elles étaient liées par une relation 

la même relation devant subsister constamment entre leurs 
transformées, on aurait, en faisant faire n — i révolutions 
successives autour de l'origine à la variable tj 



Ci s"C'y 4- . . . -f- CnSl \rn --- o, 
équations rncompatibles, car le déterminant 

I I ... I I 

s, s, ■ .. s, 

s'i' s,--' ... s: 

n'est pas nul, .9i, .Ço» •••, Sji étant inégaux; et, d'autre part, 
les intégrales c^y^, .. ., c,iy,i ne peuvent être toutes nulles. 
Donc, en clioisissant j),, ..., r,t comme système d'inté- 
grales indépendantes, la substitution S prendra la for/)ie très 
simple 

J'i ^ifi 

142. Si nous avions choisi un au Ire système quelconque 
d'intégrales indépendantes, tel que :;,, ..., z,i, la substitution 
S aurait pris une forme telle que 



^n "«1 -^1 -f- . . . f- (-1,^,1 Z,j [ 



j)',, . . . , j',, deviendraient des fonctions linéaires de s,, . . . , z-,j 
lesquelles se reproduisent respectivement multipliées pai 



• ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

Ces miillîpHcateurs devront satisfaire à l'équation 



173 



^,1 



dv. 



dui 



ci.. 



d,n 
dm 



^hi n 



0. 



Cette équation doit donc être identique à l'équation A = o, 
qui a les mêmes racines. On voit donc que les coefficients de 
l'équation en s ne dépendant pas du choix des intégrales in- 
dépendantes : ce sont des iavarianls. 

443. Les résultats sont un peu plus compliqués lorsque 
l'équation en s a des racines égales. Nous allons établir la 
proposition suivante : 

On peut toujours trouver un système d'intégrales indé- 
pendantes formant une ou plusieurs séries y^, ..., y ni'-, 
y\, ..., y'j^^'\ ... telles que S remplace les intégrales 
d^une même série, y ^^ . . . , y^,, . . . , y m respectivement par 



ly^ 



^ si{y 



(J.-I 



uir 



i-j' 



I, Si étant une 



racine de l'équation caractéristique. 

Ce théorème étant supposé établi pour les substitutions à 
moins de n variables, nous allons démontrer qu'il subsiste 
pour une substitution S à « variables. 

Soit 5, une des racines de l'équation caractéristique. Il 
existe une intégrale y que S multiplie par s^. En la prenant 
pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales 
primitives x^^ S prendra la forme 



S — I 7, ^: 



sxy, X2-i-}.2.rj 



X„4 



■«r 



Xo, ..., X„ étant des fonctions linéaires de x^, .. -, x,i^ et 
aura pour déterminant caractéristique 

A' désignant le déterminant caractéristique de la substitution 



S' 



.,X,|. 



174 TROISIÈME PARTIE. — CIUIMTKE II. 

Nous pourrons par hypothèse changer de variables, de 
manière à mettre S' sous la forme 



S': 



r'i, • • • . 7m' Si,f\ , . . . . Si. ( j',„' H- j;„,_ j ) 



où .ç/, 5/', . . . sont des racines de ^' =::: o. 

Ce même changement de variables, opéré sur S, la réduira 
à la forme 



y -^1 y 

Yx , . ■ . , y m ■'^i .>'i 4- X, 7, • . . , 5/ ( y m -H /,« -I ) ^ >m y 

Ji ' • • • ' 7//^' •^r7'i +■ X', j, . . . , Si\y,„> -f- j';„'_ , ) -I- V,„-y 



Changeons de variables en posant 

yk + aA-7 = ^k' 
s remplacera Y , , . . . , Y^, . . . par 

^iYx + >m7+ «i^i7 — <^/Yi-h !J.i7, 
1 

Si{yk-\- X/t-i) + >>/t7 + ='A-^i7 = ^?/(Y^--H Y^._,) -H [x;,7. 



en posant, pour abréger, 

Xi 4- ai(5i — 5,) = ;x,, . , ■ ; 

La substitution S aura donc conservé sa forme générale," 
mais on peut disposer des indéterminées a,, . . ., a/f, . . . de 
manière à annuler tous les coefficients [x si 5|^5/, tous ces 
coefficients, sauf le premier {ji,, si 5| = si. 

Nous pourrons faire disparaître de même les coefficients V 
(sauf le premier, si 5^7 ==r 5,). 

Nous pouvons ainsi ramener S à une forme telle que la 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



'75 



suivante : 






/ 






Y„ . 


.,Y,„ 


Sr^-. 


y;, • 


.,Y'„, 


1 


z„ . 

• • > • 


. , . . . 



•^1 Y'i + [J-i r, . . . , .V, (¥;„'-+- Y,„'_i) 



s^Li 



s,{Z, 



'p-\ 



144. Supposons que, parmi les coefficients |ji, , tji', , ... que 
contient encore cette expression, il en existe au moins deux 
p-i et ]s.\ qui ne soient pas nuls, et soit, pour fixer les idées, 
m'^m. Prenons pour intégrales indépendantes, à la place 

de Y', , . . ., Y^.j., les suivantes : 



S remplacera évidemment U, , . . ., U^, . • . par 

5-iUi, .. ., 5,(U/,-hUA._i)j •••, 

de telle sorte que le terme [jl, jk aura disparu. 

On pourra ainsi faire disparaître tous les termes en y\, sauf 
un seul, tel que \t^\y. 

Supposons donc que [J^, , • . • soient nuls. Si [i-i<o, on 
n'aura qu'à poser 

v-^y — Si^o 

pour ramener S à la forme canonique clierchée 



Ïq, 11, . . . 

Y Y' 



Z], Zj, 



^,Y„ 5,(Y, + Y.), ... 

.,Y;,s,(Y; + y',). ... 

''•'■) j • • • 



Si [X, était nul, S aurait déjà [la forme demandée, la pre- 
mière série de variables étant formée de la seule variable y. 



176 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

145. La substitution S étant ramenée à la forme canonique 
que nous venons d'indiquer, soient yo^y^, •••jJ^a une des 
séries formées par les nouvelles intégrales auxquelles elle est 
rapportée ; s la racine correspondante de l'équation A =: o. 

Proposons-nous de déterminer la forme générale de ces 
intégrales. 

PosonS; pour abréger, — .log5 = /' et faisons 

les z étant de nouvelles inconnuesS. Lorsqu'on tourne autour 
de l'origine, t^ se reproduit multiplié par e-^'''::^^^; donc 
les z devront subir l'altération suivante : 

Pour trouver la forme générale des fonctions qui jouissent 
de cette propriété, nous remarquerons que la fonction 

.\o2:t s'accroît de l'unité par une rotation autour de l'ori- 

gine. Si donc nous posons 

cette rotation changera 0| en 8, -f- i et, plus généralement, 0( 

en 

(6,-4-1)0, ...(6,-A--H2) 



0. 



I . 2 . . . /c 

0,(61 — i)...(e, — A' + i) 



=:0/,-hO.._,. 



Posons maintenant 



Zq ^^05 



z;,zzz 0/, Uq -\- 0/;_i iii 4- . . . -I- ^^',; , 
Uq, Ui^ . . . , u/( étant de nouvelles fonctions. Pour que Zq, . 






fiQUATIONS LINÉAIRES. I77 

Zj^ subissent la transformation demandée par une rotation 
autour de l'origine, il sera nécessaire et suffisant que Uq^ . . ., 
{//( restent invariables. 

On obtiendra donc, en remplaçant les fonctions 8,, . . ., 0/^ 
par leurs valeurs en t, pour les intégrales cherchées yo, . . -, 
>7,, des expressions de la forme 

r^ =r(Milog.' + N,), 

y 

y„ = r(IVUJog^-7 -i- N/,log^'-' ^ +. . .), 

JMo, Mo ..., N,, ... étant des fonctions monodromes aux 
environs de l'origine. Ces fonctions s'expriment, d'ailleurs, 
linéairement au moyen des k + i fonctions distinctes Uq^ . 
Uh' En particulier, les fonctions Mo, M<, . .., M^ de la p 
mière colonne ne diffèrent que par des facteurs constants. 

146. Les fonctions monodromes Mq, M4,*-N^, ... seront 
développables en série suivant les puissances positives et né- 
gatives de t. Si la série des puissances négatives est limitée 
pour toutes les fonctions qui figurent dans une des inté- 
grales ci-dessus, cette intégrale sera dite régulière aux envi- 
rons du point ^ = o. 

11 est intéressant de reconnaître dans quel cas l'équation 
proposée admet un système d'intégrales indépendantes toutes 
régulières. M. Fuclis a établi à cet égard le théorème suivant : 

Pour que V équation 

admette n intégrales indépendantes régulières aux envi- 
rons du point t = o, il faut et il suffit que, pour chacun 
des coefficients de Inéquation, tel que pi, le point t ^== o soit 
un point ordinaire, ou un pôle dont V ordre de multiplicité 
ne surpasse pas i. 

J. — Cours, 111. 12 



TROISIÈME PARTIE. 



CHAPITRE II. 



Démontrons d'abord que cette condition est nécessaire. 
Il est manifeste, en premier lieu : i" que toute expression 
régulière, telle que 



r (M log'^ + N log^-U + 



R), 



a une dérivée 



r 



fi" (M loi 



R)+- 



ïMlos:''" 



M'log'/-f- 



également régulière; i° que tout produit d'expressions régu- 
lières est une expression régulière. 

Si donc les intégrales jr<, -- --, fn d'une équation d'ordre /,' 
sont régulières, les coefficients de l'équation, mise sous la 
l'orme 

' X r, ... 7„ 

y'n 



y\ 



seront des sommes d'express 

(2) ^'^M log'7 + ...)-+- ^'"^ (Ml log^ t 



J II 

ons régulières, telles que 



D'ailleurs, lorsque t tourne autour de l'origine, jKi , • • .,JK« 
subissant une substitution linéaire, leurs dérivées d'un ordre 
quelconque subissant la même substitution, les coefficients, 
qui sont des déterminants formés avec ces quantités, se re- 
produiront multipliés par le déterminant 8 de la substitution. 

Or, pour qu'une expression de la forme (2) jouisse de 
cette propriété, il faut manifestement que les logarithmes 
disparaissent et que les exposants /-, /•, , . . ne diffèrent de la 

quantité :loo^8-- 3 que de nombres entiers. Les coeffi- 

cients de l'équation seront donc de la forme ^PP, P étant une 
fonction de la même espèce que M, M,, . . ., c'est-à-dire 
ayant un point ordinaire ou un pôle au point ^ = o. 

Si maintenant nous divisons l'équation par le coefficient 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. I 79 

de la plus haute dérivée, t^ disparaîtra et il viendra 






d'^-'^œ 



-^Pn~0, 



les coefficients /?i, • - -, pn étant des quotients de fonctions 
pour lesquelles ^ :^ o est un point ordinaire ou un pôle, et 
jouissant évidemment de la même propriété. 

Il reste à montrer que l'ordre de multiplicité du pôle ^ :=^ o 
pour le coefficient/?/ ne peut surpasser i. 

iAl. Posons à cet effet 

5 étant une nouvelle variable et T une fonction de t qui soit 
de la forme 

(3) T — ct^-hc^t^'-^-i-.... 

Nous obtiendrons une équation transformée 



d"^ 
dt" 



d"-'^^ n(n — i) 



dt"- 






d''-^^ 



dt"-' 



=r G 



\_ OU, en divisant par T, 
T' 



d^ 
~dF 



T 



d''~^\ 



\n{n — \) T' r 1 d'^-'^l 



G. 



Si l'équation primitive a ses intégrales régulières, il en sera 
de même de cette nouvelle équation, dont les intégrales s'ob- 
tiennent en multipliant les précédentes par l'expression régu- 
lière 

Lr=.t-^{d-^d,t-\-...). 



T 



D'autre part, ^ = o étant un pôle d'ordre i pour 7^ 



l8o TROISIÈME PAKTIE. — CHAPITRE M. 

(l'ordre 2 pour 7^? •••> on voit que, si ce point est un pôle 

d'ordre k au plus par rapport à chaque coefficient p^ de l'é- 
quation primitive, la même propriété subsistera pour l'équa- 
tion transformée. 

Réciproquement, si l'équation transformée jouit de cette 
propriété, l'équation primitive, qui s'en déduit par la sub- 
stitution 

la possédera également. 

Il suffira donc, pour établir le théorème pour l'équation 
primitive, de le démontrer pour l'équation transformée. 

Cela posé, il résulte de l'analyse du n° 145 que l'équation 
en X admet nécessairement au moins une intégrale j>'o = ^''M^ 
dépourvue de logarithmes. Cette intégrale étant régulière, 
par hypothèse, sera de la forme (3). En la prenant pour T, 
la transformée en ^, admettant comme intégrale la constante i , 
ne contiendra pas de terme en ^ et se réduira à la forme 

Posant -,- = i', on aura l'équation d'ordre ii — i 

d^-''^' d'^-'-l' 

-d^-^'^^-d^^'--^'J-^-^'=---'' 

dont les intégrales, étant les dérivées de celles delà précédente, 
seront encore régulières. Si donc le théorème est supposé 
vrai pour les équations d'ordre n — i, t^=o sera un pôle 
d'ordre k au plus pour q^. Le théorème sera donc vrai pour 
l'équation en ^ et pour l'équation primitive en x. 

Il suffit donc d'établir le théorème pour les équations du 
premier ordre. Or so>t 

dx 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. iSl 

une semblable équation ^ si elle admet une intégrale régulière, 
elle sera de la forme 



T — ct'^-^c^t 



r-(-l 



Or, si ^ = o est pour/?i un pôle dont l'ordre \l de multi- 
plicité soit >> 1, de telle sorte qu'on ait 

p ^— a t-V- -^ a^ t ^V--^^ -\- . . . 

et qu'on substitue pour j: une valeur de la forme T, le résultai 
de la substitution contiendra un terme act~^''^^ de degré 
moindre que tous les autres et qui ne pourra se réduire avec 
eux^ donc il ne pourra pas exister d'intégrale régulière. 

148. Réciproquement, nous allons établir que toute équa- 
tion différentielle qui satisfait aux conditions énoncées a 
n intégrales régulières. 

Multiplions l'équation par t'^ ; il viendra 



I» 



dt"- 



Pit.t' 



d"-^.T 
dt"-^ 



p^i-.V 



d"-^x 
dt"-'"- 



-h. 



o. 



L'origine étant, par hypothèse, un point ordinaire pour les 
fonctions/?! /,/?2^", •••, on pourra écrire 



Soit p, un rayon de convergence commun à ces séries; 
OB aura 

M 

b. 



<p/« 



M 



< 



M désignant une constante. 

Si nous substituons dans le premier membre de l'équation 
proposée la valeur œ = r, nous obtiendrons le résultat sui- 
vant 



i82 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

en posani, pour abréger, 

/•(/• — i)...(r— 7^-M)-l-«o/•(r — i). . .(r — /i 4- 2) 

-+- ^ /•(/•- i)... (/■— /iH- 3)4-...= F(r), 
(fmr{r — i). ..(/•_ /i 4- 2) 

4- ^,«/-(r — !)...(/• — /i 4-3)4-... — cp,„(/-). 

En substituant la valeur 

^ = Flog^^ =:—/'•, 

on obtiendrait évidemment comme résultat 









-— -^'•log>^-^^4-...-h ^-T^''- 

Nous nommerons équation déterminante l'équation de 

F(/-)==o. 



degré n 



Groupons ses racines en séries, en réunissant ensemble 
toutes celles dont la différence est nulle ou égale à un entier 
réel. Nous allons démontrer qu'à chaque série contenant m 
racines correspondent m intégrales régulières de l'équa- 
tion. 

149. Admettons, pour fixer les idées, que nous ayons une 
série contenant quatre racines, dont deux égales à a et deux 
égales à a -f- «', i désignant un entier positif. Nous allons ob- 
tenir une intégrale régulière de la forme suivante 



(4) 



-i-V r^^[j(cj^-i-c;,iog^4-...-f-c'^iog^0. 



(5)/ 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. l83 

dans laquelle quatre des coefficients c resteront arbitraires, 
ce qui donne bien quatre intégrales particulières distinctes. 

Substituons en effet la valeur précédente dans l'équation 
proposée, et égalons à zéro les coefficients des termes en 

ty-^-\^\o^U, ^^^f^logn, ^^+H'log^, ^^+{^; 



il viendra 

F (a-Hlx)c:i-f-'f,(a + ;ji-i)cJ_ 

F ( a -f- |j. ) Cj^-^ cpi ( a -1- u — [ ) c'JjL_ 

-i- 3 [ F' ( a -f ■ lA ) cjl-h 'f 1 ( a -1- |J- — I ) c'J._ 

F (aH-;j.)c[j,-|-cpi(a4- [J.— i)<^lJ.- 

-H2 [F'(a4- !j.)c;i-i-cp'i('/ + [x — i)c'j^_ 

-• - 3 [ F"( a H- ;j. ) Ca H- o''j ( a -h |J. — i ) C'jl_ 

F (a4-[J.)C;j.-f-cp,(a + |x — i)Cj;,_ 

-h F' ( a -^ |x ) c;j,4- o', ( a + a — ! ) c'j,_ 

-h F''( a -4- a ) c'a 4- o® ( a H- a — i ) c'|^_ 



F'''(a-+-;x)4:-t-cf";(a + 



1 C, 



-■h cDo ( a -i- |j. — 2 ) c5j,_2-f- 
-Hcp2(a-^ [J.— 2)c'j^_2^- 
^-©'2(a -+-[J.— 2)Cp,_2-h 
-h cp.2 ( a + a — 2 ) c'jjL_ 2-T- 



2)c' 



[X- 2- 



■'f .2(^ + 1^ — 

■ cp'^ ( a 4- ;J- — 2 ) 6'îl_,H- 

■ (p.2(a-t- ;j. — 2)Ca_2 + 
cp2(a + tj.— 2)cJ,._2 4- 

Cp2 ( a + [J. — 2 ) C;I_2 + 



]-o, 



]=.o. 



Dans les deux premières équations, on aura à donner à p. 
toutes les valeurs de i k œ , dans les deux dernières toutes 
les valeurs de o à 00 ; d'ailleurs les séries qui forment les 
premiers membres se limiteront d'elles-mêmes, ceux des 
coefficients c'\ c'" dont l'indice serait < i et ceux des coeffi- 
cients c, c' dont l'indice serait -< o étant identiquement 
nuls. 

Pour toute valeur de [a supérieure à /, F(a + ^) étant ^ o^ 
ces équations donneront c'^, c'm, c'„, c^ en fonction des coef- 
ficients d'indice moindre. Pour [jl = t les deux premières 
équations deviennent identiques, car elles se réduisent à 



F(^ 



Oc'; — o, 



F(^ 



l)c\+ 3F'(a-h i)c'-=o; 



et a + / étant racine double de l'équation déterminante, 
F(a-(-/) et F'(a 4- /) s'annulent; mais F''(a -|- «) étant ^o, 
les deux dernières équations détermineront cj, c"^. 



l84 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Si /> [J(. !> o, il ne reste plus que deux équations qui dé- 
terminent c' Ca en fonction des coefficients précédents. 
Enfin, pour [jl^o, ces équations deviennent identiques. La 
détermination des coefficients peut donc toujours se faire, 
et il en reste quatre arbitraires, à savoir c^, C/, cj,, Cq. 

150. Il reste toutefois à prouver la convergence de la série 
obtenue. Pour l'établir, nous remarquerons que F(a-f- ik) 
étant un poljnôme en ^ d'ordre n les valeurs de c"^, . . . , Ca 
en fonction des coefficients précédents fournies par les équa- 
tions (5), lorsque ut.^ i, seront delà forme 

<^^, i[PoA-V?A(«+!^->0 

+ Pl/,v'-?l (x-]-ix-l)~\-...-h P3A-v?x(^ + [J. — >0]CEi-A 
(A r- I, 2, . . ., ;J., V — o, I, 2, 3), 

PoAv) ' ' ", Psv/f étant des fonctions rationnelles en [i., dont le 
dénominateur est d'un degré au moins égal à celui du numé- 
rateur (et dont quelques-unes sont nulles). 

Nous obtiendrons évidemment une limite supérieure du 
module des coefficients cherchés en remplaçant les fonctions 
P, z>i(oL + u. — X), etc., et enfin les coefficients cj^_x par des 
limites supérieures de leurs modules. 

Or les fonctions P tendant pour u = oo vers des limites 
déterminées, leurs modules seront constamment inférieurs 
à une quantité fixe Oj. 

Nous obtiendrons, d'autre part, une limite supérieure du 
module de Texpression 

— ai{oi -^ [x — 1) {oi -^ [x — X — ]) . . . (y. -\- [x — l - n -^- 2) 
-h bi{(x ^ [x — l) {oL -i- IX — l — i) . . . {y. -h IX — l — n -h ^) 



en remplaçant ai, bi, . . . par la limite supérieure de leurs 
modules -r- et les facteurs a -|- u. — a, ... par | a ! + a -f- /i. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



t85 



On trouvera ainsi 



M 

I ox(a + |x - X)|^ -^ [(i a I + (i. 4- /O- 

82 désignant une quantité limitée. 
Le môme procédé donnera 



(ia|4- [X -f /O''""'^ 



1 ?A ( '^ 

et, par suite, 



À)l^ 



M 



M 



pX 

M 

P>> 
M 



,, 'i— 2= n ii«— 1 



p' 



\4\<^ 



l,v [xp 



Xl^(x-).I, 



Q désignant une quantité fixe. 

Cette formule n'est établie que pour les coefficients dont 
l'indice inférieur surpasse i; mais, les précédents étant en 
nombre limité, on pourra toujours prendre assez grand 
pour qu'elle soit encore satisfaite pour ceux-ci. 

Faisons successivement A" =:= o, 1,2, 3, ajoutons et multi- 
plions par pH-; enfin posons, pour abréger, 

p^(k[xl -+- 1 4 1 + ^?- 1 + 1 ^[^ I) = ^^[xî 

il viendra 

[X Jl^i [X ^Mq 

et, en changeant [a en [a + i , 



l86 TROISIÈME PAllTIl-:. — CHAPITRE II. 

et, en continuant ainsi, 



ch. 



En posant m i= oo , la série entre parenthèses est conver- 
gente, pourvu qu'on ait pris [JL ^ 4^) les quantités <^oi <^o •••5 
t/|j., . . . sont donc toutes inférieures à une limite finie N. 
A fortiori, chacune des quantités 

restera << N; donc la série (4) sera convergente dans un cer- 
cle de rayon p. 

loi. Si la valeur de c'I déduite des équations (5) s'annule 
(il faut pour cela qu'un certain déterminant, qu'il serait 
facile d'écrire, soit égal à zéro), tous les coefficients d" ^ qui 
s'expriment linéairement en fonction de celui-là, s'annule- 
ront également, de sorte que tous les termes en log^^ dispa- 
raîtront de l'expression (4). 

Si l'on a en outre c'^. = 0, les termes en log^/ disparaîtront 
aussi; mais, c'^ et c\ étant arbitraires, il restera toujours des 
termes en log^. 

Pour que les logarithmes pussent disparaître entièrement 
de l'intégrale, il serait évidemment nécessaire que la série 
de racines que nous avons considérée ne contînt que des 
racines simples. 

Remarquons enfin qu'il peut se faire que les racines de 
l'équation déterminante soient des entiers positifs et que les 
intégrales ne contiennent pas de logarithmes. Dans ce cas, 
le point ^ =: o ne sera pas un point critique pour les inté- 
grales. 

Ainsi l'équation 

CIJC 

t —. — h ( — m -h «1 ^ -h «2 ^" -+- • • • ) -^ =^ *^> 
où m est supposé entier et positif, a pour équation détermi- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



.87 



nante 



/• — m z=z o 
et son intégrale sera de la forme 

152. Nous venons d'établir que, lorsque l'équation diffé- 
rentielle proposée a toutes ses intégrales régulières, on peut 
les obtenir par la méthode des coeifîcients indéterminés. 
S:îchant d'ailleurs que, lorsque t tourne autour de l'origine, 
r se reproduit multiplié par gs/ui g^ log^ se change en 
]og^ -f- 2 7ri, on voit aisément, par la comparaison des déve- 
loppements obtenus, quelle est la substitution que cette rota- 
tion fait subir aux intégrales. 

153. La question se présente moins simplement dans le cas 
général où l'équation différentielle admet des intégrales ir- 
régulières, car on ne peut les obtenir par la méthode des 
coefficients indéterminés. On peut employer dans ce cas le 
procédé suivant : 

Traçons trois cercles K, R', K" se croisant à l'origine 

{/Ig- i) et d'un rayon assez petit pour ne contenir aucun des 

autres points critiques. Soient a, a', a" les centres de ces 

cercles. 

Fi Cf. I. 




Soit, d'autre part, X|, . . ., X„ un système de /? intégrales 
indépendantes. On peut supposer que chacune d'elles est dé- 
finie par la valeur qu'elle prend, ainsi que ses n — i pre- 



l88 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE H. 

mières dérivées en un point L ^= b pris à volonté dans le 
cercle K. 

Tant que t^ partant de cette valeur initiale, restera com- 
pris dans le cercle K, l'intégrale générale de l'équation 
sera de la forme c, .r, -f- . . . + c,; ^^ ; .r , , . » ,^ Xn étant des 
séries convergentes procédant suivant les puissances de 
t — <2 et c< , . . . , c,i des constantes. On aura donc, tant que t 
restera dans ce cercle, 

En exprimant que le second membre de cette égalité et 
ses n — I premières dérivées prennent au point b les valeurs 
qui définissent X/, on aura un système d'équations linéaires 
qui détermineront les coefficients c. 

Supposons que t sorte de ce cercle pour entrer dans le 
cercle suivant R'. Dans ce second cercle les intégrales sont 
développables suivant les puissances de ^ — a' et auront pour 
forme générale 

y^, ...,y,i étant des séries, qu'il est aisé de calculer parla 
méthode des coefficients indéterminés. On aura donc, en 
particulier, 

( 7 ) Xj = ^i/7i -h . . . + dni y a 

et ce nouveau développement fera connaître la valeur de X; 
dans tout l'intérieur du cercle K', lorsque les coefficients 
d xi, . . . , d„i seront connus. 

Pour les déterminer, il suffît de remarquer que, dans la 
partie commune aux deux cercles, les deux développements 
(6) et (7) étant valables à la fois, on aura 

et par une série de dérivations successives 

Cu^'l 4- . . . -f- C„fX',^ — du/i -f- . . 4- dni/ny 
) 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 189 

En donnant à t une valeur particulière arbitrairement 
choisie dans cette région commune, on obtiendra un système 
d'équations linéaires qui donnera les coefficients d. 

Si t passe du cercle K' dans le troisième cercle K'', 
X,, . . ., X,2 y seront donnés par de nouveaux développe- 
ments 

X-l = ^jj-^i -f- . . . -h 6,iiZ,i 

suivant les puissances de ^ — ct!^ \ z^, . . . , z,i étant des séries 
aisées à établir, et e^^ ..., Cnt des coefficients qu'on dé- 
terminera au moyen de l'équation 

"lij^l 4- • . • -H (^ ni y II =^^1/^1-+-. • . + Grii^n 

et de ses dérivées, en donnant à ^ une valeur comprise dans 
la région commune à K' et à K". 

Enfin, si t^ achevant sa révolution autour de l'origine, sort 
du cercle K" pour rentrer dans le cercle K, on aura dans ce 
nouveau cercle 

les coefficients /se déterminant encore de même. 

En comparant ces valeurs finales de Xi, . . ., X„ à leurs 
valeurs initiales (6), on voit que la substitution produite sur 
les intégrales par une révolution de t autour de l'origine 
sera 

|X,-^l,-Xi-^ ... ^gniy-n\. 

les constantes g étant déterminées par les équations li- 
néaires 

fki^gïiCki-^- . '^ gaiC/ca {iy ^ = 1,2, . . . , fl). 

Cette substitution étant connue, on la ramènera aisément 
à la forme canonique en changeant le système d'intégrales 
distinctes que l'on considère. 

Les nouvelles intégrales ibrmeront une ou plusieurs séries. 
Soit (Yq, . . . , Ya) l'une de ces séries. Ces intégrales auront 



igo 






TROISIÈME 


PARTIE. 


(145) 


la 


forme siiivanle 


: 








( Y^^fu,, 




(8) 






) 




\ i 










1 Y/,=:r(0,. 


"o-+- Q/ 



CHAPITRE IJ, 



Tout est connu dans ces développements, sauf les fonctions 
monodromes Uq^ . . . , Uk- Mais, en chaque point de la région 
occupée par les cercles R, K', K", on connaît par les dévelop- 
pements précédents la valeur numérique des intégrales 
X, , . . . , X„ et par suite celle des intégrales Y, , . . . , Y^. Les 
équations (8) permettent d'en déduire celle de Uq^ . . ., Uk- 
Le théorème de Laurent (t. II, n° 326) fournira dès lors les 
coefficients des séries, procédant suivant les puissances po- 
sitives et négatives de t, qui représentent ces fonctions. 

154. Des considérations analogues à celles qui viennent 
d'être exposées permettront d'intégrer par des séries toute 
équation linéaire qui n'a qu'un nombre limité de points cri- 
tiques. 

Soit, en effet, F = o une semblable équation. Il nous sera 
permis de supposer, pour plus de simplicité, que t = ce est 
un point ordinaire; car, s'il en était autrement, soient ^,, 
1-2, ... les points critiques situés à distance finie; b un autre 
point quelconque ; posons 

u 

L'équation transformée en u admettra évidemment pour 
points critiques le point u = o, correspondant à ^ = co , et 

les points Ui — r» ;^..= , ^ • • • correspondant a /,, 

^2, . • . ; mais « = 00 , correspondant k t =:= b, sera un point 
ordinaire. 

Cette hypothèse admise, traçons un cercle Kenveloppanl 
tous les points critiques ^,, ^2? • • -^ ^z» A l'extérieur de ce 
cercle l'intégrale générale aura la forme 

(9) c,^, 4-...-hc,,^« 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. I9I 

.r<, ,.., Xn él. nt des séries qui procèdent suivant les puis- 
sances de -• 

Il est clair, d'autre part, qu'on pourra toujours recouvrir 
l'intérieur de K et les portions voisines de la région exté- 
rieure au moyen d'un nombre limité de cercles Ki,K2, . . -, 
dont chacun peut passer par un ou plusieurs points critiques, 
mais n'en contient aucun dans son intérieur, tout autre point 
situé sur K ou dans son intérieur étant au contraire inté- 
rieur à l'un au moins de ces cercles K,, Ko, .... 

Soient K„i l'un quelconque de ces cercles, Œm son centre. 
Dans l'intérieur de ce cercle, l'intégrale générale aura la 
forme 



(10) C/,ji .Z",,,} -r- . . . H- C;,{,j JT 



inn 



Xm\^ • • •' Xmn étant des séries procédant suivant les puissances 
de l — a,n. 

Traçons maintenant une série de coupures L,, Lo? ••• 
allant de chacun des points critiques ^,, ^25 • • • jusqu'à l'in- 
fini. Tant que t ne traversera aucune de ces coupures, les 
intégrales de l'équation resteront monodromes. Soit X, , . . ., 
X;i un système quelconque d'intégrales indépendantes, Cha- 
cune d'elles sera définie en un point quelconque par l'un ou 
l'autre des développements (9) ou (10) parmi lesquels il y 
en a au moins un de convergent. Les coefficients c qui figu- 
rent dans ce développement pourront d'ailleurs se déterminer 
comme au n° 153. La valeur de ces intégrales sera donc 
connue en chaque point du plan coupé. 

D'ailleurs, lorsque t tourne autour d'un des points cri- 
tiques, ces intégrales subissent une substitution linéaire que 
nous savons déterminer. Supposons donc que t se rende de 
la valeur initiale ^0 à une valeur finale quelconque T. Pour 
obtenir la valeur finale des intégrales X|, . . ., X,;, il suffira 
de réduire le chemin parcouru par la variable à une série de 
lacets A^, . . . suivis d'un chemin A qui ne traverse plus les 
coupures. Lorsque t reviendra au point de départ ^o après 



192 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

avoir décrit le lacet A, les intégrales auront sr'ji une substi- 
tution linéaire connue S; le lacet A' leur fera subir une se- 
conde substitution S', etc. L'ensemble des lacets A, A', ... 
successivement décrits leur fera donc subir la substitulion 
résultante SS' . . . , de telle sorte que les intégrales auiont 
passé de leurs valeurs initiales X| , . . . , X,^ à des valeurs fi- 
nales X'^ j • • • 5 XJ^ de la forme 

Lorsque t décrira ensuite la ligne A, ces expressions 
varieront et prendront en T les valeurs suivantes 

S,, . . ., S/j étant les valeurs finales de X,, . . ., X^, lesquelles 
sont données sous forme de séries, ainsi que nous l'avons vu. 
On peut donc déterminer a priori la valeur finale d'une 
intégrale quelconque lorsque la variable t décrit une ligne 
donnée, sans être obligé de calculer la série des valeurs suc- 
cessives par lesquelles elle passe, pour les points intermé- 
diaires. 

15o. La méthode précédente est susceptible de nom- 
breuses modifications, si l'on admet, pour représenter les 
fonctions intégrales, d'autres développements que ceux qui 
sont fournis par la série de Tajlor. Supposons, par exemple, 
que, parmi les points critiques, il y en ait aux environs des- 
quels les intégrales soient régulières. On pourra évidem- 
ment substituer à quelques-uns des cercles dont nous nous 
sommes servis des cercles décrits autour de ces points cri- 
tiques (pourvu qu'ils ne contiennent dans leur intérieur 
aucun autre point critique); car on connaît un développe- 
ment des intégrales dans ces cercles, et cela suffit. 

On peut encore, dans beaucoup de cas, transformer l'équa- 
tion difiérentielle par un changement de variable 

t — o{u), d'où U:=^{t). 

Soit a un point ordinaire de l'équation transformée : on 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. IqS 

aura un développement de ses intégrales suivant les puis- 
sances de u — a, lequel sera convergent tant que le module 
de ;/ — a sera moindre qu'une constante donnée r. Les inté- 
grales de l'équation primitive admettront un développement 
correspondant suivant les puissances de '^{t) — ?}>( a), valable 
dans toute la région du plan où 

\^{t)-'^{a)\<r, 

lequel développement pourra être utilisé au besoin. 

156. Nous avons vu que, lorsque la variable t revient à sa 
valeur initiale Iq, après avoir décrit un contour fermé quel- 
conque, les intégrales Xj, ..., X„ subissent une substitu- 
tion linéaire. Considérons l'ensemble de ces substitutions 
S, S', ... correspondant aux divers contours fermés pos- 
sibles K, K', Il est clair que, si S, S', ... sont deux de 

ces substitutions, correspondant respectivement aux con- 
tours R, K', on obtiendra, en décrivant successivement ces 
deux contours, un nouveau contour fermé KK' auquel cor- 
respondra la substitution SS', résultante des deux premières. 
Cette dernière substitution fera donc elle-même partie de la 
suite S, S', 

On dit qu'une suite de substitutions forme un groupe 
lorsqu'elle jouit de cette dernière propriété. 

Nous appellerons groupe de Véquation différentielle 

celui qui est formé par l'ensemble des substitutions S, S', 

Toutes ces substitutions résultent évidemment de la com - 
binaison successive des substitutions correspondantes aux 
lacets relatifs aux divers points critiques. 

157. La notion de ce groupe est d'une grande impor- 
tance dans toutes les questions qui se rattachent à l'étude 
des équations qui nous occupent. Nous allons, par exemple, 
montrer comment on peut reconnaître, à l'inspection du 
groupe de l'équation différentielle 



^ d"- X d''-^ X 

J. — Cours, III. 



dt- +/''1S^ +•■•-*-/'« ^=0. 



194 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

si elle est réductible ou non, c'est-à-dire si elle admet ou 
non des solutions communes avec une autre équation 

^ d"'œ d"'-^x 

à coefficients uniformes, où m^n. 

Formons les dérivées successives de G; il viendra 

dG __d"^-^^x d"'x , d"'-'^œ 

lu ~~ dt"'^^ ~^^^ 'dt^ "^^^ dt"'-^ -^- • -, 



^ri - m Q ^ du j. ci" " ^ X 

\W'-'^ ~~ 'dF '^^^'dîF^ "^•••' 

dm ^ d'^ X 

et, en tirant de ces équations les valeurs de -jjiri^ •'•> ^tt 
pour les substituer dans F, il viendra 

^^■dF^^ -^^^-dF'^^ -h...-hA„G + G,, 
A, , . . . , A,,_^ étant des fonctions uniformes de t, et G< une 

dm — 107 dx 

fonction linéaire de . „ , > • • • 5 -7- > ^, à coefficients uni- 
dt"^-^ dt 

formes en /. 

Les solutions communes à F = o, G ^ o sont évidemment 
les mêmes que les solutions communes à G = o, G< = o. 

Donc, si G, est identiquement nul, l'équation F=o ad- 
mettra toutes les intégrales de G, et son premier membre 
sera une fonction linéaire de G et de ses dérivées. 

Si G, n'est pas identiquement nul, mais ne contient 

aucune des dérivées de x, on n'aura G, = o qu'en posant 

X z=. o. En dehors de cette solution évidente, les équations 

F=: o, G = o n'auront aucune intégrale commune. 

d^ x 
Enfin, si Gi = Bo -7-^ +. . . + By^^, Bq n'étant pas nul, 

on pourra opérer sur les équations 

^ = 0, i-Gi==o, 



B 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. Io5 

comme sur les équations primitives, et en déduire une nou- 
velle équation G2=o, à laquelle les solutions communes 
devront encore satisfaire. 

En poursuivant cette série d'opérations, toutes semblables 
à celles du plus grand commun diviseur, on arrivera évi- 
demment à ce résultat • 

Si deux équations linéaires F = o, G = o, « coefficients 
uniformes, ont des intégrales communes, on pourra dé- 
terminer une équation de même espèce H = o, ayant pour 
intégrales ces solutions communes; et F, G seront des fonc- 
tions linéaires de H et de ses dérivées. 

Donc, si l'équation F=o est réductible, il existera une 
équation d'ordre moindre, H =: o, dont elle admet toutes les 
intégrales. 

158. Gela posé, soient Xi, ..., X„ un système quelconque 
d'intégrales indépendantes de F=o, Y^, ..., Y m un sys- 
tème d'intégrales indépendantes de H rzz: o. Les intégrales de 
cette dernière équation auront pour lorme générale 

Cj I 1 -t- . . . -h C„il „i 

et se permuteront les unes dans les autres lorsque t décrit un 
contour fermé quelconque. D'ailleurs Y|, ..., Y^, étant 
des intégrales de F=o, seront des fonctions linéaires de 
X, , . . . , jL,j. 

Donc, si F=o est réductible, on pourra déterminer des 
fonctions linéaires Yj, . . ., Y m des intégrales X,, . . . , X;^, 
eu nombre «< n et telles que les fonctions du faisceau 

CyYi-h.. .-hc,„Y„, 

soient exclusivement permutées les unes dans les autres par 
toutes les substitutions du groupe de l'équation ¥=: o. 

Nous exprimerons, pour abréger, cette propriété du groupe 
de l'équation en disant qu'il n'est psis primaire. 

Réciproquement, si le groupe de l'équation F =:::= o n'est 



196 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

pas primaire, l'équation sera réductible. En effet, les inté- 
grales Y,, . . . , Yffi satisfont à l'équation d'ordre m 



X 


Yi . 


. Y, 


dx 
dt 


y; ^ 


• • y; 


d"'x 
dt'" 


Y in 
* 1 


.. Y; 



dont les coefficients sont monodromes (après qu'on a divisé 
par le coefficient du premier terme). En effet, faisons dé- 
crire à t un contour fermé quelconque. Les fonctions 
Y,, . . ., Y m étant transformées en des fonctions linéaires de 
Y, , - . . , Y„,, les déterminants qui forment les coefficients de 
l'équation se reproduiront multipliés par le déterminant de 
la transformation. Leurs rapports reprendront donc la même 
valeur. 

Pour reconnaître si l'équation F= o est irréductible, nous 
n'aurons donc qu'à chercher si son groupe F est primaire. 

159. Soient S, S', ... les substitutions relatives aux divers 
points critiques, et dont la combinaison reproduit F. Si 
chacune d'elles multiplie toutes les intégrales par un même 
facteur constant, il est clair que toutes les substitutions de F 
jouiront de cette même propriété et que ce groupe ne sera 
pas primaire. 

Supposons au contraire que, parmi les substitutions S, 
S', ..., il en existe au moins une S qui ne multiplie pas 
toutes les intégrales par un même facteur. Prenons à la place 
de X|, - . . , X/j un autre système d'intégrales indépendantes, 
choisi de manière à ramener S à la forme canonique. Sup- 
posons, pour fixer les idées, que l'équation caractéristique 
pour cette substitution ait deux racines <2, b\ qu'à la racine a 
correspondent quatre séries d'intégrales, dont trois con- 
tiennent k intégrales et la quatrième / intégrales, / étant 
<^A', et qu'à la racine b corresponde une seule série de 





fu 72, ■'•,fk 




/u/s» •••'/a- 


Srz: 


fi^fl^ -"^fk 




^1, -«2) • • ' 1 ^l 




U„ lli, ..., lli 


Soit 


Y, = d 


ijl 4-^2/2 + ...-+ 



73), . 


. , ay-k 


/a), . 


', ay'k 


/;). . 


' , Clfk 


^3), . 


.., azi 


^^3), • 


., bui 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. IQ/ 

intégrales; la forme canonique de S sera la suivante i 

«(7i4-/2), a{y-i 
<^ (7 1-^72)' ^(72 ■ 

«(7"i+7"2)' ^iy\ 



une intégrale quelconque. Effectuons sur cette expression 
les transformations S, S', Nous obtiendrons de nou- 
velles expressions de la forme 

Di ji -h 0,72 M- ... 4- F/ «/, 

oùD<, D2, ..., F/ sont des fonctions linéaires de dt^ d^, •..,//• 
Si parmi ces expressions il en est qui ne soient pas li- 
néairement distinctes de celles qui les précèdent lorsque di, 
0^2, . . .,// restent indéterminés, on pourra les supprimer et 
transformer de nouveau celles qui restent par les substitu- 
tions S, S', .... Parmi ces transformées on supprimera 
celles qui ne sont pas distinctes, et ainsi de suite, jusqu'à ce 
qu'une nouvelle transformation ne donne plus aucune ex- 
pression distincte de celles obtenues précédemment. Cette 
suite d'opérations est nécessairement limitée, car toutes les 
fonctions obtenues sont linéaires par rapport aux produits 
en nombre limité qu'on peut former en multipliant les inté- 
grales jk, ,725 • • • 5 lii par les arbitraires di, do-) . . . , //. 

Soient Y<, Y2, ... les diverses fonctions ainsi obtenues. Il 
est clair que toute substitution de F transforme les unes 
dans les autres les fonctions 

CiYi-hCaYs-i-... 

du faisceau <ï> formé avec ces fonctions. 



160. Cela posé, cherchons à déterminer les arbitraires d^ 



198 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE II. 

dii • • -7 fil de telle sorte que dans chacune des fonctions 
Y,, Y2, ... les coefficients Di, D'^, D', des termes enj/<, 
Ïk") y\ disparaissent. Nous obtiendrons ainsi une série 
d'équations linéaires par rapport aux arbitraires (i, , <fo, -..^fi» 

Supposons d'abord que ces équations soient compatibles. 
Assignons à <f < , d^-^ ,.., fi un système de valeurs qui satis- 
fasse à ces équations. 

Les fonctions Y,, Y^, ... ne dépendant plus que des va- 
riables ^'2, . . . , j'A, y.,, . . , y\., 7';, . . . , y;, ^, , - . . , w/ en 
nombre -< /i, celles de ces fonctions Y, , . . . , Y^ qui restent 
encore linéairement distinctes seront en nombre <^/2. D'ail- 
leurs les fonctions suivantes Y,„_,.,, . . . s'exprimant linéaire- 
ment au moyen de celles-là, toutes les fonctions de O pour- 
ront se mettre sous la forme 

Cj 1 1 H- . . . -h C„i 1 „ii 

et, comme elles sont transformées les unes dans les autres 
par toutes les substitutions de F, ce groupe ne sera pas pri- 
maire. 

161. Supposons, au contraire, que les équations soient 
incompatibles. Quelle que soit l'intégrale Y, qui a servi de 
point de départ, le faisceau <ï>, déduit de ses transformées, 
contiendra une intégrale 

où l'un au moins des trois coefficients D,, D'^, D, n'est pas 
nul. Il contiendra sa transformée par la substitution S; 
cette transformée, que nous désignerons par SY, est de la 
forme 

SY=Diâî(7iH-/2)H-...+ E,^(si + 52)-H-.- + Fi^(^'iH- W2)h-.-- 
Le faisceau <I> contiendra encore la fonction 

Y'z= —l—{SY-bY), 



i 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. I99 

OÙ les coefficients de j>',, y\, y] ont les mêmes valeurs que 
dans Y, mais où le coefficient de m, s'annule. 
11 contiendra de même la fonction 

où D,, D'^, D', ont encore conservé leurs valeurs primitives, 
mais où le terme en Wa disparaîtra. 

Continuant ainsi, on voit que <ï> contiendra une fonction 
de la forme 

z =^ Dj ji 4- d; j'i -h D';y; + o^ y. + . . . 4- s^ ::i + . . . h- c^c,, 

d'où les II ont entièrement disparu. 
Il contiendra encore la fonction 

z'^ - sz-z=:D,/,4- d;j; ^-d;/; -h. . .-f-£,^2-i-- • ., 

d'où y\i y\^ y\-, ^« ont disparu. Il contiendra de même la 
fonction 

z'= ^sz'-z'=D,/3+ D;y3H- D';y; + . . .+ e,.-3+. . .. 

Continuant ainsi, on voit que <I> contient la fonction 

u=:D,j,.-i-d;./,4-d';j1,. 

Donc, quelle que soit l'intégrale initiale ¥< , il existe dans 
le faisceau <E>, dérivé de ses transformées, une intégrale o de 
la forme plus simple 

(11) ^^dyk-\-d'y',^-\- d"y\. 

Prenons pour point de départ celte nouvelle intégrale et 
formons le faisceau <ï>' dérivé de ses transformées, lequel 
fait évidemment partie du faisceau ^. 

Les fonctions qu'il contient seront de la forme 

D,/, + D2/2 4- ... 4- d;/; -h ... -h F,- iii, 



200 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

OÙ les coefficients D^, . . ., F,; sonl linéaires et homogènes 
en df d', d". D'ailleurs, de toute fonction de celte forme 
contenue dans ^' on déduira, comme on vient de le voir, 
une fonction correspondante 

également contenue dans <!>'. 

Formons successivement les diverses fonctions de cette 
dernière sorte qui sont contenues dans $', en supprimant 
à mesure qu'on les obtient toutes celles qui ne sont pas 
linéairement distinctes des précédentes, même lorsque d^ 
d'j d" restent indéterminés. Il restera un nombre limité de 
fonctions 

?o--= dyr, -H d'y), + ^y;=cp, 



(12) 



D[x7/H-D'j,/^-l-D'f,yi., 



dont toutes les autres sont des combinaisons linéaires. 

Soit Oa l'une quelconque de ces fonctions. Les coeffi- 
cients Dec, i^a» E)a seront de la forme 



D„ = 


~ A 


d + V 


d' 


+ )/ 


d", 


Dc-.= 


^l 


d + r 


d' 


+ K 


d", 


Di = 


->i 


d -i- y. 


d' 


+ K 


d', 



de telle sorte qu'on aura 
Ca désignant la substitution 

fk '^"fk-^Ky'k-^K/fc 

Les opérations o- satisfont à l'équation symbolique 

(Ta ^p = Co cTo H- Cl ffi -}- . . . 4- Cjx <y(x,j 

OÙ Co, . . . , Cp, sont des constantes. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 201 

En effet, puisque de l'existence de la fonction cp dans le 
faisceau $ on déduit l'existence dans ce même faisceau des 
transformées (To.'-^ et o-^cp, on déduira de l'existence de cette 
dernière fonction celle de la fonction o-aO-pcp. Cette fonction, 
ne dépendant d'ailleurs que des variables yh-, y'iii y'ki sera de 
la forme 

162. Cela posé, considérons le groupe y dérivé des sub- 
stitutions (Tq^ . . ., (Tu, entre les trois variables jka, y h-, y\' H 
est clair que le faisceau résultant de la combinaison des fonc- 
tions cp, cp,, . . . , cp[j, se confondra avec le faisceau déduit des 
transformées de cp par les diverses substitutions de y. 

Le groupe y contenant moins de variables que le groupe F 
primitivement considéré, nous pouvons évidemment sup- 
poser que nous sachions reconnaître s'il est ou non primaire. 

1° Si y n'est pas primaire, nous pouvons assigner aux 
coefficients d^ d\ d" de la fonction o un système de valeurs 
tel que le nombre des fonctions cp, cp,. . . ., cpjj qui restent 
encore distinctes dans cette hypothèse soit moindre que 
celui des variables j^/t, j-^, y^. Dans ce cas F ne sera pas pri- 
maire. En effet, supposons, par exemple, qu'il reste deux 
fonctions distinctes; soient 

cp — dfk H- df,, 4- d"y\ = ce (//,,//„ y;), 
^i^d.yh + d\y'i^-\- d[y\z=, cp,(jA-,7/c,7^)- 

Considérons le faisceau <!>' dérivé des transformées de cp 
par les diverses substitutions de F. Soit 

Di/i + d; y -h Ty\y\ + D272+ • • • + f.-^^- 

une quelconque des fonctions qu'il contient. Nous avons vu 
que ce faisceau contenait Ja fonction 

laquelle doit être une combinaison linéaire de cp et de o,. On 



202 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

aura donc 

i>i ji -^ d;/; 4- D'; y; = c ^ (ji , y\ , /i ) -+- ^i ?i (/i ' r'i » jI )' 

c, c, étant des constantes. 

Les intégrales jki, y\,y'\ ne figurant dans ^' que par les 
deux combinaisons 'f (j'd J^'pJKi) et '^^{y^^y^,y"^)) le nombre 
des fonctions linéairement distinctes dont <ï>' dépend sera 
moindre que 7î. Donc F n'est pas primaire. 

2° Si le groupe y est primaire, de quelque manière qu'on 
choisisse d, d', d'\ la suite cp, cp,, . .., '^^ contiendra tou- 
jours trois fonctions distinctes, cp, cpi, cpa ; et chacune des 
intégrales jka, JK^^? j'a dont elles dépendent, y^ par exemple, 
pourra s'exprimer linéairement en fonction de cp, cp,, cpo. Elle 
appartiendra donc au faisceau ^'. 

Formons maintenant les transformées successives de r^ 
par les diverses substitutions de F. 

Cette intégrale étant entièrement déterminée, il n'y aura 
aucune difficulté à reconnaître combien le faisceau $'', dé- 
rivé de ses transformées, contient de fonctions distinctes; 
si ce nombre est inférieur à «, F ne sera pas primaire; dans 
le cas contraire il sera primaire. 

Soient, en effet, 

^Fr=C,Y,-4-...-|-6-„,Y,„ 

un faisceau quelconque d'intégrales que les substitutions 
de F transforment les unes dans les autres; Y, Fune de ces 
intégrales. Le faisceau ^F contiendra le faisceau <ï> déduit des 
transformées 'de Y, ; dans celui-ci existe une intégrale cp de 
la forme (ii), dont la combinaison avec ses transformées 
donne l'intégrale jka- Donc W contient cette intégrale et ses 
transformées, parmi lesquelles il y en a n linéairement dis- 
tinctes. 

163. Une seconde application de la notion du groupe 
nous sera fournie par la recherche des intégrales algébriques 
que peut offrir une équation linéaire. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 203 

Soit F = o une équation d'ordre /z, admettant des inté- 
grales algébriques. Il est clair que, si t décrit un contour 
fermé quelconque, ces intégrales, restant toujours algé- 
briques, se transformeront les unes dans les autres. Soient 
donc x^, . . . , x,n celles de ces intégrales qui sont linéaire- 
ment distinctes; les intégrales algébriques cherchées auront 
pour forme générale 

C\Xi-\- . . .-{- C„i X,ji 

et seront les solutions d'une équation linéaire d'ordre m 



Q^-. 



X 

dx 
~dt 

d"^x 

dt'"- 



X, 



X, 



1= G 



à coefficients uniformes, après division par le coefficient du 



terme en — ^ Si donc F est une équation irréductible, 

di^^ 

on aura m = n^ et les équations F = o, G --- o se confon- 
dront. 

164. Étudions les équations, telles que G, à coefficients 
uniformes, et dont toutes les intégrales sont algébriques. 
Leurs coefficients, étant des fonctions algébriques et uni- 
formes, seront des fonctions rationnelles. 

D'ailleurs, aux environs de chaque point critique, les in- 
tégrales seront régulières. Considérons, en effet, un point 

critique quelconque a. Une intégrale quelconque Xq sera 

1^ 
développable suivant les puissances croissantes de (^ — a)^, 
p étant un entier convenable. 
Soit 

« ê 

Xo= Cait — a)P-{- c^{t — a)^>-^ . . 

ce développement. Groupons ensemble tous les termes dont 



204 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

les exposants ne diffèrent que de nombres entiers; on pourra 
écrire 

a^Q= [t — a)P Ua+ (t — a)P 11^-^- . . . , 

Ua, wp, • • • étant des séries qui procèdent suivant les puis- 
sances entières de t — a. 

Si l'on fait décrire à t un lacet autour du point a 
une fois, deux fois, etc., on obtiendra de nouvelles inté- 
grales 

a Ë 

^2 = 02^ ( ^ — a ) P Wa -H e^P ( ^ — a )^ «p -4- . . . , 



en posant, pour abréger, 

2 711 

e~P =6. 
Résolvant ces équations par rapport à 

^ Ë 

on voit que ces quantités s'expriment linéairement en jCq, 
^1, ... : ce sont donc des intégrales; d'ailleurs elles sont 
manifestement régulières. 

On voit de même que les intégrales seront régulières pour 

^= 00 . 

16o. Ce premier résultat nous donne déjà quelque lu- 
mière sur la forme des équations cherchées. En effet, 
d'après le n° 146, chacun des points critiques /<, ..., t^ 
devant être un pôle d'ordre k tout au plus pour le coeffi- 

cient de ^^^_^^. > l'équation aura nécessairement la forme 
d'^'x Ml d"'-'^x _ M2 d'^'-'^x M^„ _ 

T désignant le produit {t — ^, ) . . . (^ — ^p,) et M,, Mo, . .. 
étant des fonctions entières. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



205 



Tl reste encore à exprimer que les intégrales sont régu- 
lières aux environs de ^ = oo. A cet effet, posons 



d'où 



dt 



du 
lu 



on a 



dx 
'di 
d^x 



_ 2Î^ 
du 



dt^ du 

et généralement 



dx 
du 



(Px 
du- 



iw 



dx 
du 



d'^x 



(-OM^^^^^XTT 



dKx 
du'' 



Clk,k-\U 



2/t-l 



^^-' 



dt'^' 



-h a^, k-2 w 



dii'-"' 



ah h-\i a]{^h-2-) ' ' - étant des entiers, dont le j)remier est égal 

à k{k — i); car on voit sans peine que cette formule, étant 

d X 
supposée vraie pour -t-^j sera encore vraie pour la dérivée 

suivante. 

Substituant ces valeurs des dérivées dans l'équation pro- 
posée, et divisant par ( — 1)^11-^"-^ on aura l'équation trans- 
formée 



d"^x 



du' 



T lû 



d"'-^x 
du""-^ 



a, 



— a 



Ml I 

m-l,m-2 ij ^3 



M, I 



<^'«-2 X 

du"'-^ 



4-. . .r=0 



2? 



où il ne restera plus qu'à substituer t=^- dans T, M, , M 
Le point u =: o doit être un pôle d'ordre i , 2, ... au plus 

fjl^m—ij, d'"'~^ X 

pour les coefficients des dérivées j „ , , -, r? Il faut 

et il suffît pour cela que -p,^? —■> ••• soient développables 



206 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

suivant les puissances croissantes de u et commencent res- 
pectivement par des termes de degrés i, 2, .... Mais on a 



1 I 


,.a 1 f/V'+i 1 


^■l;-)-(i- 


-.) 


On devra donc avoir 




d\ d^ 


..— d^t^-' ^d^i^-'' -h..., 


M - ^^ 1 ^^ 1 


.. — e,C'V'-''^e.m-^-\-..., 


^^^- u^V--^ ' iC-^'-^ ' • 



Donc, M,, ..., Myv, ... sont des polynômes entiers en i, de ] 

degrés au plus égaux à [a — i , . . ., A-([i. — i), . . .. j 

166. 11 est aisé d'établir que la somme des racines des 
équations déterminantes relatives aux points critiques ^i , . . . , 

/[x, 00 est égale a ( [a — i ) • ] 

En effet, l'équation déterminante relative au point ti sera 
évidemment 

r(r- i)...(r- m + 1) 4-^,;^ /•(/•- !)...(/•- m + 2) ] 

et la somme de ses racines sera 

D'autre part, l'équation déterminante relative au point \ 
t=z co sera i 

/■{r — I ) . . . ( r — m -h i) | 

+ («,„,,„-i — ^1 )''('■ — 0- . .(a- — m 4-2) 4-. . . = 0, I 

I 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 207 

et la somme de ses racines sera 

m {m — I ) , jn{m — i ) 

^m, m-\ + "1 = h «1 . 

2 2 

La somme totale des racines de ces équations sera donc 

m(m — i) Y^'^^') / .Tn{m — ^) 
(IX- I) ^ +^,_2^___^(^a_0 __; 

car on a, d'après une formule connue de la décomposition 
des fonctions rationnelles, 

Y M^) _^ _ M,(0 
Zt'(/^,) t-tt T(0~' 

d'où, en multipliant par t et posant ^ =; oo, 

167. Nous venons d'obtenir la forme générale des équa- 
tions dont les intégrales sont partout régulières^ mais il s'en 
faut de beaucoup que toutes les équations de ce genre aient 
leurs intégrales algébriques. Pour qu'il en soit ainsi, un 
second caractère est nécessaire : il faut que le groupe de 
l'équation ne contienne qu'un nombre fini de substitutions. 

En effet, chacune des substitutions du groupe est définie 
par le système des fonctions dans lesquelles elle transforme 
les intégrales indépendantes :r,, ..., Xm'i mais chacune de 
ces intégrales, étant algébrique, n'a qu'un nombre fini de 
transformées distinctes; le nombre des substitutions dis- 
tinctes est donc fini. 

Réciproquement, toute équation à intégrales régulières, 
dont le groupe ne contient qu'un nombre fini de substitu- 
tions, a toutes ses intégrales algébriques. 

En effet, soient x^ une quelconque de ces intégrales^ 
^21 • • • ses transformées par les substitutions du groupe. 
Toute fonction symétrique de ces transformées étant évi- 



208 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

déminent uniforme, Xi sera racine de l'équation 

(i3) {x —û^i){x — œ2) .. . ~o, 

dont les coefficients sont uniformes 

Considérons d'ailleurs un point critique quelconque ?,. 
On aura aux environs de ce point un système d'intégrales 
distinctes dont les développements auront la forme 

Uq, . . ., u/( étant monodromes aux environs de ^, . 

Mais, pour qu'une expression de ce genre n'admette qu'un 
nombre limité de transformées distinctes lorsqu'on tourne 
autour de ^i, il faut évidemment : i" que les logarithmes dis-' 
paraissent, 2^ que r soit rationnel. On aura donc un système 
d'intégrales distinctes 

où 7-4, To, . . . sont des fractions rationnelles. 

Soit p le plus petit multiple de leurs dénominateurs. Les 

intégrales ^,, ^27 ••• seront développables suivant les puis- 

1^ 
sances entières et croissantes de {t — fj)^j ^^ ^^ ^^ ^^^^ ^^ 
même de ^i, X2, ... qui s'expriment linéairement en ^,, 
^2, .... Le point ti sera donc un point critique algébrique 
pour chacune des intégrales ^,, Xo, ... et, par suite, pour 
les coefficients de l'équation (i3). Mais ces coefficients sont 
uniformes; donc t^ sera un pôle (ou un point ordinaire) 
pour chacun d'eux. 

On verra de même que co est un pôle ou un point ordi- 
naire pour ces coefficients. 

Les coefficients de l'équation (i3) étant uniformes et 
n'ayant d'autres points critiques que des pôles, même à 
l'infini, seront des fractions rationnelles, et ^4, œ.2, • . . se- 
ront des fonctions algébriques. 

Si donc on savait déterminer tous les groupes formés 
d'un nombre fini de substitutions entre m variables, on con- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 209 

naîtrait par là même les divers tjpes possibles d'équations 
linéaires d'ordre m à intégrales algébriques, et il suffirait, 
pour reconnaître si une équation donnée appartient à cette 
catégorie, de chercher à identifier son groupe avec l'un de 
ceux dont on aurait dressé le tableau. 

Le problème arithmétique de la construction des groupes 
d'un nombre fini de substitutions, auquel la question se 
trouve ainsi ramenée, n'est résolu d'une manière complète 
que pour m = i ou 3. On a toutefois démontré que, pour 
une valeur quelconque de m, le nombre de ces groupes est 
limité, et l'on en a déduit ce théorème : 

Si V équation G = o, d^ ordre m, a toutes ses intégrales 
algébriques, elle admettra un système d'intégrales dis- 
tinctes Xi^ . . .^ Xmde la forme 

; p étant un entier et Ui, Uo, . . • étant des fonctions ra- 
l tionnelles de t et d'une irrationnelle u définie par une 

équation 

f{t,u)=o, 

dont le degré est limité en fonction de m. 

Nous nous bornerons à énoncer ce résultat, dont la dé- 
monstration exigerait une exposition détaillée des principes 
de la théorie des substitutions. 

168. Le cas où l'intégrale générale de l'équation G = o 
est non seulement algébrique, mais rationnelle, mérite une 
attention particulière. Il est aisé de le reconnaître. 

En effet, les intégrales devant n'avoir d'autres points cri- 
tiques que des pôles, l'équation déterminante relative à l'un 
quelconque des points critiques de G n'aura que des racines 
entières, et les développements des intégrales régulières ne 
contiendront point de logarithmes. 

Pour que cette dernière condition soit remplie, il faudra 
I. — Cours, m. i& 



i 



2 10 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II, 

tout d'abord qu'aucune des équations déterminantes n'ait de 
racines multiples (loi). 

Supposons qu'il en soit ainsi; soit F(7') = o l'équation 
déterminante relative au point ^,, et soient a, a', a", . . . ses 
racines, rangées par ordre de grandeur croissante. L'inté- 
grale générale aux environs du point t^ sera de la forme 



il"---: 






et, en substituant cette valeur dans l'équation différentielle, 
comme au n'' 1 i9, on obtiendra une série d'équations li- 
néaires et homogènes qui détermineront par voie récurrente 
tous les coefficients c, c', c" , ... en fonction des m coeffi- 
cients Ca, Ca', Ca.li, . . . qui restent arbitraires. On voit d'ail- 
leurs sans difficulté que tous les coefficients c' , d\ . . . qui 
multiplient des termes logarithmiques s'expriment en fonc- 
tion des m — I coefficients c'a'? c'y_/i, . . . , et que ceux-ci ont 
des expressions de la forme 

câ' = ACa, c'x'—^CoL-^B'c^', Ca' = GCa+G'Ca4-G"Ca', 

Donc, pour que les logarithmes disparaissent, il faut et il 

p,. , . , m (m — i) , . . ,. . 

suilit qu on ait les — ^ équations de condition 

169. Réciproquement, si l'ensemble des conditions qui 
précèdent est rempli, l'intégrale générale sera rntionnelle. 
En effet, elle n'a pour points singuliers à distance finie que 
des pôles. Elle est donc uniforme. 

Formons d'ailleurs l'équation déterminante pour ^ = oo 
et groupons ses racines en classes en réunissant celles dont 
les différences mutuelles sont entières. Soient p, p', ... les 
plus petites racines de chaque classe; ;jl, [jl', ... le nombre 
des racines contenues dans leurs classes respectives. Pour 
des valeurs suffisamment grandes de tj on aura, pour Tinté- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 211 

grale générale, un développement de la l'orme 

les expressions cp, cp<, . . . , cp', ... étant des séries procé- 
dant suivant les puissances entières et croissantes de -• 

Mais, puisque cette expression est uniforme, les logarithmes 
disparaîtront nécessairement et les exposants p, p', ... seront 
entiers. L'*ntégrale générale aura donc un simple pôle à Fin- 

. . . P 

fini; ce sera donc une fonction rationnelle^» 

On pourra d'ailleurs la déterminer par des opérations 
purement algébriques. En effet, on connaît, par ce qui pré- 
cède, la situation des pôles à distance finie et l'ordre de 
multiplicité de chacun d'eux. On pourra donc former le dé- 
nominateur Q. L'ordre de multiplicité du pôle t = œ étant 
également connu par le développement obtenu suivant les 

puissances de -? le degré du numérateur P sera déterminé. 

Pour déterminer ses coefficients, il suffira d'identifier le dé- 

P . . I . 

veloppement de -^r suivant les puissances de - à celui qu'a 

fourni l'équation différentielle. 

170. Considérons plus généralement, avec M. Halphen, 
les équations dont les intégrales sont partout régulières et 
sont monodromes dans toute région du plan qui ne contient 
pas le point ^< . Les autres points critiques ^o? - • - •> ^[x des 
coefficients de l'équation ne pouvant être que des pôles pour 
l'intégrale, les équations déterminantes qui leur corres- 
pondent n'auront que des racines entières, et les logarithmes 
disparaîtront des développements correspondants, ce qui 

donnera ([i. — i) équations de condition, dont 

l'existence sera à vérifier. 



2Î2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Lorsque l'ensemble des conditions précédentes est rempli, 
on peut trouver TintégraJe générale. En effet, d'après l'ana- 
Ivse du n*^ 145, on peut déterminer un système d'intégrales 
particulières formant une ou plusieurs séries, et telles qu'aux 
environs du point tt les intégrales j^o 7 • • • ? JK/f d'une même 
série soient de la forme 

/o" (^ — ^i)'""o, 



;/o^ • • -7 if/i étant des fonctions monodromes aux environs du 
point ^1 , r désignant une racine de l'équation caractéris- 
tique qui correspond à ce point et les Q étant définis par les 
relations 

I , . ^ r. 6,(0,— l)(e,— A--I-I) 

2. 1^ L 1 . ^ . . . /i 

Les fonctions Uo, . . ., Uk, définies par les équations pré- 
cédentes , seront des fractions rationnelles. En effet, les 
points 1-2^ • • -, ^a étant des points ordinaires pour les fonc- 
tions [t — ^1)"'' et log(^ — ^1 ), et de simples pôles pour 
)'o, • • • 5 J'Aî seront de simples pôles pour Uq^ ..., u^. Donc 
ces fonctions sont monodromes non seulement aux environs 
de ^1, mais dans tout le plan. D'autre part, 

t, 



('-'■)- '-=.^('-7 



et 

log(^-^,)=^-log^-l-lo5 



so 
meu] 



nt des expressions régulières pour t=^co\ il en est de 
e pour jKo, •••, Tk et, par suite, pour «/«» •••7 '^a- De 
ces deux propriétés réunies on déduit que Uq^ ..., u^ sont 

P P/. 

dos fractions rationnelles de la forme -y? - - -, —• 

On pourra d'ailleurs les déterminer par des opérations al- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2î3 

gébriqiies. En efifet,, connaissant les pôles 1-2, .. ., t^ des in- 
tégrales et leur ordre de multiplicité, on pourra former le 
dénominateur Q. Le développement de l'intégrale générale 
pour t ^^ 00 fera connaître Je degré des numérateurs Po, . . ., 
l\. Pour obtenir leurs coefficients, il ne restera plus qu'à 
substituer les expressions précédentes dans l'équation diile- 
rentielle et à identifier le résultat à zéro. 

171. Considérons encore les équations de la forme 

OÙ Po, . . -, P/7^ sont des polynômes dont le degré soit au plus 
égal à celui du premier d'entre eux, Pq. 

Lorsque l'intégrale d'une équation de cette forme n'a 
pour points critiques à distance finie que des pôles, ce qu'on 
reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes, on 
pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations 
suivantes, également dues à M. Halphen. 

Remarquons tout d'abord que la condition imposée aux 
degrés des polynômes P équivaut à dire que les développe- 
ments de p^5 •••? -p^ suivant les puissances décroissantes 

de t ne contiennent pas de puissances positives. 
Posons maintenant 



R désignant une fraction rationnelle en t. La transformée 



en y 



cU'"-^ 



^'^^ du- ^ "^^'^^ ! dt'-^ ^ 2 ^'^ 

-\- PiR i -\- (m-i)PiR' 

-H P2R 

sera de la même forme que la primitive en x\ car son inté- 
grale n'a que des singularités polaires, et ses coefficients 
sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant 



2l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R, 
développé suivant les puissances décroissantes de t^ com- 
mence par un terme en tP^ ses dérivées R', R", . . . commen- 
ceront par des termes d'ordre moindre, en tP~^^ tP~'-^ 

On en déduit sans peine que les développements des coefli- 
cients de l'équation (après division par PqR) ne contien- 
dront pas de puissances positives de t. 

172. Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles 
/,, ^2, • • • de l'intégrale de l'équation (i4) et leurs ordres de 
multiplicité [JL(, [jlo, •• •• 

Posons 

7 

La transformée enjK 

~dP- "^ ^' dt"'-' 

appartiendra au même type que la primitive; mais ses inté- 
grales n'auront plus de pôles. 
Posons 

y = e^^^z. 



,Xt 



La transformée en z (après suppression du facteur commun 
) sera 









dt 



i-X'«-»Q, 



^- 



'^«l?ri+^' 



dt'"- 



Rm-> 



et appartiendra évidemment encore au même type. Mais on 
pourra disposer de l'indéterminée \^ de manière à annuler le 
coefficient du terme de degré le plus élevé dans R^, qui 
sera dès lors un polynôme de degré moindre que Rq. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 21 5 

173. Supposons ce résultat atteint, et cherchons à nous 
rendre compte de la forme des coefficients de l'équation en z. 

Soient 9) , Oo) • • • les racines de l'équation Ro = o ; on aura 
par la décomposition en fractions simples , en remarquant 
que R/f est au plus du même degré que Ro, 



Ro "^ ' Akiii-e^y- 



les A, B étant des constantes. (En particulier Ajn sera nul.) 
D'ailleurs chacun des points 8/ étant un point ordinaire, aux 
environs duquel les intégrales sont régulières, l'indice / ne 
pourra prendre dans la sommation que les valeurs i, 2,..., /\. 
L'équation déterminante relative au point 9/ sera 

r(/- — i). . .(r — m -Hi) 4- B/iir(/- — I). . .(r — m4- 2) 

-h Bj22 /■(/■ — i). . .(r— /n 4- 3)H-. . , =r o. 

La somme de ses racines est 

m( m — I ) 

D'ailleurs 8/ étant un point ordinaire pour les intégrales, 
ces racines seront nécessairement entières, non négatives et 
inégales. Leur somme est donc au moins égale à 

m ( 771 — 1 ) 

G -h I -h ... 4- m — I " — ^ ' ; 

2 

donc B/H est un entier non positif. A fortiori la somme 

S=^B,„, 

étendue à tous les points critiques apparents, sera entière et 
pon positive. 

174. Gela posé, admettons d'abord que R^^ ne soit pas nul 
et prenons pour variable auxiliaire la quantité z'= — * 



2l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lî 

L'équation en z pourra s'écrire 



DilTérentianî, il viendra 

Éliminant z entre ces deux équations, on aura la trans- 
formée en z' 



^'"-' r/T./ ^ xT. T. r./ .^^' 



m-l ~f 



^o%n ~j^ 4- [(R'o + Ri)R.. - RoR 



^h. . . 



-i- [(r:.-i + R^) R.. - r..-ir;j ^'= o. 

Cette équation est évidemment du même type cjue l'équa- 
rion en z ; et le rapport des deux premiers coefficients, qui 

dans l'équation primitive était j-^ , sera devenu 

Ro 

(r; + Ri)r.„-RoR:. _^ Rt , Ro _ r;, 

RoR.. Ro Ro R./ 

Or soient 

Ro =Co {t-0^)^^{t~9,)^^..., 



on 


aura 










R'o 


«1 






Ro 


-t-e. 


et 


de même 










R'.? 


_ (3. 






K„, 


<--, 



a 



t — 0. 



t — Ti 



La somme S', analogue à S, formée pour l'équation en z\ 
sera donc 



■s«-i^ 



et sera > S, car Sa, degré de Ro, est supérieur à 2|3, degré 
de Rm. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 217 

La dérivée seconde z" satisfera de même à une équation du 
même type, mais où la somme S", analogue à S, sera > S'. 

Si l'on pouvait poursuivre ainsi indéfiniment, on obtien- 
drait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S'', ... 
non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut 
se trouver arrêté qu'en arrivant à une équation où le coeffi- 
cient du dernier terme soit nul. Supposons que cette circon- 
stance se présente pour l'équation en z^. Cette équation 
admettra comme intégrale particulière une constante ; et 
l'équation en z aura pour intégrale correspondante un poly- 
nôme n de degré n ; enfin l'équation en j^ admettra l'intégrale 
particulière e'^II. 

Posons maintenant 

La nouvelle variable y^ satisfait à une équation d'ordre 
m — 1 , et qui, d'après ce qui précède, appartiendra au même 
type que l'équation en jk. On pourra donc en déterminer une 
solution, de la forme e^i^Iîi, W^ désignant un polynôme. 

Posant 



7i 



=:e^i^n, j y^dt, 



on continuera de même, jusqu'à ce que l'on arrive à une 
équation du premier ordre, dont l'intégrale sera 

Cm désignant une constante arbitraire. 

Les intégrations indiquées sont d'ailleurs de celles qu'on 
sait effectuer et fourniront un résultat de la forme 



y=^c,e^>^^W,, 



les W^ désignant des polynômes et les c^ des constantes arbi- 
traires. 

Divisant cette expression par le produit {t—t^yi (/ — t^y*. . . , 



OF THH 

tTNIVERSI 



ty) 



2l8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

on aura l'intégrale générale de l'équation en ^, sous la 
forme 

(i5) ^=^c,,.e^k'Mt), 

\es //( étant des fonctions rationnelles. 

175. Réciproquement, toute équation dififérentielle dont 
l'intégrale générale est de cette forme appartient au type que 
nous avons considéré. 

En effet, éliminant les constantes C/f entre l'équation (i5) 
et ses dérivées et supprimant les facteurs communs expo- 
nentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels, 
qu'on pourra rendre entiers en chassant les dénominateurs. 
Soit 

cette équation. Son intégrale n'a, à distance finie, que des 
singularités polaires. Reste à prouver que les degrés de 
P,, . . ., Vjfi ne surpassent pas celui de Pq. 

La chose est manifeste pour les équations du premier ordre; 
car de l'équation 

on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l'équation 
dx 

fit) 

où le coefficient X H- ? développé suivant les puissances 

décroissantes de t^ ne contient pas de puissances positives. 
Supposons d'ailleurs le théorème établi pour les équations 
d'ordre m — i . Il sera vrai pour l'équation 

,-^ d"'-Ut ^ 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. SIQ 

cui admet pour intégrale générale 

dt J^^t) dt J^{t) 

car chaque terme de cette expression est le produit d'une ex- 
ponentielle par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai 
pour l'équation de degré m 

^ d'^-u ^ du 

dont l'intégrale générale est 

et si nous posons 

M— ———.37, 

il sera encore vrai (171 et 172) pour la transformée en x. Or 
celle-ci a précisément pour intégrale générale 'Sc^e^/<^f/({t). 

176. La méthode que nous avons indiquée plus haut pour 
intégrer par des séries les équations qui n'ont qu'un nombre 
fini de points critiques peut aisément s'étendre au cas où les 
coefhclents de l'équation, au lieu d'être uniformes en t, sont 
des (onctions uniformes de t et d'une irrationnelle u, racine 
d'une équation algébrique /(^, /^)=^o. 

En effet, les points critiques de l'équation considérée sont 
de deux sortes : i" ceux aux environs desquels u reste mo- 
nodrome; i"^ ceux autour desquels les diverses détermina- 
tions w,, ^2, ... de cette irrationnelle s'échangent les unes 
dans les autres. 

A partir de chaque point critique de cette seconde sorte, 
traçons une coupure allant jusqu'à l'infini. Tant que t ne 
traversera pas ces coupures, u^, 112, •-. resteront mono- 
dromes. Substituant successivement ces diverses fonctions 
dans l'équation différentielle à la place de u, on obtiendra 



220 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE II, 

une suite d'équations difFérentielles 

Chacune d'elles admettra un système de n intégrales dis- 
tinctes x^i^ ..., x,ii^ qu'on pourra exprimer par des séries 
dans la région considérée. 

11 reste à voir quel changement subissent les intégrales 
lorsqu'on traverse les coupures. Or, si nous supposons 
qu'en traversant une d'elles ut se change en u^^ l'équa- 
tion ¥i se changera en F/,. IjCS intégrales ^,/, ..., Xni se chan- 
geront donc en intégrales de cette dernière équation, soit en 
expressions de la forme 

Pour déterminer les coefficients c, on n'aura qu'à égaler 
les valeurs numériques que prennent les intégrales ^,/? •••, 
Xni et leurs n — i premières dérivées en arrivant à la cou- 
pure aux valeurs que prennent c^^x^k-\- ■ - • -V- c^aXak^ ••• 
et leurs n — i premières dérivées de l'autre côté de la cou- 
pure. 

177. Nous terminerons cette section en effectuant quel- 
ques applications particulières des principes généraux que 
nous avons exposés. 

Proposons-nous d'étudier les équations linéaires du second 
ordre à trois points critiques t^^ t^, t^ et à intégrales régu- 
lières. 

Soit F= o l'équation proposée. Changeons de variable 
indépendante en posant 

mu -4- n 



Soient 0, u deux valeurs correspondantes de t^ u. On voit 
sans peine qu'on aura, aux environs de ces valeurs, une re- 
lation de la forme 

t — 6=:a, (w — o) + (22 (m — u )--+-... 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2'2I 



(formule où l'on devra remplacer t — 9 ou ;; — u par - ou - 
si 8 ou u deviennent infinis). 

Cette valeur de t — 9, étant substituée dans une fonction 
entière de t — 9, donnera une fonction entière de u — u. 
D'autre part, en la substituant dans une fonction régulière 
de ^ — 9, telle que 

(^-6)'-[To-+-T.log(^-0)-}-... + TxlogM^-0)]. 

où To, T4, ..., Tx sont des fonctions entières de t — 0, on 
obtiendra évidemment un résultat de la forme 

(«-u)'-[Uo-hU, log(^.-u)+...H-UxlogH«-u)], 

Uo, .••, Ux étant des fonctions entières de u — 'J. 

Donc l'équation transformée entre x et u admettra comme 
points critiques les trois points Wq? if^\i '^2 correspondant à 
^0, t^, /^o î ses intégrales seront régulières aux environs de ces 
points, et les équations déterminantes relatives à ces points 
seront les mêmes qu'aux points correspondants de l'équation 
primitive. 

Nous pouvons d'ailleurs disposer des rapports des coeffi- 
cients 772, 11, ni! ^ n! de manière à donner à Uq, u^^ «o des va- 
leurs arbitrairement choisies. Nous ferons en sorte que ces 
valeurs soient o, i, oc. Ce résultat pourra évidemment être 
obtenu de six manières distinctes, suivant qu'on posera 
«0= o, «, = I , «2= ^> oi-i ?'o= 1 1 '^1 = o? if-i = <^5 etc. 

178. Soient respectivement )., X'; jjl, [jl' et v, v' les racines 
des équations déterminantes relatives aux points critiques o, 
I , GO. Si X — V, [Ji — |Ji', V — v' ne sont pas entiers, on aura 
pour les intégrales aux environs de chacun de ces trois points 
des développements de la forme 

u' u' 



222 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

U, U' étant des fonctions entières de u] V, V des fonctions 
entières de u — i; W, W des fonctions entières de -• 
Posons maintenant 

y étant une nouvelle variable. Nous aurons entre u et k une 
équation transformée H =: o, dont les intégrales seront 
données aux environs des points o, i, oo par les développe- 
ments 



Wi H- c' - — , w; 



les quantités 



Ui =:(l-«)-[^U, u; z=. {l — U)-V\]' , 



u ' \ u 



étant respectivement développables suivant les puissances 

entières et positives de w, àe a — i et de - • 
^ a 

L'équation H = o a donc ses intégrales régulières, et ses 
équations déterminantes par rapport aux points o et i ad- 
mettent une racine nulle, la seconde racine étant respective- 
ment )/ — \ei Y-' — l^* 

Il existe évidemment quatre manières d'arriver à ce ré- 
sultat; car on peut prendre pour À une quelconque des deux 
racines de l'équation déterminante du point o, pour tji une 
quelconque des deux racines de l'équation déterminante du 
point I. Sur ces quatre manières, il y en aura une telle que 
les racines V — A et uJ — tji aient leur partie réelle positive 
(à moins que ces dilTérences ne soient purement imaginaires). 

L'équation H z=z o doit être de la forme 

cr-y M,(//) dy ^U{u) 

du' ' u{u — I ) du a^ {u — i )'- '^ ' 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 223 

Ml, M2 étant des polynômes de degrés i et 2, et ses équa- 
tions déterminantes par rapport aux points o et i seront 

/•(/■ — i) — Mi(o)/- 4-M2(o)=:o, 
r{r-i) 4-Mi(i)/--hM2(i)=^o. 

Comme elles ont une racine nulle, M2 devra admettre les 
racines o et i et sera divisible par ii(u — i). En effectuant la 
division et chassant les dénominateurs, l'équation prendra la 
forme 

ou, en remplaçant A, B, C par trois nouvelles constantes a, 
|3, Y définies par les relations 

"(ï - ") ^ + [y - (^ + ? + "] ^ - «?7 = o. 

179. Les équations déterminantes relatives aux trois 
points critiques o, i, go sont respectivement 

,-(r — i) — (y — a — ,3 — i)r=zo, 
— r(/'-f-i) + (a + [3 +i)/- — ap — o, 

et ont pour racines 

o et 1 — Y? o et Y — ^ — P? a et p. 

L'équation admet donc une intégrale développable aux 
environs du point o suivant les puissances entières et posi- 
tives de u. 

Soit 

/i = Co 4- Cl « + . . . + Cjx f^!^ 4- . . . 

cette intégrale. En la substituant dans l'équation et égalant 
à zéro les termes en u^-, il viendra 

[_ j^(;j. _ 1) _ (a + [3 -h i) [x - a3] Cf, 

4- [((J. -4- l) JJ. + Y(!J. -+- l)]Cj,+irrz o ; 



I 



224 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

d'où 

_ (a + |i.)(p+|x) 
et, par suite, en donnant à Co, qui reste arbitraire, la valeur i , 



Vi — I + — W ^ - 

Y i.2.y(y4-i) 



F(a> ^T)«)> 



F désignant la série hypergéomé trique (t. I, n*^ 170). 

180. Cela posé, il existe, comme on l'a vu plus haut, vingt- 
quatre substitutions de la forme 



qui transforment l'équation proposée en une équation ana- 
logue. L'équation transformée admettra comme solution une 
série hypergéométrique, et l'on en déduira aisément une in- 
tégrale correspondante de l'équation primitive. 

A.U système de valeurs o, i, co données à u doivent cor- 
respondre pour u les mêmes valeurs, mais dans un ordre ar- 
bitraire, ce qui donnera, pour la fraction — -, -, > les six 

^ ^ m' u -h /^ 

formes suivantes : 



A chacune d'elles correspondent quatre équations trans- 
formées, qu'on obtiendra en prenant successivement pour X 
chacune des deux racines de l'équation déterminante du 
point o, pour |ji chacune des racines de l'équation détermi- 
nante du point I. 

Nous allons donner un exemple du calcul de l'une de ces 
intégrales. 

181. Soit par exemple u = • Pour w = o, i, oo, on 

aura u ::= o, oo, i ^ l'équation entremet a aura donc ces trois 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 225 

points critiques, et les racines des équations déterminantes 
correspondant à ces trois points seront comme précédem- 
ment 

o et I — Y, o et Y — a — p, a et p. 

On pourra donc prendre 

X = o ou I — Y> (JL =: a ou p. 

Prenons, par exemple, 

X =3 I — Y) [JL =r a. 

Les racines des équations déterminantes pour l'équation 
entre ^ et u seront 

Pour o. . . — X irz: Y — I, I — y — X =i o, 

Pour 00.. X-f-ji. — a-hi — Y> y — ^~? + ^ + ;^"-i— ?, 

Pour I... a — [J-^o, p — ix. = '^ — oL. 

Si nous posons 

Y-i--=i —y'. P — a=rY'— a'- P', 

a-+-i — Y = a', 1— p=i^P', 

d'où 

a'=ra + i-Y. ?'=^^-?, y'=2-y, 

cette équation admettra la solution 

L'équation primitive admettra donc la solution 

^•:^u^-T(I-u)='F(a^^^Y^u) 

ou, en remplaçant u par sa valeur — — et a', p\ y' par leurs 
valeurs et supprimant le facteur constant ( — i)Y""'^~', 

j — wi-ï(i~i^)Y-a-iF(aH-i — Y, I — p, 2 — Y 



u 
J. — Cours, III. 



220 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

182. On obtient par un procédé tout semblable les vingt- 
quatre intégrales suivantes : 

(i6) F(a, p,Y,«), 

(17) (i_,,)T-a-PF(Y_a, Y-p, Y, «), 

(18) (i-.O-^'Ffa, Y_(3, Y,;^J, 

(,9) (i_-,,)-PF(p,y-a, y, _ii-), 

(20) «i-ïF(a — Y-hi, ? — T-hi, 2 — Y, m), 

(21) ^^^-ï(i-«)T-^-PF(i-a, i-^, 2-Y, w), 

(22) a''-r{i — u)y-''-^ PU — Y-f-i, I — p, 2 — Y, ^7^)' 

(23) «i-T(i-«)ï-P-^f( p — Y-i-i, I — a, 2 — Y, 



f/ — i 

(24) F(a, p, a-f-p-Y + i, i-«), 

(25) «'-TF(a — Y + i, ? — Y + i, a+p — Y4-F, I — «), 

fi — 1 



(26) /f-<^ F/a, a — Y 4-1, a4- P — Y-+-I, — ^ 

(27) a-^ F(^P, p-Y + i,a + ?-Y-f-i, -^)' 

(28) (F-«)ï-«--PF(Y-a, Y-?, Y -«-? + !' i-«), 

(29) (i— «)T-^-P;<'-TF(i — a, I— p, .^_a— p-hT, i — m) 

(30) (i-«)ï-«-P^^^-TF(^i^-a, Y-oc, Y-a-p+i, ^ 



M — I 



(3i) (i-«)T-«-P?/i^-ïF(^[-p, Y-P, Y-«-?+i' '-^ ^ ' ' 

(32) «-^'FK a — Y + ^'^ — P + '' l;" 

/ I \y-a-,3 / I 

(33) »-=•(.--) f(i-P,ï-P,«<-P + >,- 

I 



(34) ^/-^'(^i-^^j F(^a, Y--P, «-? + ! 



r-a-1 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 227 

(35) «"''(1-^7)' ^ FU-Y-i-i, I-?, 

(36) ^^-PFj'p, I3-T4-I, ?-a + i 

(37) «-p(i-|-y""''F(i-a,y-a, ^-a4-I,- 



(38) Ll-^ 
(89) f^-P 



I 


)--^ 


(■ 


— a, Y - 


--, ? 






ï- 


-a, p- 


-a + i 


I^ 


r-'Fi 




-T-+-I, 


I — a 



I 

r — a 



a + 1 , 



183. Coupons le plan suivant la portion de l'axe des x 
qui s'étend de o à + oc. Dans le plan ainsi coupé^ chacun 
des développements précédents restera monodromc. Pour 
achever de les préciser, nous pouvons adopter pour arguments 

de «, I ceux qui sont compris entre o et 27:, pour argu- 
ment de I — a celui qui est compris entre — t: et +71. Les 
puissances de «, i 1 1 — u qui figurent dans les expres- 
sions (16) à (89) auront des valeurs entièrement déterminées. 
La région de convergence des développements ci-dessus 
sera : 1° pour ceux où la série hjpergéométrique a l'argu- 
ment u ou. I — ^^, l'intérieur des cercles Gq, G< de rayon i 
décrits autour du point o ou du point i respectivement; 

2° pour ceux d'arerument -5 5 l'extérieur de ces mêmes 

^ ^ u i — u 

cercles; 3" pour ceux d'argument '- — > la moitié du plan 



située à gauche de la droite ^ =: - ; 4" pour ceux d'argument 

, la moitié du plan à droite de cette lisrne. 

u ^ 

Il restera à déterminer les relations linéaires qui lient entre 
eux ces divers développements dans leurs réglons de conver- 
gence commune. 

Les différences des racines des équations déterminantes 



228 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

relatives aux points o, i, co sont respectivement i — y, 
Y — a — p, j3 — a. Nous supposerons que parmi ces quanti- 
tés, il en existe au moins une dont la partie réelle ne soit pas 
nulle. Les 24 transformations de l'équation de Gauss per- 
mettant : 1° de permuter entre eux d'une manière quelconque 
les points o, i, 00 sans changer les équations déterminantes ; 
2° de changer à volonté les signes des différences des racines 
des équations déterminantes relatives aux points o et i , il 
nous sera permis d'admettre que y — a — ^ ait sa partie 
réelle positive. Dans ce cas les séries hjpergéométriques 

F(a, p, Y, u), F(a — Y + i, P — Y-l-i,2 — Y, w), 

Y-M,a-p-fi,^), F(^p,p-Y + .,p-a + i,l 

seront encore convergentes sur la circonférence du cercle Cq 
et, en particulier, pour u = i elles prendront les valeurs 
suivantes (t. I, n"^ 379 et 382), 

r( 2-Y)r(Y-a-P) 

r(i_a)r(i-p) ' 

r(i_p)r(Y-p) ' ' r(i-a)r(Y-a) 

Celaposé, désignons par a^y^ , «< Jo les développements (16) 

et (20), par b^z^^ b^z^ les développements (32) et (36); et 

soit^uneintégralequelconque de l'équation de Gauss. On aura 

dans l'intérieur de Cq 

•^ = ^17,-1-02/2 
et à l'extérieur de Cq 

œ zzz di Zi -+- d-yZ-i. 

Pour trouver la liaison entre les constantes c< , Co, <^,, c/2, 
nous remarquerons que sur la circonférence elle-même, où 
les développements restent tous deux convergents, on aura 

Cl y 1 + ^2 72 = ^1 -1 + ^2 -2. 

En particulier^, au point m = i, on aura sur le bord supérieur l 
de la coupure 



r(ï)r(T-o<-?) 




r(-f-a)r(-r-?)' 
r(a-|3 + i)r(f-a- 


-P) 



^2 — ^ 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 22C) 

et, sur le bord inférieur, 

d'où les deux relations cherchées 

Tirant de ces équations les valeurs de d^^ d2 pour les sub- 
stituer dans l'expression x ^=^ d^ z^ -\- (^2^2? 
il viendra 

j^ ^^^ Q 1 ^ 1 

^-21X2,3 g-27l/a 

(g-2TC/.3_ g-27rzY>)^^_(^g-27lfa_ g-27r/Y>)-^ 



Cette expression, convergente en dehors du cercle Cq, re- 
présentera dans cette région la même intégrale qui, dans 
l'intérieur de Co, était égale à c< jr< 4- C2j^2- 

184. Il ne reste plus qu'à voir comment les constantes c,, 
C2 se modifient à la traversée des coupures qui joignent les 
points critiques o et [ , i et 00. 

Si l'on traverse la droite 01 (en montant), j^< ne change 
pas, JK2 est multiplié par e^^u/y • g^ ^ __ ^^y^ _|_ ^^y^ g^j. changé 
en c^y^ -+- C2e~2^'ïjK2- Ainsi Ci ne change pas, et C2 est mul- 
tiplié par e~-^'ï. 

Si l'on traverse la coupure loc (en montant), d^^ d2 seront 
changés en 

(40 d^^e-^'^'^d,, r7; = e-2^'P4 

etc<, Cocn deux nouvelles constantes c\^ c'o liées kd\ ,<i'„ parles 
relations 

c'j 4- C2 = <i; -h r/'g, 

C'i + e 27r/Yç.^ _ g- 27i/a ^'^ _^ ^-27r/p ^/'^^ 

En résolvant les équations linéaires (4o), (4i), (42), on 
éliminera les auxiliaires d^, d^^ d\, d\ et l'on obtiendra l'ex- 
pression de c'^, c.^ en fonction linéaire de c< , Co. 

Si l'on traversait les coupures en descendant, les coeffi- 



(42) 



23o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

cients c<, C2 subiraient évidemment la transformation inverse 
de celle qui vient d'être déterminée. 

Les coefficients des formules de transformation ne ren- 
ferment, comme on le voit, que des exponentielles. 

185. L'équation 
(43) „(,.__ „)g+[.,_(^+p^.,)„]f|_,p^^o, 

étant dlfierentiée, donnera 

"(■-«)^,. 

+ [.^+,_(cc+p+3)«]g-(a + ,)(?+.)^=0 

dy , 

ou, en posant -.— ^^ y , 

+ Lt + I - (^ + P + 3)«] ^ - (a -f- I) (P H- i)7' = o. 

Cette équation ne diffère de la précédente que par le rem- 
placement de a, j3, Y par a + i, p + i,y + i. 

La dérivée —, — -. = >""' satisfera donc à l'équation 

'' ^ ' ~ " ^ ^^17^ 4- [ Y + /i - I - ( a 4- ? + 2 Al - 1 ) « ] i^-^ 

— (a4-/i — i)0+/i — I )7'»-^ = O 

Cette équation, multipliée par ia^'^~^{\ — uY+^-^+'^-^ ^ 
pourra s'écrire 

— (a -h /i — i) (^ + /i — \)a"-^ (i — /0'^-'Mj«-S 
on [)osant, pour abréger, 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 23l 

En la différentiant n — i fois, il viendra 

— (a+ /i — i) (p -4- /; — i) ^-^ u^-~^ (i — i/,)«-iM7«-^ 

L'application répétée de cette formule de réduction 
donnera, pour toute valeur de ii entière et positive, 



A) ) dIfJ' 



(44) 

( =,a(a-f-i)...(a-f-/i-i)p(^-hi)...(?-+-/i-i)i\Ij. 

Cette formule est particulièrement intéressante lorsque (3 est 
un entier négatif — n. L'équation (43) admettra dans ce cas 
comme solution l'expression 

j— F(a, —n, Y, it), 

laquelle est un polynôme de degré /i, dont la dérivée n^^""^ 
se réduit à la constante 

a(a4-i)...(a + /^-l)^(^ + i)...(^-4-/^-l) 
7(Y4-l)...(Y-h/i — I) 

La formule (44) donnera donc dans ce cas particulier 

I d"^ 

F(a, —n, Y, «)= iTT-T ^ ; r -7— w"(i — «)"M 

'' ' My(y -Hi). . .(Y+'i — i) <^" 

ou, en remplaçant M par sa valeur et changeant a en a + ii, 

F(a -f- n, — n, y, u) ' 

_ ii^-y {i — u)y-^ d"" «ï+«-' (i — «)a+«-Y 

~ ï(T + 0- • •(T-+- /^ — I) diF' 

Le polynôme 

F (a 4- n, — n, y, w) ir:: Z^ 

est donc un produit de puissances par une dérivée /i»^™«. 



232 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

186. Les quantités y et a + i — v étant supposées posi- 
tives, les intégrales définies 

seront finies et déterminées; elles auront d'ailleurs les va- 
leurs suivantes : 

(45) J„,,n — o, si m>n, 

(46) j„„^-L,L(iL±-)r'(T)r(o. + »-T + 0. 

En effet, Z/^ satisfait à l'équation 

qui peut s'écrire 

— lûii — uY^'-nJ,^ = — /i {n 4- a) MÏ-i (i -^ uy-^Z,,. 
Multiplions par Z,„ et intégrons de o à i ; il viendra 

ou, en intégrant par parties et remarquant que le terme tout 
intégré s'annule aux deux limites, 






n{n-ha)J,n,n— //T(i— ;/)^+<-TZ;/Z;,,^« = 772(m + a)J,„^„; 

car le second membre ne change pas si l'on y permute m 
et n. 



On aura donc, si m^n, 



J /Il . n O . 



/« , n 



Si m = n., on remarquera que Z^ satisfait à une équation 
de même forme que Z„, sauf le changement de a, n, y en 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 233 

a -t- 2, n — I, Y + i; on aura donc, par un procédé tout 
semblable, 

(/i - 1) (/^ -f- oc -h i) r ^^^(1 — w)='+i-TZ;,z; du 

'' 

=: f uy^'{i - uY^'-^r^ z; du. 

Continuant ainsi, on aura finalement 

j ^ ' 

"" /l(/i — i)...l(a + /i) (a + /i + i)...(2c H- 2/i — i) 

X f u^^^-' {i—u)''^"-'iZlZldu. 

D'ailleurs 

( a + //)...( a + 2 72 — I ) ( — n){ — /z + i ) . . . i 



z:^ = 



et 

1 



X 



wT+«-i(i— uY^^'-^du 



Y(Y4-i)...(T + /i — , , 



r ( a 4- 2 AZ + I 



Substituant ces valeurs et remplaçant les factorielles par 
des quotients de fonctions F, on trouvera la formule (46)- 

Soit maintenant/(w) une fonction quelconque, que nous 
nous proposons de développer en une série de la forme 

/(«)=AoZo-i-AiZi -+-... + A„Z„ -h.... 

Un semblable développement étant supposé possible (<), 
on en déterminera aisément les coefficients. Multiplions en 
effet les deux membres par ?^T~*(i — u)^~VLa et intégrons 
de o à i^ il viendra 

Ç f{u)ul-\i-uY-^Z,du^kJ,,, 

«^0 



(') Sur cette possibilité, voir le Mémoire de M. Darboux Sur les fonctions 
de grands nombres {Journal de Liouville, 3« série, t. IV, p. 5 et 377). 



234 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

ce qui donnera le coefficient A,, exprimé par une intégrale 
définie. 



187. Les résultats que nous venons de trouver renferment 
comme cas particuliers ceux qui ont été obtenus précédem- 
ment pour les fonctions X,^ de Legendre. Posons en eflet 
a = Y = I ; nous aurons 

Zn^¥{n-^i, -n, I, u) = y-^- l—u"{i-ii)^, 



et, en posant ii = — ; — ? nous obtiendrons le nouveau polj' 
nome 

\ 2 / 2". I .2. . ./i dôC"- ^ ' 



188. Considérons comme dernière application l'équation 

de Bessel 

dp- y I dy f n 
dx- X dx \ x^ 



:;:¥ /=^^- 



Substituons pour j>^ la série 

Il viendra, en égalant à zéro le terme en x^"^-"^^ 

(/•4-2[X-+- 2) (/•-+- 2 [X + l)Cj;.+ , 

-h (rH- 2(j.-+-2)Cjx+i4-C[x— /i^Cjj.+i = o; 
d'où 

e - ^i^ 

S 

^ -ZL^ 

(/•-h2[X-}-2-l-/l)(/--|-2(J.-+-2 — /ï) 

En posant jjl = — i, on aura l'équation déterminante 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

Prenons d'abord /• = /i, il viendra 



23; 



'J^-^*--4(/i-M--f-i)(tx-hi)' 



et, par suite. 



y =z Cci X 



X' 



(_ i)!J-ji;«-H2!A 



Le terme général de la série entre parenthèses peut s'écrire 



■] 



ainsi 






r(/i-+- îj.-f-i)r(;x-hi) 

Si donc nous prenons pour plus de simplicité la con- 
stante Co égale à -, il viendra comme première so- 



lution la série 



2jr(/n- [x-hi)r([x-f-i 



que nous désignerons par J^j. 

En posant /• == — /z, on trouvera un résultat tout sem- 
blable, sauf le changement de signe de n. 

Les deux intégrales J,,, J_^ seront évidemment indépen- 
dantes si n n'est pas un entier réel; l'intégrale générale sera 

donc 

cJ,,-4-c'J_„. 

Si n est entier, on peut évidemment le supposer positif, 
car il ne figure que par son carré dans l'équation dilTéren- 
tielle. Dans ce cas les n premiers termes de J_„ s'annulent, 
car ils contiennent en dénominateur des fonctions F d'argu- 
ment entier négatif, lesquelles sont infinies. On aura donc 

(-0M-) 






)r({x + i) 



2 3G TROISIÈME PARTIE. — CHAPITHE II. 

OU, en posant ^ = n -\- |j.', 

/ ^\ « + 2[X' 



Les deux intégrales Jn et J_„ ne seront donc pas indépen- 
dantes et ne suffiront pas pour former l'intégrale générale. 

189. Pour obtenir dans ce cas une nouvelle intégrale, 
nous supposerons que l'argument, au lieu d'être tout d'abord 
égal à /i, soit égal k n — s, s étant infiniment petit. Nous 
pourrons prendre pour intégrales indépendantes, au lieu de 

Jn-e et J_«+£, J«_£ et — -^ ^— =• La limite de cetle 

s 

dernière quantité pour £ = o nous donnera l'intégrale cher- 
chée, que nous représenterons par Y,i. 

Séparons les n premiers termes du développement de 
J_//+£ et changeons dans les autres l'indice de sommation jjl 
en /« -f- a; il viendra 



Y„r=: lim 



£ r([j. + i)r(— /^4- £4- |x4-i; 



limj 



(-1)!^ 



/^y^-^2îxy'(3) 



en posant, pour abréger, 

/(O 



œV 



r ( /i -+- [j. -M ) r ( £ -H P -M ) \ 2 y 

I / ^ 



r(/i — £H-[j.4-i)r([ji.-M) \2 
Or, en appliquant la formule connue 



r(/>)r(i-/.) 



smy> 



ÉQUATIONS LINÉAIUES. 287 

on aura 

I _ . . sia(/^ — £— |x)7T 



£ r(— A^ + £4- [A + l) 

expression dont la limite pour e .-= o est 

— r(/i — ijl) cos(/i — (JL)7r = (— 1)^-1^^^ r{n — |jl). 
D'autre part, 

lim ^—^ — /'(O) =: 2lOff - -; r ; 



r(Ai + [x + i)r2(!i.4-i) r({x + i)r^(/i4-îj. + i) 
Substituant ces valeurs, il vient 

^r(/i+fx + i)r([x-i-i) L ^2 r(iJ. + i) r(/i-f-|x4-i) J 


190. Les fonctions J„ sont liées par la formule récur- 
rente 

(4?) — J/i — J/i-i-4- Jrt+i- 

En effet, substituant pour les fonctions J leurs développe- 
ments en série et comparant le coefficient du terme en 
j^ni-2u.-i dans les deux membres, on aura à vérifier l'égalité 

2/l(— i)l^ 






2«_i+2[xr({jL4-i)r(Ai4- (j.) 2«+2H.-ir(u.)r(/i-i- (x-f-i; 

Or on a 



238 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Substituant ces valeurs et supprimant les facteurs com- 
muns, l'égalité à vérifier se réduira à 



(J.(Ai + (J.) [J. /i -i- [X 

ce qui est évident. 

On vérifiera de même cette autre formule 

(48) 2^i'-_=J„_,_J„^„ 

dont la combinaison avec la précédente donnera 

(49) ■ §=J„_,^£J„. 
Nous signalerons enfin les deux formules 

(50) ■f^yh„{^x)=-{x'"'^i„,,{sl^), 

/ '1 'Isz} 

qu'il est également aisé de vérifier. 

191. On peut rattacher à l'équation de Bessel plusieurs 
équations qui se rencontrent fréquemment dans les applica- 
tions. 

Transformons en effet cette équation en posant 

^ et V désignant de nouvelles variables ; on aura 

dx = ^^(t'^-^lt, 

dx ~ Py '^i ' 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



289 



D'autre part, 






dt^ 



de 



dt 



Substituant les valeurs précédentes àey et de ses dérivées 
dans l'équation de Bessel, on aura l'équation transformée 

d'^N d\ 

(52) ^^^ -|_(2a + l)^"^^ +(a2_pVi2+p2YU-P)Vrr.O. 

L'équation en^ ayant pour intégrale générale 

y — c^a{oc)-\-c'S_,i{œ), 
la transformée aura, pour intégrale générale 

(J_,i devant toutefois être remplacé par Y„ si n est entier). 

On pourra donc intégrer par les transcendantes J toute 
équation de la forme 



(53) 



/72 V dV 

dt- dt 



car on peut disposer des quatre constantes a, p, y, n de 
manière à identifier l'équation (53) avec (52). 

On remarquera toutefois que, fi et y ne pouvant être nuls, 
la transformation serait en défaut si c ou X étaient nuls. Mais 
alors l'équation (53) se ramène à une équation à coeffi- 
cients constants (139). 

Les cas particuliers les plus intéressants sont les suivants : 

d'-\ ,_^ d\ 



24o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

correspondant àa = ±^, ^ = -y = i , et 



correspondant à a — -, ^ — |, y = M enfin l'équation de 
Riccati 

correspondant àar^ — |, [^^= — ,y=2/i y/c, n ^= 



IV. — Intégration par des intégrales définies. 

192. L'équation de Gauss est un cas particulier de la 
suivante 



d"^\ d"-^\ 



° = Q(^);7^-(^-«)Q'(^):73^ 



0) ^ ^^-"^l^:""-^ Q'(-)£:^-- 

( -l^(-)^^r + (5-« + ')R'(-),^^-.... 

où ? est une constante, et Q(^^), R(-2^) deux polynômes, tels 
que l'un des polynômes Q(^), ^R(^) soit de degré n, et 
l'autre de degré ^Ji. 

Nous essayerons de satisfaire à cetle équation en posant 



1— fv{u — œ)^-'du, 



U étant une fonction de u qui reste à déterminer ainsi que 
la ligne L d'intégration. 

Substituant dans l'équation la valeur précédente et sup- 
primant le facteur commun ( — i)" (ç — 0* • .-(^ — /i + i), il 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 24 1 

viendra 

/ ^(u-xf^-n ÏR(x)-^K{x){u~x)-^n"{x)^-^^^^^^^-^...\\ 

= f {{l — ri){ii — x)l-n-i q(^u)-^{u~ x)l-^ R(a)] U du. 



Déterminons U par la condition 



R(«)U = ^UQ(«), 



d'où 



I 



et enfin 

TT — p'^ U(«) 

l'équation précédente deviendra 

o ^ fd.UQiu) {u — œ)^-^'-^ fdV, 

en posant, pour abréger, 

/• R ( ?< ) 

(2) V=UQ(w)(w — .^)^-«— e-' ti(") "(i^_^)^-'ï. 



L'intégrale de dY sera nulle et l'équation sera satisfaite : 
i"^ Si L est un contour fermé tel que V reprenne sa valeur 
initiale lorsqu'on revient au point de départ; 

2" Si L est une ligne telle que V s'annule à ses deux ex- 
trémités. 



193. Nous allons voir, en discutant ces diverses lignes 
d'intégration, qu'on peut obtenir en général n intégrales 
particulières distinctes, dont la combinaison donnera f inté- 
grale générale de l'équation proposée. 

J. — Cours, III. i6 



242 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

La fraction -r- — -, décomposée en fractions simples, 
donnera un résultat de la forme 






(3) 



ou 



{il — a)^ a — a 

4- LI _i_ , _ _j Li — 

(« — 6)^ U — h 

X + [JL + V + . . . = /l. 



On en déduit 

en posant, pour abréger, 

(5) / ^ '^-' ("-"^' 

^2 3, I 



Les fonctions U(zi — >^)^~S V admettent donc comme 
points critiques le point x et les racines «, 6, ... de l'é- 
quation Q = o et se reproduisent multipliées par e-'^'^, 
^2TOa,^ e-^^^i, . . . lorsque l'on tourne autour de ces divers 
points. 

Cela posé, soit O un point quelconque du plan. Joignons- 
le aux points a, 6, . . . , x par des lacets A, B, . . . , X: 
soient A, B, . . . , X les valeurs de l'intégrale /U(?^ — ^)^~* du 
prise dans le sens direct le long de ces divers contours 
avec une détermination initiale donnée M de la fonction 
à intégrer. On pourra prendre pour ligne d'intégration L 
l'un quelconque des contours suivants : ABA~' B~*, . . . , 
AXA-'X-', . . .; car, si l'on décrit le contour ABA~'B~*, 
par exemple, la fonction V se reproduira, au retour, mul- 
tipliée par 



^2Ti/a, g27:/p, e-27i/a. g-sui^ , ~ 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2t\3 

La valeur [AB] de l'intégrale prise suivant le contour 
ABA~<B~* est donc une solution de l'équation proposée. Il 
est aisé de la déterminer. En eflfet, en décrivant d'abord 
le lacet A, on obtiendra une première intégrale A, et 
U(w — x)^~^ aura pour valeur finale e-^^'='iM. Décrivant 
ensuite le lacet B, on obtient comme seconde partie de 
l'intégrale e^'^^^iB, et U(u — œ)^~* aura pour valeur finale 
g27ï/(a,+Pj)]\|^ L'intégrale suivante, le long de A~% serait évi- 
demment — Â si la fonction à intégrer avait pour valeur ini- 
tiale e^Tiia,^ ^qui est sa valeur finale lorsque l'on décrit A 
avec la valeur initiale M); elle sera donc, dans le cas actuel, 
égale à — e^'^^^^A, et U(w — ^)^~* aura pour valeur finale 

Enfin l'intégrale suivant B~' sera — B. 
On aura donc, en réunissant ces résultats, 

(6) [AB] = (i — e''^^^^)X — (I — e27t."«0B. 

On obtiendra des formules semblables pour les intégrales 
analogues, telles que [AX], [BX], .... On déduit immé- 
diatement de ces relations les suivantes : 

(7) [XA]=r-[AX], 

(8) (i — e27r/^)[AB]4-(i — e2Tc/a,)[BX]4-(i — e27r/p.)[XA] = o, 

qui montrent que toutes les intégrales [AB], . . . s'expriment 
linéairement au moyen des intégrales particulières [AX] , 
[BX], ... [à moins toutefois que ^ ne soit un entier, auquel 
cas on aurait évidemment 

,_e2^^1=:o, X = o, d'où [AX]=:o, [BX]=o, ..., 

de telle sorte que l'équation (8) deviendrait identique]. 

194. Le nombre des intégrales obtenues par ce qui pré- 
cède est égal au nombre des racines distinctes de l'équation 
Q(z/.)=: o. Si donc le polynôme Q a des racines égales, ou 
si son degré est inférieur à ai, il nous faudra trouver de nou- 
velles intégrales particulières. Nous les obtiendrons en choi- 



244 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

sissant la ligne d'intégration L, de telle sorte que V s'annule 
à ses extrémités. 

Soit a une racine multiple d'ordre [jl de l'équation Q i== o. 
Posons 

u — <2 =r p ( cos cp 4- « sin cp ) , 
et 

«y. 



(X-I 



:=: r {cosp -+- i sin/?) 



dans les formules (4) et (5) et faisons tendre p vers zéro; on 
aura évidemment 

V= Ôpa. (cosaicp 4- i sina,cp)e'"P*~'*l<='>^t^-(S^-^)?l+'^î"f''-^[^-^^?ll, 

6 étant un facteur qui tend vers la limite finie 

(a — Z>)?....(^ — ^)^-«. 

Cette expression tendra vers o ou vers oo, suivant que 
cos[/? — (p. — i)cp] sera négatif ou positif. 
Or l'équation 

cos [p — ( [Jl. — I ) cp ] =:z o 

donne pour o un système de 2([jl — i) valeurs équidistantes, 
dans l'intervalle de zéro à 211. Si du point a on mène des 
droites dans ces diverses directions, elles partageront les en- 
virons de ce point en 2([jl — i) secteurs. Et, lorsque u tendra 
vers a, V tendra vers o si u se meut dans un des secteurs de 
rang impair, vers ce s'il reste dans un secteur de rang pair. 
Si donc nous supposons {Jig- 2) que u, partant de la va- 




leur a, s'en éloigne suivant le premier secteur, traverse en- 
suite le second secteur et revienne en a par le troisième 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 245 

secteur, la ligne A ainsi décrite pourra être prise comme 
ligne d'intégration, car V est nul à ses deux extrémités. 

La valeur de l'intégrale particulière ainsi obtenue variera 
évidemment suivant que la ligne A enveloppe quelques-uns 
des points 6, . . ., x ou les laisse tous en dehors. Nous ad- 
mettrons qu'elle ait été tracée de manière à satisfaire à cette 
dernière condition. L'intégrale ainsi obtenue ne changera 
pas si l'on contracte cette ligne de manière à rendre ses di- 
mensions aussi petites que l'on voudra; la diminution du 
champ de l'intégration sera compensée par l'accroissement 
de la valeur de la fonction soumise à l'intégration. 

On obtiendra une autre intégrale particulière en intégrant 
suivant une ligne infiniment petite A' qui s'éloigne de a sui- 
vant le troisième secteur et y revienne parle cinquième, etc., 
ce qui donnera évidemment [jl — i intégrales particulières. 

Chaque racine multiple de l'équation Q = o donnera évi- 
demment un résultat analogue, de telle sorte que, si \ est 
nul, nous aurons le nombre d'intégrales voulu. 

195. Si \ n'est pas nul, cherchons ce que devient V 
lorsque u tend vers oo. Nous aurons à poser 

« =r= p (ces cp -h j sin cp ) , — ^— =: /■ (cos/> -f- i sio/?) 

et à faire tendre p vers oo. On aura évidemment 

V = 8pa.tP.+- [ces ( ai + Pi 4- . . . ) ^ + / sin ( «1 -h Pi 4- . . . ) o] 

X e'"P^[cos(jo+Xç)-f-/sin(/>-i-X<p)] 

le facteur 8 tendant vers l'unité. 

Cette expression tendra vers o ou oo suivant le signe de 
cos(/? -f-X'f ). Or l'équation cos(/? -j- Xcp) = o donne -ik va- 
leurs de (p. Traçons, à partir d'un point quelconque du plan, 
des droites ayant ces directions. Elles partageront le plan 
en 2^ secteurs; pour u = oo, on aura 

Vr=0 ou Vzzzoo 



246 TROISIÈAŒ PARTIE. — CliAPITRE II. 

suivant que u sera dans un secteur de rang impair ou pair. 
Et si l'on suppose une ligne A partant de l'infini dans le 
(2/7i + iy^'°® secteur et y retournant par le ( 2 m + 3 )^''™^ 
(après avoir laissé à sa gauche tous les points «, ^, . . . , jc), 
elle fournira une intégrale particulière. On en obtiendra 
ainsi \. 

196. Nous avons ainsi obtenu dans tous les cas le nombre 
d'intégrales nécessaire. On pourrait en déterminer une foule 
d'autres. Il est clair, en effet, qu'on pourrait prendre pour 
ligne d'intégration : 

i^ Toute combinaison de lacets, telle que chaque lacet 
fût décrit aussi souvent dans le sens direct que dans le sens 
rétrograde; 

2° Toute ligne L joignant deux des points a, 6, . . . , 00, 
pourvu qu'elle arrive à ces points dans une direction telle, 
qu'on ait, en y arrivant, V=: o. 

Mais nous savons d'avance, et il serait d'ailleurs aisé de le 
vérifier, que ces intégrales sont liées linéairement aux inté- 
grales fondamentales que nous avons déterminées. 

197. Pour une valeur donnée de x, les lignes suivant les- 
quelles sont prises ces intégrales fondamentales peuvent être 
déformées à volonté sans que la valeur des intégrales soit 
altérée, pourvu que dans cette déformation elles ne traversent 
jamais les points a, 6, . . . , ^. Si l'on fait varier x d'une 
manière continue, ces intégrales varieront également d'une 
manière continue, pourvu que le mouvement de x soit ac- 
compagné, lorsque cela devient nécessaire, d'une déforma- 
tion des lignes d'intégration, qui leur fasse éviter la traversée 
des points a, 6, . . ., x. 

Ces considérations permettent de déterminer le groupe de 
l'équation différentielle proposée. En effet, les points cri- 
tiques de cette équation sont les points «, Z», . . . , et il est 
aisé de se rendre compte de la manière dont varient les inté- 
grales fondamentales lorsque x tourne dans le sens direct 
autour de l'un de ces points, tel que a. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2^7 

198. Les lacets B, . . . n'auront pas changé; mais les 
lacets X et A, pour éviter d'être traversés par a et x, au- 
ront dû se transformer en X^ et A^ {fig. 3). Or le nouveau 



Fig. 3. 




I 



I 



contour X' est évidemment équivalent à XAXA * X * et 
le contour A' à 

XAX-i==:XAX-^A-i.A. 

L'intégrale suivant X' sera donc égale à X -{- e-'^^'[AX]^ 
et l'intégrale suivant A' à — [AX] -f- A. Par suite, l'inté- 
grale 

[AX] = (i — e2^^'^) A — (i — e^^'*^.) X 

se trouvera transformée en 

(I _ c'^'^dl^^X'— (i — e^Ti^'x.^x' 

— [ AX] [i — (i — e^Tt^t ) — (i — e^^^'a.) e^Ti^t] — e27:f(a.+^) [ AX], 

etl'une quelconque [BX] des autres intégrales [BX], [CX], ... 
sera changée en 



[BX] + (e^ 



I e 



27ri| 



[AX]. 



199. Si a est une racine multiple d'ordre [jl pour l'équa- 
tion Q = o^ il existera {jl — i intégrales particulières I^, . . . , 
IS_j correspondant à des contours fermés infiniment petits A, 



248 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

A', • . . passant par ce point (194). Ces contours n'étant pas 
traversés par x dans son mouvement pourront être conservés 
sans altération. Mais la fonction à intégrer contient le fac- 
teur (;/ — ocy^~'\ qui se reproduit multiplié par e^Tr*^ lorsque 
X tourne autour de a, car il enveloppe en même temps le 
point u qui en est infiniment voisin. Les intégrales I^, . . . , 
I[i~i se reproduiront donc multipliées par e^'^'^. 

Soient h une autre racine multiple de Q = o, v son ordre 
de multiplicité. Il existera v — i intégrales particulières cor- 
respondant à des contours fermés infiniment petits passant 
par h. Le point x restant extérieur à ces contours lorsqu'il 
tourne autour de a^ cette rotation ne changera ni les lignes 
d'intégration, ni la valeur du facteur (w — x)'^"'^. Ces inté- 
grales resteront donc inaltérées. 

Enfin il en est évidemment de môme des intégrales cor- 
respondant aux \ racines infinies que pourrait présenter 
l'équation Q = o(193). 

Nous avons ainsi déterminé d'une manière complète la 
transformation que subissent les intégrales par une rotation 
autour de a. On déterminerait de même la transformation 
opérée par une rotation autour de chacun des autres points 
critiques 6, .... 

200. Il peut arriver, pour certaines valeurs particulières 
des coefficients de l'équation différentielle, que les intégrales 
obtenues cessent d'être distinctes. Ainsi, si nous supposons 
que a^ soit un nombre entier m, l'intégrale 

[AX] — {i — e2^^'^)Â — (i — e2^'«.)X 

sera identiquement nulle; car, d'une part, e^^^^izrr i et. 
d'autre part, A= o, car la fonction à intégrer reste mono- 
drome dans l'intérieur du lacet A. • 

Pour obtenir dans ce cas l'intégrale particulière qui 
doit remplacer l'intégrale évanouissante, nous supposerons 
a, = /?2 H- £, £ étant infiniment petit. L'intégrale [AX] dans 
cette nouvelle hypothèse ne sera plus nulle, et, en la déve- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

loppant en série suivant les puissances de £, on aura 

[AX]=:[AX]a-.. 

^[A-X]) + -il f^ [AX]) +.. . 

Le premier terme de ce développement est identique- 
ment nul. Divisant le reste par s, nous obtiendrons une autre 
intégrale 

I[AX] = (-J[AX])^__^_-H... 
qui, pour £ = o, se réduira à son premier terme 

= 2 7^^[e-^'"°'.X]a.=,;^-^- (i — e-^'^).l> — (i — e2'^''").X, 

nÂ) et SCs désignant ce que deviennent les intégrales A et X 
lorsqu'on y remplace dans les fonctions à intégrer le fac- 
teur (u — a)°^i par sa dérivée (u — a)"^ log(w — a) pour la 
valeur particulière a, = m. 

On pourra opérer de même dans tous les cas analogues 
oli une combinaison linéaire des intégrales fondamentales 
s'annule identiquement. En faisant varier infiniment peu 
l'un des paramètres, convenablement choisi, cette expres- 
sion cesserait de s'annuler. Sa dérivée par rapport à ce para- 
mètre donnera l'intégrale supplémentaire dont on a besoin. 

201. Considérons en particulier le cas où toutes les ra- 
cines de Q(m) sont inégales et finies; on aura 

R{u) a 3 

— r= 1- h . . . 

Q(w) u — a u — b '**' 
\z^{u — a)^{u—b)?...{u — a:)^-^, 

et les intégrales particulières de l'équation proposée seront 



î ^- 






J-jJCt 


04. J. X^ 


X 


^ 


CA 


UFO 


i:^*-^ 


249 








^ 



250 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

données par la formule 

Iap..4= f{u — a)^-' {u — b)^-K . . {u — œ)^-' du, 

OLi L est un contour fermé quelconque, tel que la fonction à 
intégrer reprenne sa valeur initiale après l'avoir décrit. 
La différentiation sous le signe f donne évidemment 

L'équation différentielle à laquelle satisfait la[3..-^ équi- 
vaut donc à une relation linéaire entre les ii-j-i intégrales 
consécutives Ia^...|, Iap...,e-i, • • •: Iap...,^-/i- 

D'autre part, on a évidemment 

la+i, p.. 4 = ^a^..., ^-+-1 4- (^ — a) laI3...^ 

Cette formule et ses analogues, combinées avec la relation 
précédente, montrent que toutes les intégrales de la forme 

Aa-t-/>, P+7, .... ^+7-} 

OÙ/?, ^, ...,/' sont des entiers, s'expriment linéairement 
en fonction de n d'entre elles, telles que Iap...|-i5 •••, 

Signalons encore cette formule, dont la vérification est 
immédiate, 

^ ^ da dx dadx 

202. Si les exposants a, [i, . . . , ç sont réels et rationnels, 
l'intégrale 

r(i^_^)a-i(M_^)P-i ... {ii — x)^-^da 

sera une intégrale abélienne, et l'intégrale Iap...$ en sera une 
période. 

On pouvait prévoir a priori que les périodes d'une inté- 
grale abélienne, considérées comme fonctions de l'un des 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2$! 

paramètres a quijfîgureiU dans l'intégrale, seraient les solu- 
tions d'une équation différentielle linéaire à coefficients uni- 
formes. En effet, soient P, P,, . . . les périodes linéairement 
distinctes. La forme générale des périodes sera 

mP-h niiPi H-. . . , 

m^ mi, ... étant des entiers. Si nous faisons varier a d'une 
manière quelconque, P, P4, ... varieront d'une manière 
continue. Et, si a reprend sa valeur primitive, les valeurs 
finales de ces fonctions, étant encore des périodes, seront de 
la forme mP -^ m iP^ -{-... . L'effet du contour fermé décrit 
par a sera donc d'opérer sur P, Pi , ... une certaine sub- 
stitution linéaire. L'équation linéaire 



1 

da 



P P, 

dP dl\ 

da da 



dont ces périodes sont les solutions, se reproduira mul- 
tipliée par le déterminant de cette substitution lorsque a 
décrit ce contour; et, si nous divisons l'équation par le coef- 
ficient du premier terme, les coefficients de la nouvelle 
équation obtenue se reproduiront sans altération. Ce sont 
donc des fonctions uniformes. 



203. Proposons-nous , comme application , de former 
l'équation différentielle à laquelle satisfont les périodes de 
l'intégrale elliptique 



_ r d^ 



considérées comme fonctions du module k. 
On a 

dt 



k\^ 




(^-^=)U-^^ 



252 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 



eu 



en posant 

^ Les périodes de cette intégrale, considérées comme fonc- 
tions de X, satisferont à l'équation différentielle (i) si l'on 
pose 

Substituant ces valeurs, il viendra 



Il reste à transformer cette expression en substituant à x 
sa valeur -— • 
On a 

dx:^-^'-^, d'Où ^^^-U-3 

^^ dx ^ ' 

dx - 2^ -dk' 

^^^-l, -''^ -d¥---'' -dk)^-~^^') 

et, en substituant, 



(9) 



204. L'équation différentielle de Laplace 
dx' 









ÉQUATIONS LINÉAIRES. 253 

OÙ les /, g sont des constantes, peut s'intégrer par un pro- 
cédé tout semblable à celui qui nous a servi pour l'équa- 
tion (i). 

Posons, en effet, 

Le résultat de la substitution de cette intégrale sera 

en posant, pour abréger, 

R(u) =fu- +/, w"-i H- . . . 4-/„, 
Q{u) = gu^-hg^ u^-' ^,..-^g-^, 

Si nous déterminons ici encore U par la condition 

R(«)U = ^UQ(«), 
d'où 



/R ( M ) j 



l'intégrale précédente se réduira à 

Elle sera nulle, et l'on obtiendra, par suite, une intégrale 
de l'équation proposée, si l'on choisit pour L un contour 
fermé tel que V reprenne sa valeur initiale quand on revient 
au point de départ ou une ligne telle que V s'annule à ses 
deux extrémités. 

Soient 

a, b, c, ... les racines distinctes de l'équation Q ==:: o, 

m leur nombre ; 

A, B, G, . . . les lacets correspondants. 



254 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

On obtiendra m — i intégrales en prenant successivement 
pour L les contours 

ABA-iR-S ACA-iG-S .... 

Si l'équation Q = o a des racines multiples, soient a l'une 
d'elles, [X son ordre de multiplicité : on obtiendra, comme 
au n° 194, [Jt. — I nouvelles intégrales, en prenant pour L des 
contours partant du point a et y revenant dans des direc- 
tions convenables. 

Enfin, soit \ le nombre des racines infinies de l'équation 
Q = o (ce nombre pouvant être nul) ; on aura 

ai a, Pi 

-t — H h . . . -f- — -- — -4- . . - 

u — a {a — a)^ a — b 

et, par suite, 

17 / TT du-hiix 

— ^ït^'+'-l-...-f-(p^-+-Jr)« _ 

le facteur B restant fini pour u =cc. 

On verra, comme au n" 19o, qu'il existe X + i intégrales 
correspondant à des lignes L ayant leurs deux extrémités à 
l'infini. 

Ce résultat subsistera, même si ). ::= o, auquel cas V serait 
de la forme 

Y — e^P'-^^'^ia — ay^{u — ^)^ ... 0. 

Les X -j- I intégrales ainsi obtenues, jointes aux précé- 
dentes, compléteront le nombre des intégrales requises pour 
former l'intégrale générale. 

20S. Nous allons appliquer la méthode précédente à 
l'équation 

(10) ^^__ + (,,, + 1)^+^1 = 0. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. «55 

On aura, \.jns ce cas, 



/ 



I^ ( " ) J / 1 \ 1 / => X 



Nous aurons donc, comme solution de l'équation pro- 
posée, l'intégrale 

pourvu que l'expression 

prenne la même valeur aux deux extrémités de la ligne d'in- 
tégration. 

206. Avant de procéder à l'étude des solutions fournies 
par cette intégrale, il convient de donner quelques explica- 
tions sur les fonctions eulériennes, lorsque leur argument est 
une quantité complexe quelconque. 

La définition de T(z) par un produit infini n'est soumise 
à aucune restriction; elle donne, pour toute valeur de z, une 
valeur unique et déterminée de r(^), laquelle est toujours 
différente de zéro et reste finie, sauf pour les valeurs en- 
tières et négatives de z, pour lesquelles elle est infinie du 
premier ordre. Mais, pour qu'on puisse considérer T(z') 
comme fonction de la variable imaginaire z, il faut encore 
établir qu'elle a une dérivée. 

Or r(z) est un produit infini ayant pour facteur général 
(t. I, n"(325) 

n (n -+- lY 
/i -h Z 11^ 

Donc logr(^) sera donné par une série infinie S ayant 
pour terme général 

log/i — log(/i -f-^) 4- slog(/i 4- i) — 5]og/i. 

Prenant les dérivées des termes de cette série, nous aurons 



256 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

une nouvelle série S' ayant pour terme général 

— — ^^ -^log(/i4-i)-log/ï. 
Mais on a 

B// étant vine quantité comprise entre o et i. 

Le terme général de la série des dérivées sera donc 



n-{-z /^^-6„ {n-^ z){n -^^n) 
et son module aura pour limite supérieure la quantité 

^^- {n-Z)n 

Tj désignant le maximum du module de z dans la région où 
l'on considère sa variation. 

Les quantités K,i ne dépendent plus de z et forment une 
série manifestement convergente. Donc la série S'est unifor- 
mément convergente dans la région considérée et sera la dé- 
rivée de log F (^). Donc r(s) = e'''"^'^^ aura lui-même une 
dérivée égale à S' r(^). 

207. La définition de r(^) par l'intégrale définie 

T{z)z=z n e-U'-' dt 

est bornée au cas où z est réel et positif. Mais il est aisé de 
la modifier, de manière à obtenir une expression de F (5) en 
intégrale définie applicable à toute valeur de z. 
Considérons en eff'et l'intégrale 



/■ 



e-H--"^ dt 
prise suivant une ligne L partant de l'infini positif et y re- 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 207 

venant, après avoir entouré l'origine dans le sens directs, 
comme l'indique \n/ig\ 4- 




Pour définir complètement cette intégrale, il faut préciser 
quelle est celle des déterminations de la fonction t^~^ que 

l'on adopte. Soit 

t =z p(coscp -4- i sincp) ; 



on aura, par définition, 



g(;-l)(Logp-+-i?)^ 



Pour chaque position du point t, p est complètement dé- 
terminé; mais l'argument cp n'est connu qu'aux multiples 
près de 'atc; suivant celle de ces valeurs que l'on adopte, 
celle de t^~^ variera. 

Nous prendrons pour valeur de cp celle qui varie de o à 27: 
lorsque t se meut sur la ligne L. On aura, dans ce cas. 



.(' 



' r—^ dt — {e'-''' 



(z). 



En effet, les deux membres de cette égalité sont des fonc- 
tions continues et uniformes de z. On sait que deux sem- 
blables fonctions sont égales dans tout le plan dès qu'elles 
sont égales le long d'une ligne déterminée. Il nous suffira 
donc de montrer que l'égalité a lieu pour les valeurs réelles 
et positives de z. 

Dans ce cas, la ligne d'intégration L peut être déformée 
de manière à se composer : 1" de l'axe des ^, de 00 à e, 

J. — Cours, III. 1-7 



k 



• 58 



TROISIÈME PARTIE. 



CHAPITRE II. 



e étant une quantité infiniment petite; 2" d'un cercle de 
ra^'on e décrit autour de l'origine; 3"" de l'axe des ^ de £ 
à 00. 

Si £ tend vers zéro, l'intégrale rectiligne / aura pou: 

limite 

OÙ l'on prendra pour t^~^ sa valeur réelle. 

Cotte intégrale est égale à — r(s). 

L'intégrale suivant le cercle est nulle. Enfin l'intégrale de 
retour sera 



,27t/ 



{z-x) r Q-t^z-x 
«^0 



--^ dtr=.e''-^'^V{ 



parce que la rotation autour de l'origine a multiplié t^~^ par 
le facteur e^^''^^"*^^ e-^^'^. 
L'égalité est donc démontrée. 

208. Considérons, d'autre part, l'intégrale 



L 



ABA-'B- 



A, B (^fig- 5) désignant des lacets leclilignes qui joignent 
les points critiques + i et o à un point quelconque a. Les 




valeurs de tP'^ ^ (i — t)i'^ dépendent des valeurs initiales 
adoptées au point a pour les arguments C3, cd< des quantités 
^ et 1 — t. Nous adopterons celles de ces valeurs qui sont 
comprises entre — 71 et 4- tt. La signification de l'intégrale 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 25g 

élani ainsi précisée, nous aurons 

f tP-x (i _ lyi-x dt^ii — e^-^'P) (i - e^^^^) ^-^^^^. 

\{ suifira, comme tout à l'heure, d'établir la proposition 
pour le cas où p eV q sont réels et positifs. 

En désignant par A, B les valeurs de l'intégrale prise le 
long des JaceLs A, B, on aura 

f = (i — e'"^'P)'K— (i — e2'^^V)B. 

•^ABA-'B-' 

D'ailleurs les intégrales le long des petits cercles étant 
a ^ 1 «-^a 



nulles, on aura 



Donc 



ABA-« B-» 



Mais, en vertu de l'hjpothèse faite, ^ et i — t auront leur 
argument nul entre o et i ; donc tP~^ et (i — ty~^ seront 

réels dans l'intégrale / ; celle-ci aura donc pour valeur 
'l^^ (t. Il, nos 186-187). 

209. Revenons à l'intégrale / e"^(w2 -f- i)" ^ du. 
Soient {fig- 6) 

A, B des lacets joignant l'origine aux points critiques i 
et — i; 

C une droite joignant l'origine au point — —, situé à i'in- 
fini dans la direction du point --—; 



26o 



TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE II. 



A, B, C les valeurs de l'intégrale prise le long de ces 
lignes, en choisissant celle des déterminations du radical 

" — 
(u--\-i) ^ qui se réduit à -f- i pour la valeur initiale 

« = o, ce qui revient à adopter, parmi les divers argu- 



Fis. 6. 




ments de la quantité u^ -\- i (lesquels diffèrent les uns des 
autres de multiples de 2tî) celui dont la valeur initiale est 
nulle. 

On peut obtenir une première solution en prenant pour 
ligne d'intégration ABA"^B~*. L'intégrale correspondante 
étant 

[._.'- H)] [A _B], 
on voit, en supprimant un facteur constant, que 

Ij = Â — B - 

est une solution. 

On obtiendrait d'ailleurs directement cette solution en 
prenant pour ligne d'intégration le contour fermé AB~' , 
à l'extrémité duquel la fonction V reprend sa valeur ini- 
tiale H-i; car les deux facteurs exponentiels par lesquels 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 26l 

elle a été successivement multipliée sont inverses l'un de 
l'autre. 

ou, en diveloppant les exponentielles en séries, 

' ^ 1\ /M + I ) I J ^^ J B J 



Si m est impair, les deux intégrales entre parenthèses ont 
évidemment les mêmes éléments et se détruisent; si m est 
pair r=2[Ji, ces éléments seront égaux et de signe con- 
traire; on aura donc plus simplement 






V'{lÛ-r l) -'du. 



Posons u r= i7-, il viendra 

2 f u^\'{ie^-^i)'"^dii--r~s.{-iY-i t^^'Hi- t)'"''dt, 

A' désignant le lacet qui joint l'origine au point i, t 

étant réel et positif ainsi que (i — ^) ' lorsqu'on va de 
o à I . 

Dans ces conditions, l'intégrale suivant A' sera égale à 






D'ailleurs e^'^'^" 2/_^ _ ^271^, En outre, si dans la for- 
mule 

-(2Tr) - m^, 



m 



V{mz) 



262 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

démontrée au t. I, n'' 385, on pose /?i = 2, z = \}- -h \, il 
viendra 

Siibslituant ces valeurs, il viendra finalement 



(r2) 



H-e2^-)^^(/^-}-l)v'-(f) "j„(^). 



210. Nous obtiendrons une seconde solution I2 en inté- 

1- T 1 • — 00 
grant suivant une ligne L partant du point et y reve- 
nant après av( ir enveloppé dans le sens direct la partie 
de l'axe des / comprise entre — i et -\- i i^fig* 6); car 

qux (^if^i _\__ I i s'annule au point • 

oc 

Posons 
d'où 



t 



(.3) ,,^_u,= 1' +i::z. 4 fl+ ^'V''"^' 

^ X' X- \ t' j 

et, par suite, 

I 

k étant un entier choisi de telle sorte que les deux membres 
de l'équation (i3) aient le même argument lorsqu'on donne 
à ^ sa valeur initiale + 00 et à m la valeur correspondante 

• — 00 

X 

Nous adopterons pour arguments de ^ et de i + -r^ ceux 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 263 

dont la valeur initiale est nulle; pour argument de œ celui 

qui est compris entre — - et ^ — > pour argument initial de 

;^2_[_j celui qu'on obtiendrait en faisant décrire à ii la 
ligne G et prenant zéro pour l'argument correspondant à 
l'origine. 

Il est clair que, lorsque u décrit la ligne C, l'argument de 
l'un des facteurs u — i^ u -\- i augmente, l'autre diminue. 
D'ailleurs, chacun d'eux varie d'une quantité inférieure à tu : 
donc l'argument initial à adopter pour u^ -\' i sera compris 
entre — u et -f- tc. 

On devra donc déterminer A", de telle sorte que l'argument 

2^11 — 2arg^ 

du second membre de l'équation (i3) soit compris entre 
— Tcet-h-. 

Si X est à droite de l'axe des y^ arg^ sera compris entre 

et -j et l'on devra poser A == o ; si ^ est à eauclie de 

2 2 ^ ^ 

cet axe, are^^ sera compris entre - et — ? et l'on devra 
poser k r=.\. 

Cela posé, faisons « = dans l'intégrale 

ce 



L 



e^''^(//.^-f-i) ^ du, 

L 

die deviendra 



7 






t avant pour valeur initiale et finale H- oo, et son argument 
variant de o à 27: le long de la nouvelle ligne d'intégralion. 
En supposant, ce qui est évidemment permis, que le mo- 
dule de t soit plus grand que celui de x tout le long de cette 



gne, on pourra développer le facteur ( i -H - 2 ) P^^'' ^^ 



1 

n — -~ 

X-' 



264 TROISIÈME PARTIR. - CHAPITRE II. 

formule du binuiuc, et l'on aura ainsi 

^r(!^H-i)r(/i-p.-hi)J 

M- 

^ft-i~.,).l. -(eV7r.V^_^)r(2,^_2;x). 

^r(^+i)r(/z-[x4-{)^ ^ ^ ' ^ 

On a d'ailleurs, en changeant jx en n — [x — ^ dans la 
formule (i i), 

. — r(/i — fx) 



r(/.-jx-:-.' 



2 / y 71 



^ r([x — 71 + i) sin(/i — (ji.)tc 



2Sin//7: x'([j.— /z + i) 

Enfin 



2 Sin/i77 



On aura, par suite, 



X « 



r(/^ + .l)V'^^^ 



('4) \ [^ 

211. Les deux solutions que nous venons d'obtenir sont 
donc, à des facteurs constants près , égales à x~"J//(^) et 
x~"J_//(.r), ce qui confirme un résultat déjà obtenu au 
nM91. 

Onpeuttrouver deux nouvelles solution s I3 et I4 en intégrant 

le long des lacets D et E joignant respectivement les points 

1 
critiques i et — i au point ^fig- 6); car e'"(w- -j- i) ^ 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 265 

s'annule en ce dernier point. Nous préciserons le sens de 
ces intégrales en adoptant encore pour argument de lâ -^r i 
au commencement de chacune de ces lignes celui qui est 
compris entre — t: et -r- ':^. 

Il est d'ailleurs aisé de déterminer les relations qui lient 
ces nouvelles intégrales aux. précédentes. En effet, Targu- 
ment de i/^-}- i reprenant sa valeur initiale lorsqu'on décrit 
le contour AB *, ce contour sera équivalent au contour 
C~^ AB~^ G — G~' AG.G~*B~' C qu'on peut aisément dé- 
former en DE~'. L'intégrale relative à ce dernier contour 
est I3 — I4 ; on aura donc 

(15) Il=l3-l4- 

D'autre part, le contour L peut évidemment être trans- 
formé en DE ou en ED suivant que est à droite ou à 

gauche de l'axe des y. Dans le premier cas, x sera à gauche 
de cet axe, et l'on aura 

(16) I2 = l3+ e(2«-^)'^'l4. 

Dans le second cas, x sera à droite de cet axe, et l'on aura 

(17) U— l4-4-e(2«-i)7u/I.^. 

212. Proposons-nous de déterminer une valeur a[)pi'ochée 
de I3 et de I4 lorsque le module de x est très grand. Nous 
admettrons, pour plus de simplicité, que n a sa partie réelle 

plus grande que Le cas où elle serait <r se ramène 

immédiatement à celui-là, car, en posant 1 := x"-"K, l'équa- 
tion transformée en Iv ne diffère de la primitive que par le 
signe de /z. 

Dans l'hypothèse admise, les intégrales prises le long de 
cercles infiniment petits décrits autour de i et de — i sont 
nulles, et l'on aura évidemment 



263 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Ij et r^ étant les intégrales prises suivant les droites P et Q 

qui joignent respectivement les points ^ et — i au point 

Soit P' une droite menée à partir du point i et faisant 
avec la droite P un an^^ie \ inférieur en valeur absolue à -• 



2 



L'intégrale suivant un arc de cercle de rayon infini trac.'; 
entre P et P' sera nulle; car e^^ tend vers zéro tout le long 
de cet arc plus rapidement qu'une puissance négative quel- 
conque du rajon. On pourra donc remplacer l'intégrale sui- 
vant P par l'intégrale suivant P\ 
Or on a sur cette dernière droite 

X X 

t étant réel et variant de o à go. 
On en déduit 






a- -\- 1 z= \ ~ 

X X' 

(i3) 



ie 



X [^ IX ^ 



k' étant un entier à déterminer de telle sorte que les deux 

membres de l'équation aient le même argument le long de P'. 

Nous adopterons, comme précédemment, pour argument 

de X celui qui est compris entre et — j pour argument 

de t celui qui s'annule sur P', pour argument de i H ; — 

celui qui s'annule pour ^ = o. 

Considérons sur les deux lignes P et P' deux points /?, p' 
infiniment voisins du point i\ l'argument de ii -f- i aura sen- 
siblement la même valeur en ces deux points; et la valeur de 
l'argument de m — i au point p' surpassera de \ sa valeur au 
point/?. Or tiu point/? l'argument de w--ri est compris 



ÉQUATfONS LINÉAIRES. Î267 

entre — tz et -4- tt. Sa valeur au point p' sera donc comprise 
entre — tz -[-"k et tt -f- )^. 

Mais l'argument du second membre de la relation (i8) au 
point/)' est égal à 



-r A — arg^ -H 2 k'iz. 



I 



Pour qu'il soit compris entre — 7r + ^et'ïï:-}-)^,il faudra poser 

A"'= o ou /i'= i, suivant que l'argument de x sera compris 

q _ 
entre et - ou entre - et — • On aura donc, en tout état 

2 2 2 2 

de cause, k'^=k, le nombre k étant celui qui figure dans 
l'expression (i4) de l'intégrale I-. 

Prenant donc t pour variable indépendante au lieu de u et 

ni 

remarquant que e'^ := i^ il viendra 

n-h - 
X 2 

Il désignant l'intégrale 
Or on a 

L'"^""2^J - Z n^-i-i)Tjn=y:^\'^j ■^^^'"' 

R;,^ étant un reste dont nous aurons à discuter la valeur. 
Donc 

[X=/n — 1 ^ 

Zj r({x-Hi)r(/i — [x-f-i) V2^; j, ^ ^ 

le reste U étant donné par l'intégrale 



•/o 



e-''''(e'>^'t)" ~^R,„e>^'dt. 



9.68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

jMais 



X 



e-^'''^{e>Uf~'^"'^e^-^dt 



n'est autre chose que l'intégrale 



y-=- 



2 ^ dz 



prise le long d'une droite allant de l'origine jusqu'à l'infini 
avec un azimut \. L'intégrale de cette même fonction étant 
évidemment nulle sur un arc de cercle de rayon infini, com- 
pris entre cette ligne et l'axe des x^ on pourra remplacer la 
ligne d'intégration par l'axe des x., ce qui donnera, pour va- 
leur de l'intégrale, 

r(/i-i-(x-4-i). 

Nous aurons donc, pour expression approchée de H, la 
série V: / • ■ ... 

M. = w— 1 

Y r(/^+|)r(/i-i-!i. + -;) ( ±\v- 
Zj r(}x-}-i)r(/i-|x4-i) V^^y 

et nous n'aurons plus qu'à trouver une limite supérieure du 
module de l'intégrale U, qui nous permette d'apprécier l'er- 
reur commise. 

213. Or e~^ '^e^^ a pour module e~^*^°^^; et, si nous suppo- 
sons /i = a -f- [^«, la quantité 

aura pour module 



1 

a — 
t 



^-l.-?A 



Pour obtenir, d'autre part, une limite du module de B„i, 
posons 



f 

EQUATIONS LINÉAIRES. iGg 

f{t) et cd(^) étant des fonctions réelles. La série de Maclau- 
;i rin, appliquée à ces deux fonctions séparément, donnera 

fm-\ fin-\ l r.\ tm 

/(^)=/(0)-"^/(0)4-...H 4 — ^ -^ -/"(^O. 

_' ' ^^ j \ ^ 1.2.. {m — i) i.2..//i"^ 

fm — \^m—\(r)\ Mil 

c(0:-T(o)4-... 4-- ^ ^ -^-- 'f-(.6'0, 

'^ ' 1.1.. {ni — I) i.'2../;i ' . 

Q et 0' étant compris entre o et i ; on aura donc, pour l'ex- 
pression du reste, 

\ . '2 . . Il i 

Or on a 

et, par suite, 

Soit donc M la valeur maximum du module de F"*(/) entre o 
et co; on aura 

\f"'{Ot)\lU, icp'"(ô'Ol"M, 
d'où 






D'ailleurs 



^ ^ T{n-~m-i--^)\2a;J \ ^ 2^/ ' 

et, si nous supposons 

^ = p ( ces çp -f- i sin cp ) r= p e'"?, 
on aura 

1 H — -— I sin ( X — co ) -h « — ces ( X — 9 ). 

2^ 2p ^ *. 2p ^ ~' 

Le module de cette expression 

^sin(X — <o) W 



=v' 



p ■ 4p^ 



f270 TPiOISlfeJIE PARTIE. — CHAPITRE II. 

a pour valeur minimum 

|cos(>i — cp)| 

correspondant à t = 2 p sin(7. — cp), et son argument <L, qui 
est nul pour ^ = 0, sera constamment compris entre — tt et 

Cela posé, 

4 =e 

IX / 



a pour module 



-P^. 



Si nous avons poussé ce développement assez loin pour que 
m soit >> a — ^, le maximum de cette expression correspon- 
dra au minimum de r et sera au plus égal à 



cos(X — ©) ^ eiriPl. 
On aura, par suite, 



M^ 



Yi^n — m — \) 



(2p)' 



a m 

|C0S(X — 9)1 2 ^7l| 



214. Nous obtiendrons donc pour limite supérieure du 
module de U une expression de la forme 



Ke-PMcos(X-9)r"^ 



/■ 



a — -+7« 
-/cos>> / 2 



dt, 



R désignant une constante indépendante de x et de \, D'ail- 
leurs, en posant ^cosA = ^, on aura 






-tco%k , 



dt — 









^-—=•5 



dz 



(cosÀ) 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 27I 

et enfin, par suite, 

|U|^Kr(a4--î-'^) ^-^ T^^ TTn' 

Le second membre contient l'indéterminée A, variable 
entre et — et dont nous pourrons profiter pour rendre 

minimum le coefficient de — - Nous aurons ainsi 

A-p étant une fonction de o évidemment finie et continue. 
Soit A son maximum; on aura 

!U|<— . 

La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de 
l'ordre de — ? tandis que les modules des termes de l'ex- 

pression approchée de I'^ sont de l'ordre de — ? où jjl <; m ; 

circonstance qui justifie notre formule d'approximation 
lorsque p sera suffisamment grand, toutes choses égales d'ail- 
leurs. 

215. Un procédé analogue permettra de trouver la valeur 
approchée de l\. On substituera à la ligne d'intégration Q 
une autre ligne d'intégration Q' faisant avec elle un angle X 

inférieur à - en valeur absolue. On aura, le lon<? de cette 
2 ° 



ligne, 



— ~ e 2 H '-y 



X 



ie 



(^^). 



^^^^m 



27a TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.. 

les arguments des deux membres étant ici égaux, comme 
étant tous deux compris entre — tt -h ). et tz -f- X. 
On aura, par suite, 

Hi désignant l'intégrale 



se 



l 



e-e->^^t[e>-t)''~Ui~ '■^] e^-dt-, 



et enfin, en développant la puissance du binôme, 

jj, r- lu - 1 

■ V r(/i4- ^)r(7.-f-^H--^ ) (-iy ^ TT 

U, étant un reste dont le module a pour limite supérieure 

\ 

— , A, désiernant une constante. 

p'" ^ 

216. En nous bornant au premier terme des développe- 
ments de I3 et de I4, nous aurons pour ces intégrales les va- 
leurs asymptotiques suivantes : 

/ 1 \ 11/ 1 

— in — n 

g V 2/22 2 e'^ 
œ ^ 

n-h- 

œ 2 
On en déduit, pour la fonction 

la valeur asymptotique 



1 \ TZl 



y/2'jr.a7[_ 



273 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 

SI X est à droite de l'axe des y, on aura A: :== o, et cette 
expression se réduira à 



V'V^™'^-(" + ^)^ 



S'il est à gauche, oq aura A" - -- i , et l'expression de- 
viendra 

( 2 n + 1 ) — - / 2 



/ 2 r / 1^1 

V — - cos \x-\-{n -1- \)-\ 



Au moyen des relations (i4) et (17) qui lient J_,i(^) à I2 
et cette dernière intégrale à I3 et L,, on trouvera de même 
la valeur approchée de J_/^(^). 

217. Les deux valeurs asjmptotiques trouvées ci-dessus 
pour J/i(^) coïncident si n est la moitié d'un nombre entier. 

Soit, en effet, n=^ m -\ Elles se réduisent à 



^_^^eos[^-(m4-.)^] 



D'ailleurs, dans ce cas, les développements trouvés pour H 
et Hi se limiteront d'eux-mêmes, le dernier terme étant 
celui où u. = m; H et Hi seront donc des polynômes entiers 

en -5 de degré m et conjugués, dont le premier terme 

est T[ni). 



50it 



II -r r(m) I - ai -^ + . . . H- 



Hi==r(m) I — ai 
J. — Cours, III. 



.■(^. )-„.(!)"'] 



2^4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

Les autres formules donnent, pour n = m --r- 



71 . 
— m-i 

ty % nUl nlX 



71 . 
VI —l 
r> 2 r,m p — IX 

V ^ -" ^ H 



.///-t-i 
1 



- /'^r -He(-^"'>-^H,e( --')'1 
y Tzx' L 2fr(m) J 

On, en substituant les valeurs de H, H<, 

'^ f -f- Sin ^ - ( 771 + l ) - 



J...-l(^)--i/-^ 



— -1 ; 



218. M. Knmmer a montré que l'intégrale générale de l'é- 
quation 

s'exprime par des intégrales définies multiples. 

Soit, pour fixer les idées, |ji =:= 3. Posons, pour abréger, 

On a 

a» -1- I , 

du 

-— - m (— wp^'^-^-i- a'^f^c^^') X, 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 



27^ 



-et, par suite, 



ôx' 



riV'-X 






^~i/c nn-Zçn-2 



IW 



X , 



dl 






z=: — a-3^'i^«-3(,«-2 



a-3/w^''-3p''-2 :^i _ OL-'-^^\TU''-'- — 






dv 



uwœU 

j 






(^c^ 



OU 



[ntégrons celte équation par rapport à w, ç^ pp, de o à oo, 
et posons 

y ;^ = S r (v^ X du dç dw ; 



il viendra 
dx"^-^ 



^yj,z=i— a-3^-Mo — a-2/^^M, — a-^^^MTs; 



Mo, M,, M2 désignant les intégrales 

Mo -- S w"-^(^"-^ -r— dudvdw, 

M, rr:= S u''~- -^-dud^^dw. 
ov 

M, =- S «^ -v- du dvdw. 
au 

Ces intégrales sont des constantes indépendantes de x et de 
/i; car si, dans la première, par exemple, on intègre d'abord 
par rapport à w, on aura 






dw 



dw:^.[l]\ 



276 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 



d'où 



Mn — / / — u"-'^ ç''-^e ~i~ cludv — const. 






De même pour Mi , Mo. 
Posons maintenant 

Cette expression satisfera à l'équation 

— -— x'^y :=. aQ~\- a^x -4- a^ x- ; 

si l'on établit entre les constantes C les trois relations 

— M. Sa -/-C/, --:«,. 

Il restera encore n — à constantes arbitraires. On aura 
donc ainsi l'intégrale générale. 

V. - Équations de M. Picard. 

219. Soit 

d"^y d'^-W 

une équation différentielle linéaire dont les coefficients 
soient des fonctions elliptiques de u, aux périodes 2 to, et 
2 0)2. Supposons que ses intégrales soient uniformes, ce dont 
il est aisé de s'assurer en les développant en séries. Nous 
allons donner le moyen de les déterminer. 

Soient cp, (w), . . -, On{u) un système de n intégrales in- 
dépendantes. Si nous changeons u en w-f-2w<, l'équation 
transformée, laquelle est identique à Féquation primitive, 
admettra comme système d'intégrales indépendantes 

(p,(^^ -I- 2Wj), . . ., 9,,(// + 2WJ. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 277 

Ces nouvelles fonctions seront donc liées aux intégrales pri- 
mitives par des relations linéaires de la forme 

Q/,(?^ -f- 20)i) rr- Ci/,9i(«.) +•••+ <^'»/v?«(")' (A" ~ I , ..., n) , 

les c étant des constantes dont le déterminant n'est pas nul. 

TjC changement de u en u-{-2iûi dans les intégrales 
o,, .,., O/^ revient donc à opérer sur ces intégrales une 
substitution linéaire, que nous désignerons par S. 

On verrait de même que le changement de u en u -h 2W2 
équivaut à une autre substitution linéaire S\ 

Enfin le changement de u en w + 203, H- awo équivaudra 
à opérer successivement la substitution S suivie de la substi- 
tution S', ou la substitution S', suivie de S. Les deux opéra- 
tions S et S' satisferont donc à la relation 

.(?.) SS':-3:S'S. 

220. Proposons-nous de simplifier l'expression des substi- 
tutions S et S' en remplaçant 04, . . ., Z),i par un autre sys- 
tème d'intégrales indépendantes. 

Soit s Tune des racines de l'équation caractéristique de S ; 
il existera des intégrales que S multiplie par 5; soient y, 
y', . . . celles de ces intégrales qui sont distinctes. La forme 
générale des intégrales qui jouissent de cette propriété sera 
xy -+- aJy' --{- 

Soit Y la fonction que S' fait succéder à y, SS' remplacera 
)^par5Y; S'S doit produire le même résultat; or S' rem- 
place j' par Y; donc S doit transformer Y en sY ; donc Y 
est de la forme ajr4- ay + .... 

La substitution S' remplaçant ainsi chacune des inté- 
grales j', y, . . . par une fonction linéaire de ces mêmes in- 
tégrales, il existera au moins une fonction linéaire x de ces 
intégrales que S' multiplie par une constante s'. 

INous avons donc prouvé qu'il existe au moins une inté- 
grale œ que S et S' multiplient respectivement par des con- 
stantes s et s' . 



278 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE II. 

221. Nous allons démontrer qu'on peut déterminer un 
système d'intégrales indépendantes 



Jii' • • •' fuh^ 721, . • ., 72,/,, 



7X1, 






tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme sui- 
vante : 



(3) 



S'=r 



71/.. • 

^l/o • 

7i/o • 



;7/A-. 

, . . . . 
5 -//.•: 



•5i7iA' •••.>^i(7/A--^Y,v,), 



5i7u-. 

^2 ^\/c, 






.S|, s\ ; 5o, 5', ; ... étant des couples de constantes différents; 
Yihi ^'ik <^6^ fonctions linéaires de celles des intégrales y 
dont le premier indice est <Cl', ^-^ikt T-^ik f^cs fonctions li- 
nt'aires de celles des intégrales z dont le premier indice est 
<C /, etc. 

Celte proposition étant supposée vraie pour les substitu- 
tions à moins de n variables, nous allons montrer qu'elle 
subsiste pour deux substitutions S, S' à /i variables. 

On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S^ 
multiplient respectivement par des constantes 5, s' . En la 
prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des in- 
tégrales primitives, telle que cp,/, S et S' prendront les formes 
suivantes : 

S — ! cpi, . . ., cp„_i, X *i -+- a^x, . . ., *«_i-H a,i^^x,sx [, 

S'— l'fi, . . .,o„_3,^ ^'^^a\x, . . .,^\,_^^a„_^x,s'x\, 

les diverses quantités O, <ï>' étant des fonctions linéaires de 

?l ? • • • 5 '^n-\ • 

Désignons par S, Yl les substitutions à /z — i variables 






Il '- n — \ 






EQUATIONS LINÉàIRES. 279 

L'égalité SS'^-S'S entraînera évidemment la suivante : 

ss'~ s' s. 

On pourra donc, en appliquant le théorème à ces substi- 
tutions, les mettre sous la forme (3). Le même changement 
d'intégrales indépendantes, appliqué à S, S', les mettra évi- 
demment sous la l'orme 

Ju-, ■••, ya-, • . s^y^k'r-c^k^, ••- s,{yik-^'^ik)-\-CikO0, ... i 
^1 ;•, • • • , ^ik. ■ ' ■ s^z^],-r-d^kX, . . ., s,{zi,, -\- Zik) -vdij,x, . . . | 

•••; ■••? •■•5 ••• 1 • • • 1 j ... 

OC SX I 

y'xk^ ■■■, ytk, ■" s\y^u-^c\u^, • • •. 5;(///,-^Y;.^.)-f-c,•;,,^, ... [ 
Ti;., ..., Zf,, ... s',z^^-\-d\j,x, ..., 4(^//-i-z;v,)-+-rtlt^, ... I 

• • • • ' ■ ■) ' ' ' •> J • • • 5 " • * ' j 

i X s' X 1 

Prenons pour intégrales indépendantes, au lieu des y^ les 
suivantes : 

j'ik^ync-'^^ik^', 

les substitutions S, S' conserveront la forme précédente, 
sauf le changement de 

Ci,, en ( ,ç — 5i ) a,7, — s 1 A//, -f- Ca,, 
^'ik en ( s' — s\ ) ^ik — s\ a;-/. -+- ( \,,, 

A//f, A^;^ étant ce que deviennent Y//^, Y^y^, quand on y rem- 
place lesj- par les a correspondants. 

Gela posé, si 5^5i, on pourra évidemment disposer des a 
de manière à faire disparaître tous les coefficients cik- Les 
coefficients c^^ disparaîtront d'ailleurs en même temps, en 
vertu de l'égalité SS':^ S' S. Egalons en effet les coefficients 
de X dans les expressions que SS' et S' S font succéder à yi]^\ 
il viendra 

( 4 ) 5, ( C\j, -\- C;-;, ) H- 5' Cik = 5; ( Cik -\- Oiu ) --1- SC\j,, 

Cik-, C'-f^ étant ce que deviennent respectivement Y'^y. et Y/^ 



28o TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE II. 

lorsqu'on y remplace les jk par les c ou par les c' correspon- 
dants. Si les Cif( sont nuls, ces relations se réduisent à la 
forme 

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport 
aux c^Yf, et leur déterminant, étant une puissance de s^ — s, 
n'est pas nul. Elles ne peuvent donc être satisfaites que si 
les c'^f. sont tous nuls. 

Si^'^^',, on pourra de même faire disparaître les c'^/^', et 
les relations (4) montrent que les Cik disparaîtront en même 
temps. 

Si donc le couple de constantes 5, s' ne se confond avec 
aucun des couples a,, s\ ; S2, s'.,; . . ., on pourra faire dis- 
paraître tous les coefficients c/a, c^/. ; c/,/,, d'-j^', . . .-, et S, S' 
seront ramenées à la Ibrme requise ; aux diverses classes d'in- 
légrales jK> z, . . . viendra seulement se joindre une classe 
nouvelle, formée de la seule intégrale x. Soit, au contraire. 
s ■==! Si,s'= s\ ; on pourra faire disparaître les coefficients â?/;(i^, 
d'-f^^ ... ; et l'on n'aura qu'à poser dk = 6", /??/a, «^'//f = s\ ^^Ia 
pour ramener S et S' à la forme requise, la nouvelle inté- 
grale X rentrant ici dans la catégorie des intégrales jk< a, qui 
appartiennent à la classe des y et ont l'unité pour premier 
indice. 

222. Admettons donc que les intégrales indépendantes 
aient été choisies de manière à ramener les substitutions S, 
S' à la forme (3). Considérons en particulier une des classes 
formées par ces intégrales, telle que /i<, . . . , jk/a? • • • • Le 
changement de u en w + 2 w, ou u -\- 2(1^2 leur fera éprouver 
les substitutions partielles 

( <^--!.ru-, . . .,j/A-, ..., ^i/iA-, •• -^-^i (//•/.+ Y,7,), .. I, 

lesquelles devront évidemment satisfaire à la relation 

(6) aa'— a'(7. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 281 

On a, par définition, * 



Y,-^ = 






la sommation s'étendant à toutes les valeurs du premier in- 
dice / qui sont <^ /, et aux diverses valeurs de m correspon- 
dant à chacune de ces valeurs de /. 

On voit aisément que cro-^ remplace en général y/^ par 



Jik H- 



Y.-. 4- y;, -^ 2, ^^ (^ï^- H, „, ^îr >/'..')] 



la sommation par rapport à V . 

J! inférieures à / et aux valeurs correspondantes de rti' . 

La substitution o-' a- rem placera j^/;^ par une expression ana- 
logue, où les coefficients a qI b seront permutés. 

Ces deux expressions doivent être identiques, en vertu 
de (6). En égalant les coefficients des termes en jK/m? o^^ 
aura les relations 

(7) y («î^^^/r-Mr«;r)--o, 

la sommation s'étendant à toutes les valeurs de l qui sont 
<C ^ et >> /', et aux valeurs correspondantes de m. 

223. Réciproquement, soient o-, a' deux substitutions de 
la forme (5) et satisfaisant à la relation (6) ou aux condi- 
tions équivalentes (7). Nous allons montrer qu'on peut 
cons:ruire des fonctions j^n > • • -i yih qiii subissent ces sub- 
stitutions lorsqu'on accroît la variable w de 2t0i ou de 2W27 
et nous déterminerons la forme la plus générale de ces fonc- 
tions. 

Considérons à cet effet la fonction doublement périodique 
de seconde espèce 

(jr ( W ) =: e'-'". 

(^ a 
Elle admet les multiplicateurs 



282 TROISIÈME PARTIE. — CIIAPITHE II. 

qui se réduiront respectivement à 5,, .s',, si l'on détermine b^ 
a par les équations 

itù^b -\- 27)1 a == log^i, 
2 W2& H- 2 7]2a = log^'j. 

On peut toujours y satisfaire, le déterminant 

2 0)1 .2Tj2 — 2 W2. 2T(i 

étant égal à zîr ird. 
Posons 

Lorsqu'on accroîtra u de 2t^)^ ou de atoo, les nouvelles fonc- 
tions Xik subiront les transformations 

(t') i^'i^r., ..., ^r,-,., ..., ^1/,, ..., .^./.-i-x;.^, . . . {, 

X/A, X^^ étant ce que deviennent Y,;^, Y'^-^ lorsqu'on y rem- 
place \es Yih par les xtk. Les substitutions t, t' seront échan- 
geables entre elles. 

Il reste à obtenir l'expression des fonctions Xi^. 

224. Pour cela considérons l'expression 

çp ( «/ ) = mu -h jn' t li. 

Lorsque u s'accroît de 20^1 ou de 20)0, elle subit des ac- 
croissements 

Acp -T-z 2 Wi/72 -I- 2TQ1 m' , A'cp r— 2a)2/n -;- 2r^2 ^^' ' 



pourra obtenir : 

i" Une fonction ^-^--^ m^u -y- ni^'C^u dont les accroisse- 
ments respectifs A|jl,, A'jjl, soient 1 et o ; 

2° Une fonction [ji'^= Wg M -f- m'g Çi^ dont les accroisse- 
ments Aa', , A'jJi'^ soient o et i. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2SI 

Posons plus généralement 



H-l(lJ-l- 


-l)...(fX,— i-4- 


I) 




1.2. . .i 




!^'i(!^'i- 


- l). . .(tJ.'^— iH- 






{J-.= 



Nous aurons évidemment 



\ 

(8) 



I . 2. . .i 

(J.,([J.l— l). . .(fJ-i— i-f-l) 



I ,2. . .« 

A|i.;.^r_0, 

\ av,-=o, a'[j.;.= [j.;._.j, 

et ces formules subsisteront pour 1=1, si l'on convient de 
poser 

Tout polynôme entier P en ^4, u'^, considéré comme 
fonction de [ji'^,peutévidemment se mettre d'une seule manière 
sous la forme 

AoiJ-o-;- Ai|Ji4-. . ., 

les A. étant des poljnômes en ^', dont chacun pourra à son 
tour se mettre d'une seule manière sous la forme 

KK-^ a; ;;.;-!-.. .. 

Le polynôme P pourra donc se mettre d'une seule manière, 
sous la forme 

225. Ces préliminaires posés, nous allons établir qu'il 
existe des fonctions ^/^^ qui subissent respectivement les 
transformations (t), (':') lorsque z^ augmente de 2to, ou de 
2Cl)o; et qu'elles ont pour forme générale 



284 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

les H désignant des fonctions elliptiques arbitraires et les 
Pj^'^ des polynômes d'ordre i — / en [Ji,, \k\ et entièrement 
déterminés; la sommation s'étendant d'aillem's à toutes les 
valeurs de /inférieur à i et aux diverses valeurs de ni corres- 
pondantes à chacune d'elles. 

On voit tout d'abord que les fonctions .z^i/c, ..., restant 
inaltérées, sont des fonctions elliptiques, icUes que H,;^ 

Supposons donc qu'on ait construit, de proche en proche, 
toutes celles des fonctions xij^, dont le premier indice est 
moindre que X, et qu'elles aient la forme annoncée. Nous 
aurons, pour continuer l'opération, à construire des fonc- 
tions x\k q^e le changement de u en u -f- aw, ou u -^ itjy.y 
transforme respectivement en 

Substituons aux fonctions xth, qui figurent dans X^/f, X^/, 
leurs valeurs déjà déterminées; il viendra 

QuS Qï" étant des polynômes en p.,, tj.'^ , lesquels dépen- 
dent linéairement des coefficients de Xx^, XJ/, ; la sommation 
s'étendant d'ailleurs à tous les systèmes de valeurs de /, jn 
pour lesquels l <i\. 

Les substitutions tt' et t't transforment respectivement xu 
en 

^\k -+- XxA- -1- XxA- 4- S' Xxk 
et en 

o^XxA désignant l'accroissement que subit Xxa par la substi- 
tution t'; SX)/, celui que subit X^a par la substitution t. 

D'ailleurs en appliquant ces substitutions aux fonctions 
déjà construites, ou aux quantités X)/,, Xx;? qui en sont des 
fonctions linéaires, on obtient, par hypothèse, le même résul- 
tat qu'en changeant u en u -I- 2 w^ ou u -|- 2 coo ; on aura donc 

0'Xx,:r.A'Xx,.:-:.A'SQ;-H,,,, 



EQUATIONS LINÉAIRES. 285 

Les fonctions elliptiques Uim étant arbitraires, l'égalité 
de ces deux expressions exigera que l'on ait pour tout sys- 
tème de valeurs de l, m où /<")v, 

Or si Ton met les polynômes Q>"', Qu'^ sons la forme 
on aura, en vertu des relations (S), 

. A' Q(-:r. SB,,- fx, [..;„..,, 

Ces deux expressions devant être identiques, on aura les 
équations de condition 

(9) B,_i,,'— B',,Li. 

Gela posé, on pourra déterminer un polynôme d'ordre X ^ / 
en jA,, Li',, 

tel que ses variations 

se réduisent respectivement à Ql^j Qx/t'^ 5 car ces deux iden- 
tifications donnent les équations de condition 

qui sont compatibles, en vertu des relations (9). 
Posons maintenant 

^x^==nA--^2:,,,„Pf;MI,,,. 
Le changement de z^ en w + 2 Wi accroîtra cette expression de 



z=:Arx;t4-X), 



)Ar 



^86 TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE II. 

et celai de u en u-\- itù^ l'accroîtra de même de A'^xa-j-X),, . 
Pour que la fonction .x>/v satisfasse aux conditions requises, 
il sera donc nécessaire et suffisant que Ton ait 

Ac^XA-r-O, AVu-^O, 

ce qui exprime que v\k est une fonction elliptique Hxa, d'ail- 
leurs arbitraire. 

226. Les intégrales jK /A sont donc de la forme 



Mais les constantes a, h et les fonctions elliptiques H ne 
sont pas encore connues. 11 s'agit de les déterminer. 

Le procédé qui nous a permis de reconnaître que l'inté- 
grale générale était uniforme nous a fourni la position de ses 
pôles c, d^ ... et leurs ordres de multiplicité y, S, .... 

D'autre part, la fonction a un seul pôle u^= — a (lequel 

disparaîtra même si a =nr o, auquel cas G(w) se réduit à une 
exponentielle). 

Enfin les fonctions tji,, u.'^ qui figurent dans les poly- 
nômes P admettent le pôle simple u = o. 

Les fonctions 

auront donc les pôles c, <:/,... et le pôle inconnu — a, avec 
des ordres de multiplicité au plus égaux à y, ù, . . ., i; et 
les fonctions 

pourront admettre, en outre, le pôle ?/ = o, avec un ordre 
de multiplicité au plus égal à ï (car si cela est vrai pour les 
lonctions dont le premier indice est *< i, «^ = o sera d'un 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 287 

ordre de multiplicité / pour H/,„, et d'ordre i—l pour le po- 
lynôme Pj-^, qui est d'ordre i — l en [i-i, [i.'J. 

On aura donc, par la décomposition en fractions sim- 
ples, 

H,^= c;,r(^.-c) + ...4-cr,.j;T-H"-e) 

-f- J)],Mi^ --- c) + . . . 4- \^%l^-\u -^- d) 
-h 

svec la condition 

Q,-|-Dî^-f....-|-A;^=:0. 

Les termes de la dernière ligne peuvent être transformés 
comme il suit. 
Posons 

On aura 

k^u -t- a) -^ Kur-^ A/;,[C( .. H- a) - ^a] + hu, 

L 2 pu --p« J 

Par suite de cette transformation, la constante inconnue a 
ne figurera pins dans Y\ik que dans les combinaisons pa^ p'ct- 

227. 11 ne reste plus d'inconnu que les constantes «, 6, 
C^-^, ..., L/y^. On les obtiendra parla méthode des coeffi- 
cients indéterminés, en substituant les valeurs ci-dessus des 
intégrales j)//^ dans l'équation différentielle. 

Clierclions d'abord celles de ces intégrales 

/i/,-:--G(m)Hi/„ 

dont le premier indice est i et qui, par suite, sont double- 
ment périodiques de seconde espèce. Il en existe toujours, 
comme nous l'avons vu. 



288 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITlll!: II. 

On a, en prenant la dérivée logarithmique de G(f7) 



G{u) 



= Kiii -^ a)— H^u -{- b, 



.ra-i^ii---^-^-uA 



- pu~pa 

C'est une fonction elliptique où a et 6 ne figurent que 
dans les combinaisons Ça 4- 6 = 6', pa et p'a. Désignons-la, 
pour abréger, par I. 

On aura 

i^ /u = gh;,,, + G'ii,,= g(h;, + m,,), 

^ j',* =. G(H'„, + m,,)' + G'(H;, -i- IH„) 
-.--G[(H'„-:-IH,,)'+I(H\,-hIII,,)]. 



On voit donc que le résultat R de la substitution dej ,>t 
dans l'équation différentielle est de la forme 

GE, 

E désignant une fonction elliptique dépendant linéairement 
des constantes CJa, -..jLa, qui figurent dans la fonction 
elliptique H,/f, et rationnellement des quantités Ça ^6=^^', 
pa, p'a. 

Les pôles de GE sont les points c, d^ . . . avec des ordres 
de multiplicité au plus égaux à y H- ^, 8 -H ^, ... ; E peut 
admettre, en outre, le pôle simple — a, qui est un zéro de G. 
Le nombre total des pôles de E ne peut donc surpasser 
Y + ^ H- ^ M- ^ + . • . + I . Si donc nous exprimons que cette 
fonction a des zéros en nombre supérieur à ce chiffre, nous 
saurons qu'elle est identiquement nulle, et que jku est une 
intégrale. 

Nous pourrons, par exemple, développer E suivant les 
puissances croissantes de u, et égaler à zéro les coefficients 
des diverses puissances, jusqu'à celle d'ordre 

7 -f- /i 4- H- /z 4- ... 4- I 



ÉQUATIONS LINÉAIHES. 289 

inclusivement. Les équations de condition ainsi obtenues 
forment un système surabondant; mais nous savons a priori 
qu'il a des solutions. 

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport à 
CJ/., . . . , Li/f, rationnelles par rapport à b' ^ p<2, p' a. Ces 
dernières quantités seront donc déterminées par des équations 
algébriques, auxquelles on devra joindre l'équation connue 

p'^-a — f^p-'a — g^pa—g^. 

Une fois pa, p' a^ b' déterminés, on en déduira, par les 
procédés connus, a, Ça, et enfin b —- b' — Ça; enfin, les 
CJ^., . . ., \u\k s'expriment en fonction linéaire et homogène 
d'un ou plusieurs d'entre eux, qui resteront arbitraires. 

Si le nombre total des solutions trouvées est égal à l'ordre n 
de l'équation, ce qui sera le cas le plus habituel, leur com- 
binaison donnera l'intégrale générale; dans le cas contraire, 
il faudra déterminer de nouvelles intégrales. 

228. Supposons que nous ayons construit toutes celles des 
intégrales y th. . • . , s/a, • • • , dont le premier indice est << X, 
€t déterminé les fonctions linéaires correspondantes Y/^, 
Y-yt, .... Cherchons à déterminer les intégrales yy^ (s'il en 
existe) et les fonctions correspondantes Y>;f, Y)/^. 

On a 

où tout est connu, sauf les coefficients indéterminés 

Cx/f, . . ., LxA:j 

dont dépend Hx/t, et les coefficients de Yx^-, Y^^., dont les 
polynômes Pf" dépendent linéairement. 

Substituons cette expression dans l'équation difl'érentielle. 
Le résultat sera de la forme GExa, Exa étant une fonction 
aisée à obtenir par la difl'érentiation et telle que la somme 
des ordres de multipbcité de ses pôles ne surpasse pas 
P -h /i -f- Y -h /^ H- . . . -t- I. D'ailleurs, cette fonction est 
elliptique. En effet, changeons u eu. ?/ -f- 2Ct)< . Il est évidem- 
J. — Cours, III. iQ 



290 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

ment indifférent de faire cette opération sur yi^ avant de le 
substituer dans l'équation différentielle ou de la faire dans le 
résultat de la substitution. Dans le premier cas, on change j^^;^ 
en s^{yl/( -r-Yif(), et, comme Yx;^ est une fonction linéaire 
des intégrales déjà trouvées, le résultat de la substitution de 
cette nouvelle expression se réduira à Si GE^/f. Donc GEx/r se 
reproduit, multiplié par St, quand on change a en a -h 2w, ; 
G jouissant de cette même propriété, Ex/f ne sera pas altéré. 
^^Hl)n verra de même qu'on ne l'altère pas en changeant u en 

Il suffira donc, pour annuler Exa, d'exprimer qu'elle admet 
plus de [S -1- /i -r y -h ^ -h • • • -t- I zéros. On obtient ainsi un 
système d'équations linéaires et homogènes pour déterminer 
les coefficients inconnus. Si ce système est compatible, on 
obtiendra des intégrales de l'espèce cherchée. Sinon, on sera 
assuré que la classe des intégrales vni est entièrement épuisée, 

et l'on fera une recherche analoiîue sur les autres classes d'in- 

o 

légrales. On finira nécessairement par obtenir un système 
de n intégrales distinctes. 

229. Parmi les équations qui rentrent dans le type consi- 
déré ci-dessus se trouve l'équation de Lamé 

—r--j \ /l(n 1- I ) p ff -r- A 1 cT 1= o, 

où n est un entier positif. 

L'intégration de cette équation par M. Hcrmite a été le 
point de départ de la théorie précédente. 

Les intégrales n^ont aux périodes près qu'un point critique 
a r= o, aux environs duquel elles sont régulières. 

L'équation déterminante est 

F ( /•) — /• ( r — i) — /i ( /i -f- I ) m o . 

Ses deux racines, — net n -{- i sont l'une paire et l'autre 
impaire. Soit r l'une d'elles ; on aura une solution de la forme 

u'' -+- ^i u''^- 4- u.,u''^^ + . . , . 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 29 1 

Substituons ce développement de x^ ainsi que celui dej3M 

p w = —- -\- c^w -h C9 u* -\- . . . . 

et égalons à zéro le coefficient du terme en w''+-^'', nous aurons 
la formule récurrente 

dont l'application ne peut donner lieu à aucune diffici 

F(/' -1- 2 [jL-j- 2) n'étant jamais nul. f^^ 

Les deux intégrales particulières ainsi obtenues sont dis-i([J| 
tinctes, car l'une est paire et l'autre impaire. L'intégrale gé- 
nérale résultant de leur combinaison sera uniforme et aura 
un pôle d'ordre n au point m = o. 

Nous allons calculer cette intégrale dans le cas le plus 
simple, celui où n := i . L'équation se réduit à 

^-(2p«+A):r^0. 

Elle admet des intégrales périodiques de seconde espèce 
/ = GH. 

La fonction H n'admet plus le pôle u = o, qui est déjà un 
pôle pour G, elle ne pourrait donc admettre que le seul pôle 
simple M = — a , mais cela est impossible ; elle se réduit donc 
à une constante et nous pouvons la supposer égale à l'unité. 

Nous aurons donc au moins une intégrale de la forme 

^ <s {a --\- a\ , 
y — G := — ^- e*". 

On a 

e''"- =z 1 -t- bu -^ h . . . , 

2 

a(« 4-<^)= aa-l- lia' a-\ [-..., 

^ 2 

— r/i tr -T- . . . . 



au u{i ^ dità-^ . . . ) 



292 TROISIEME PARTIR. — CHAPITRE II. 

d'où le développement 

M 

y h Mo -- Ml W -r M, «^ -:-•.. 

en posant, pour abréger, 

M = a<2, Mq=: baa -h <y' a, 

Ml — -b-aa -^ ba' a-\- -q" a, . . . 
2 2 

d-Y 2 M 

du- lâ 



On a enfin 



2 



«■ 



Substituons ces valeurs dans l'équation. 

Le résultat sera une fonction doublement périodique de 
seconde espèce qui ne peut avoir de pôle (aux périodes près) 
que pour u ^- o. Si nous exprimons que les coefficients des 
])uissances négatives de u et le terme constant s'annulent, la 
fonction, n'ayant plus de pôle, mais ayant un zéro, sera nulle. 

On obtient ainsi les équations suivantes : 

2 M — 2 M — o, 2 xMo - o, 

hU 4- 2M1 = o, 2 M2 — 2 M2 — hMç, — o, 

qui se réduisent aux deux suivantes : 

o ^zMq=z bia -{- (y' a, 
Cl— hM H- 2 Ml =^ h(ja -+- b-(ya H- 2bc!'a + a" a; 



d'où 



et 



U 






OU 



Celte dernière équation donne pour la constante a deux 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. 298 

valeurs égales et contraires ~a et — <2, auxquelles corres- 
pondent pour h deux valeurs égales et contraires, — Ça 
et -h Ça. Nous avons donc, en général, deux solutions parti- 
culières distinctes 

.^<s{a-\-a^ ^ q(u — a) 

a et — a étant les racines de l'équation transcendante 

230. Si h est égal à l'une des quantités ^i, 62, e^, par 
exemple à Ci, les deux racines a = (o^ et — a = — ^^)^ sont 
égales aux périodes près, et les deux solutions particulières 
ne sont pas linéairement distinctes, mais se réduisent à la 
solution unique 

(laquelle ne diflere de (7^Qa que parle facteur constant cfto,). 
Pour obtenir, dans ce cas, la seconde solution qui nous 
est nécessaire, supposons que A, au lieu d'être égal à g,, en 
soit infiniment voisin. L'équation pa ~- h admettra les deux 
racines io^ -\- e et coi — s; nous aurons donc les deux inté- 
grales 



Q~u^{Oi^-hZ) 



X^ z^- g-«!;((o,-£) 



a(« -h 0), 4- s) 
<j{u -^ Wi — z) 

(SU 

^\ -^2 



Leur combinaison donne l'intégrale ~- -^ dont il est aisé 

de trouver la limite pour e = o. 
On a, en effet, 

Ç ( COl -t- ô ) = Ç 0)i -f- £ ^' COj H- . . . 

c ( « -h toi 4- s) = cr( « + (Oi ) 4- ea' ( ^^ -j- cOi ) + . . . 

= a( // + to j [i -^ £^( ^^ 4- a)j ) H- . . . ], 



294 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. 

d'où 

.To s'obtiendra en changeant le siane de b: — aura évi- 

déminent pour limite 

au 
Ce sera la seconde solution cherchée. 

231. Cherchons encore dans quel cas l'équation de Lamé 
admet comme intégrale une fonction elliptique M(u) aux 
périodes 4^i ^t 4^0. 

L'équation n'étant pas altérée par le changement de u en 
— u, u + 2to, , u -i- 2 0)2, admettra aussi comme solution les 
fonctions elliptiques M(~ u), M(w4-2a)i), M{u -h im^). 
Mais ces nouvelles intégrales ne peuvent être linéairement dis- 
tinctes de M{u); car l'intégrale générale de l'équation ne peut 
être elliptique, puisque, parmi les intégrales particulières, il 
en est une qui est une fonction entière s'annulant pour u =^ o. 

On aura donc 

M{~~ u) = cM{u), M(«-i- 2Wi) — c,M(m), 
M ( w + 2 «2 ) — C2 M ( w ) , 

c. Cl, C2 étant des constantes. D'ailleurs, en changeant encore 
une fois u en — u, u -j- awi ou u -r- 2(02, on voit qu'on aura 

C:=-lfcl,C4=dzi,C2=±I. 

On pourra donc écrire 

M(«)— NP, 
N désignant l'une des huit expressions 

(dont le choix dépendra des signes de c, c<, Co) et Pune fonc- 
tion elliptique paire, aux périodes liù^ et 2032, et n'ajantde 
pôle que pour u=zo : ce sera donc un poljnôme entier en pu. 



ÉQUATIONS LINÉAIRES. SgS 

Il est aisé de former les dérivées successives d'une expres- 
sion de cette forme. On a, en effet, 

<7|o u^jyu — eoLy 2 a^o u a^o u a^o u ^- — p' «, 

€t, par SLiile, 

n désignant un polynôme entier en ?/, et N^ le produit com- 
plémentaire de ]N formé J3ar ceux des facteurs cr^o « que N ne 
contient pas. 

On aura, par suite, 

du du 

^_ (n'p -■- 2nP0Ni -^ NjPi, 

P< étant un poljnôme en pu. 
On trouvera de même 






2> 



P2 étant encore un polynôme en pu. 

Le résultat de la substitution de NP dans l'équation de 
Lamé sera donc de la forme 

"^^ - [n{n H- i) pu -f- h] NP r= NQ, 

où Q est un polynôme entier en pu qui s'annulera identique- 
ment si NP est une solution. 
Soit 

et soit k le nombre des facteurs de N. Le premier membre 
sera infini d'ordre k -\- 2 [x -f- 2 pour u = o\\\ en sera de même 
du second. Donc Q est un polynôme de degré [J. + i , tel que 

La comparaison des valeurs principales donne immé- 



296 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE lî. 

diatemcnt 

A;j,+i =3 [{k-À- 2 li. -h i) {k -h 2 10.) — n{n -h i)] a^. 

Les coefficients suivants sont évidemment de la forme 

AjjL = Bj;, — /la^, . . . , Ao = Bo — ha^, 

Bfj., ..., Bo étant des fonctions linéaires et homogènes 
en a^^, . . ., cIq. 
L'équation 

A{j,+, — o 
donnera 

k -h 2ix.z=i n. 

Les autres équations 

Ajj, — o, . . . , Ao = o 

fourniront ensuite les rapports des inconnues «y., . . , , Hq si 
leur déterminant est nul, ce qui donnera pour h une équa- 
tion de decrré a -h i . 

Gela posé, si n est un nombre pair 2 m, on pourra sup- 
poser k = o^ u. = m, ce qui donnera m -h i valeurs admis- 
sibles pour h. 

On pourra encore poser k = '2^ iK=zm — ij et l'on ob- 
tiendra m valeurs pour h; soit 3m valeurs en prenant suc- 
cessivement pour N les trois produits de deux facteurs qu'on 
peut former avec les ^aoi^- 

Le nombre total des valeurs de h, pour lesquelles l'équation 
admet une solution de la forme désirée, sera donc 

772 -f- I H- 3 m rrr 2 71 -i- I . 

Si n est un nombre impair 2 m -'ri, il faudra supposer: 
r' /i- irzz I, p. = m, d'où m -h 1 solutions, ou 3 (m -j- i) en pre- 
nant successivement pour N chacun des trois facteurs o-^ow; 
2° ou A" = 3, |jt. =r m — ^ I , d'où 771 solutions. 

Le nombre total des valeurs de h qui fournissent des solu- 
tions de l'espèce NP sera donc 

3 ( m -h I ) -h 772 -- 2 71 -h 1 , 

comme dans le cas précédent. 



ÉQUATIO>S LINÉAIRES. 297 

232. M. Halphen a montré qu'on peut ramener aux équa- 
tions de M. Picard les équations 

d'^y d"--^ y 

à coefficients elliptiques, lorsque les rapports de leurs inté- 
téfirrales sont des fonctions uniformes. 

Soit, en efTet, a l'un des pôles des fonctions/?,, ..., p,i. 
L'équation déterminante qui correspond à ce point sera 

/■ ( /• — I ) . . . ( A- — /i -h T ) 4- «r ( /■ — I ) . . . ( r — /i H- 2 ) 4- . . . z:= o^ 

a désignant le résidu de p^ par rapport au point a. 

Les quotients des intégrales étant uniformes, les racines 
de cette équation différeront les unes des autres de nombres 
entiers. Si donc on désigne par /• l'une d'elles, leur somme 
sera égale à 

nr -h e, 

e désignant un entier. 

Mais cette somme est égale à 

n{n — I ) 
2 

On aura donc 

nr -\- e zzz — a. 

Faisons la somme des égalités analogues pour les divers 
pôles a contenus dans un parallélogramme de périodes. La 
somme des résidus a étant nulle, il viendra 

/iSa' =r entier. 

Donc YaV est un nombre commensurable. 
Soit m le plus petit entier tel que la quantité 

m^Sr — E 



'^^BH A ,i y 

OF THTî 

UNIVERBi 



298 TROISIÈME PARTIE. 

soit un entier. Posons 



CHAPITRE II. 



fa-^y'n[.(« -.)]'• 



Si nous changeons z/ en z^ + 2 m (o ( 2 co désignant une pé- 
riode primitive quelconque) a-(w — a) se reproduira, multi- 
plié par 



g2/«r((?t4-m(o— aj+mTif 



et (7— se reproduira, multiplié par 
Donc P se reproduira multiplié par 

^[2m Yl (t<-f-7rt(jO — a)-f-2 7t/j r— 2Yî( — + 0) j-l-7lMl 
P' 

et sa dérivée logarithmique ^ sera accrue de 



im 



.^r 



2r, - t= o. 
m 



Donc -p est une fonction elliptique aux périodes 2mto<, 



imiù2' 



Ttll pw 

Il en sera de même de -—y -^-j - ■ - ■> en vertu de la formule 



récurrente 



PH- _ ^ P!^-^ P!^-' P' 
"F "^ ^ ~P ~ "^ "P~ p" 



Posons maintenant 





y^Vz. 




La transformée en z sera 




du" 


d"-''z /i(/i — i)p, 

Û^M"-^ 2 


du"-'' 


-4-/^lP 


+ (/i- 1)7^1 P' 
4- 7?2P 





o, 



ÉQUAKONS LLNÉAIHES. 299 

et si nous divisons par P, les coefficients seront des fonctions 
elliptiques aux périodes ijiuji^, 2mw2, cslt pi^p^^ ... ad- 
mettent ces périodes. 

D'ailleurs, l'intégrale générale z = '^ âe cette équation est 
uniforme; les points critiques de ^ = '^ sont : i" les points 



pour lesquels y et P sont tous deux de la forme 

(a H- 2miCi>i -h 2/?22W2)'"S, 

S désignant une série de puissances entières; ces points 
seront donc des pôles pour z; 2" si l'entier E est négatif, les 



zéros de a- — ? lesquels seront aussi des pôles pour z. 

L'équation transformée appartiendra donc au type de 
M. Picard, sauf que les périodes des coefficients ne seront 
plus 2Wi, 2iû2, mais 2//ic0i, -innù^. 



OOO TîiOISIÎiMK PAHTIF. — CUAPITIIE III. 



CHAPITRE m. 

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



I. -- Notions préliminaires. 

233. Tout système d'équations aux dérivées partielles 
F =:^ o, Fi = o, ... entre des variables indépendantes ^r,, ...^ 
Xn, des fonctions de ces variables «,, . . . , iim et leurs dé- 
rivées jusqu'à l'ordre p peut être remplacé par un système 
ne contenant que des dérivées partielles premières. 

En effet, chacune des dérivées partielles d'ordre p^ qui 
figurent dans les équations, est, par définition, la dérivée pre- 
mière d'une des dérivées partielles d'ordre /> — i; celles-ci 
sont des dérivées premières de celles d'ordre/? — 2, etc. Si 
donc nous prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées 
partielles d'ordre <C/^, les équations F =: o, F, = o, ... ne 
contiendront plus que des dérivées premières^ et il en sera de 
même des équations qui définissent chacune de nos incon- 
nues auxiliaires, et qui, jointes aux précédentes, constitue- 
ront un système évidemment équivalent au système primitif. 

On peut donc se borner à considérer les systèmes d'équa- 
tions simultanées aux dérivées partielles du premier ordre. Il 
est même permis de supposer que les dérivées partielles n'y 
figurent que linéairement, à la condition de joindre aux 
équations différentielles certaines conditions accessoires. 

Soit en effet 

du y du,n 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 00 J 

un semblable système. Prenons pour inconnues auxiliaires 

les dérivées partielles - — ; •••> - — ? que nous représente- 

rons par /?ii, . . ., pm/i- Le système donné équivaudra au 
suivant,: 

i F(.ri, . . .,^„; Wi, .. ., i/„,;/?ii, .. .,Pnin) =0, 
' î 

D'ailleurs, pour que F, . . . soient identiquement nuls, il 
faut et il suffit : i" qu'ils s'annulent pour une valeur parti- 
culière ^t de la variable ^, ; 2" que leurs dérivées par rapport 
à ^^ soient nulles. Nous pourrons donc remplacer les équa- 
tions (i) par les suivantes : 

/ o\ i '^H^lj • • • > ^fi ; ^1? • • • j f^/n ; Piif ■ ' • , Ptnn ) '■= ^j 



pour Xt-~^i, et 



^F dF dF 

^j?i difi du ^ 



ml 



<4) { ^ àpu , ^ àp_ 

dp II ÔJ^i ' * ■ "" dp,nn àx^ 



'"" "-- o, 



Or les équations (-2) et (4) forment un système d'équa- 
tions linéaires, auquel il suffira de joindre les conditions ac- 
cessoires (3). 

234. Un système d'équations aux dérivées partielles 

Fi — o, ..., Fj— o 

entre n variables indépendantes x^, . . .^ x^ et m fonctions 

Wj, . . ., Um sera en général incompatible, si le nombre i de 

ses équations surpasse le nombre m des fonctions inconnues. 

Supposons en effet que les équations données renferment 



302 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

les dérivées partielles des fonctions u jusqu'à l'ordre yj. Joi- 
gnons à ces équations leurs dérivées partielles successives 
par rapport aux diverses variables indépendantes. Il arrivera 
nécessairement un moment où le nombre des équations ob- 
tenues surpassera celui des fonctions u et de leurs dérivées 
partielles qui y figurent. En effet, lorsque nous prenons les dé- 
rivées partielles d'ordre A' des équations primitives, nous ob- 

./^(/^ 4- 1). . .(/i -h A" — i) , . „ 1, 

tenons i—^ —. équations nouvelles; cl autre 

1.1. . .k ^ 

j3art, nous introduisons comme nouvelles inconnues les dé- 
rivées partielles d'ordre p -\- k des fonctions u, dont le 

, ^ n(n-V-i)...{n-^p-\-k--i) ^ , 

nombre est m — ^ —r\— — — ^e nombre sera 

I.2...(/?-hA) 

inférieur au précédent, dès que A commencera à satisfaire à 

l'inégalité 

( n -^ /c) . . . (n -h p -^ k — ]) 

l > 7?l ^ -~ ; 

{l-\-k)...{p -r-k) 

A partir de ce moment, le nombre des équations succes- 
sivement obtenues croîtra plus vite que celui des inconnues 
et finira par le surpasser. Eliminant alors ces inconnues, on 
obtiendra une ou plusieurs relations <^ï> = o, (ï>, = o, ... 
entre les variables Xi, . . . , Xn', celles-ci étant indépendantes 
par hypothèse, on voit que les équations données seront in- 
compatibles, à moins que <I>, <I>,, ... ne soient identique- 
ment nuls, ce qui donnera autant d'équations de condition 
nécessaires pour que les équations F| = o, ..., F/^^o 
puissent subsister simultanément. 

235. On voit de la même manière qu'un système de m 
équations aux dérivées partielles 

Fj— o, ..., F^— G 

entre ^, , , . . , Xn et m fonctions lit, . . . , Um peut en général 
être ramené à un système d'équations 

* -z o, 4>i--o, 



ÉQUATIONS AUX DfilîIVÉFS PARTIKLLES. 3o3 

ne contenant plus qu'une seule fonction inconnue u^ ; car, 
en joignant aux équations proposées leurs dérivées partielles 
successives, il arrivera un moment où le nombre des équa- 
tions obtenues surpassera celui des fonctions Wo, . . ., Um et 
de leurs dérivées partielles. L'élimination de ces inconnues 
donnera de nouvelles équations <ï> = o, ^i = o, ... entre 
^<, . . . , Xfi, U\ et ses dérivées partielles. 

236. Considérons un système d'équations aux dérivées 
partielles 

F, = o, ..., F,„ — G 

entre les variables indépendantes x^, . . . , ^/^ et m fonctions 
Wi, . . . , ?/to; et soit rk l'ordre des dérivées partielles les plus 
élevées de la fonction ui^ dans ces équations. On pourra, en 
remplaçant x^^ . .., x,i par de nouvelles variables indépen- 
dantes 

(5) , 

l JK« —- ^nl^i -\- • ' '-\- C,j,iX ,1^ 

choisir les constantes c, de telle sorte que chacune des dé- 
. ,, ^ • • • ? -, ,., 5 • • • ii£ure dans les équations trans- 



nvees 



formées. 

Va\ effet, on aura 



d _d_ 



= c, 



(Chacune des dérivées partielles des fonctions «,, . . ., Uf^ 
par rapport aux variables x^^ . . . , x^ s'exprimera donc li- 
néairement au moyen des dérivées partielles du même ordre 
prises par rapport aux nouvelles variables^', , • • - 1 J'/i- 

Posons, pour abré^^er, 

d^^fT:7dxf — ■^«••••«'>' 
L'une au moins des équations données , par exemple 



3o'| TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

F^rrro, Contiendra des dérivées pariielles d'ordre r, de la 
fonction u^ ; soient 

P<x^...'x'„, Poil... y.",,, 

ces dérivées partielles. La dérivée -~ sera de la forme 

A~ — ^o~f~ ^i/^ai-t-i,...,a„-i- ^2Pai+i, ...,a'^--- • • , 

G<, Go, ... n'étant pas identiquement nuls et ne conte- 
nant, ainsi que Gq, aucune dérivée de Ui d'ordre > /'< . 

Transformons cette équation par la substitution (5); il 
viendra 

ÔF, ÔF, ÔF, 



/^a;+l,...,a'„"- (<?ll^ -i--..-^C„i-^ ) ' ... [cya^-^^- -^Cnn-^-] '^^h 






R' étant linéaire par rapport aux dérivées partielles d'ordre 
r< -4- I de la fonction Ui, autres que celle que nous avons 
mise en évidence. 

Les autres dérivées d'ordre /'< H- i qui figurent dans l'ex- 
pression de -v-^ donnent un résultat analogue. 

On aura enfin 

Fo, r,, ... ne contenant les nouvelles dérivées partielles 

de Ui que jusqu'à l'ordre /'<. 

dF. 
On aura donc, pour transformée de -y — , l'expression 

dF, dF, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3o5 

Rne contenant pas la dérivée -^-r^- D'ailleurs le coefficient 
de — — — j- ne peut être identiquement nul; car, en l'expri- 
mant au moyen des anciennes variables x, il devient 



Gi c^i'^^ . . . c, :: -h ijr,c.: - . . . c 






et comme Gi, G2, ... ne sont pas identiquement nuls, il ne 
peut évidemment s'annuler que pour des valeurs particu- 
lières des constantes c. En ayant soin d'éviter ces valeurs, on 
voit que 

contiendra la denvee -r— — r? ce qui serait évidemment 
impossible, si Fi ne contenait pas la dérivée -^-7-* 

237. Nous nous bornerons à considérer le cas où les équa- 
tions transformées ont pour premiers membres des fonctions 

distinctes des dérivées -, — -? •••? -^; — -- En les résolvant 

par rapport à ces dérivées, nous pourrons mettre le système 
sous la forme normale 

(6) '^}=^., """'" — 



à/? " ' àfr 

^,, ..., 4>,„ étant des fonctions des variables indépendantes 
;Ki, ...,jK«,des ionctions w<, ..., Um et de leurs dérivées 
partielles jusqu'à l'ordre r< , ..., rm respectivement (celles 
de ces dérivées qui figurent aux premiers membres étant 

exceptées). 

Théorème. — Les quantités y ^^ ..., y m U\, •••, Um, .••7 

, ., ^ „ — ) ••• qui fleurent dans les fonctions <ï>,, ..., ^m 

étant traitées comme des variables indépendantes, soit 
J. — Cours, HT- 20 



3o6 TROISIÈME PARTIE. — CIIAPITIIE III. 

a<, . . ., an^ ^Jo-o • • •> K\---^ • ••' ^a,a,...5 • • • un système quel- 
conque de valeurs de ces variables aux environs duquel 
<[>!, .... ^„i soient développahles par la série de Taylor. 
Soient d^ autre part 

des fonctions quelconques de y 2, .-., y, 71 développahles 
par la série de Taylor aux environs du système de va- 
leurs a^i . . ., ani, et telles en outre que V on ait en ce point 

On pourra déterminer, et cela d^ une seule manière , un 
système de fonctions u^^ . . .;, Um des variables y ^, . . ., y„, 
développai? le par la série de Taylor aux environs du 
point a^, . . ., a,j, et qui satisfasse aux équations (6) ainsi 
quaux conditions initiales suivantes : 

Sdui . d''^-^ u. 



lh^^2, 



Cette proposition fondamentale est due à Cauchy. M*"^ de 
Ivowalewska en a donné une démonstration élégante, que nous 
allons reproduire. 

238. Considérons tout d'abord le cas où les équations aux 
dérivées partielles proposées sont du premier ordre, linéaires 
et homogènes par rapport aux dérivées partielles, et ne con- 
tiennent pas les variables indépendantes, de telle sorte que 
le système (6) se réduise à la forme 

(iz=ri, 2. . . ., m; k=^i,2, . . ., m; l=z 2, . . ., n), 
où les G sont des fonctions de Wj, . . . , Um, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Soy 

L'énoncé du théorème général se réduira alors au suivant : 

Soient 6', . . ., 6'" un système de valeurs de U\, . . ., «/«, 
aux environs duquel les fonctions G soient développables 
par la série de Taylor; a^, ..., an d'autres constantes 
quelconques. Soient^ d'autre part, cp<, ...^ cp,„ des/onctions 
de yo, ■■', Ym qui se réduisent respectivement à 6\ ..., b"'^ 
pour y.^=:z a-^-, •••, .y«= <^«? et qui soient développahles 
par la série de Taylor aux environs de ce système de va- 
leurs. On pourra déterminer d'une seule manière un 
système de fonctions u^, . . ., u,n des uariabtes y^, . . . , yn, 
développahles par la série de Taylor aux environs du point 
y^z=z a^^ . . .^ y,i = a,i^ qui satisfassent aux équations (8), et 
enfin se réduisent respectivement à cp^^ ..., (Dmpoury^z=ai, 

Nous supposerons, pour simplifier l'écriture, que a^, ..., 
«„, b* , . . ., b"^ soient nuls, ce qui ne nuit pas à la généra- 
lité de la démonstration, car on pourrait au besoin prendre 
pour variables indépendantes jki — ^i, . . ., yn — an et pour 
fonctions inconnues u^ — 6', ..., Um~b^\ enfin, consi- 
dérer à la place des fonctions cp^, ..., ^m les fonctions 
o, — ^', ..., cp,„— h^. 

D'après les hypothèses faites, les fonctions G^^ sont déve- 
loppahles en séries, de la forme 



(9) Gi, = ^Ai^;t..«^ 



Ces séries étant convergentes tant que les modules de u^. 
«2? • •• seront assez petits, on pourra déterminer deux con- 
stantes M, r, telles que l'on ait 

_ M 



A 



ikl 



et, a fortiori^ 

(,o) |A«L,.|^i^^^^^i^-^ 

On aura de même 



f'='^H.K.Ayî'---' 



3o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

et l'on pourra déterminer deux constantes N, p, telles que 
l'on ait 

( " ) I iip. p.... I < — p j|;r:."-- ^î^. 

Les fonctions cliercliées U{, ..., ?«,„, devant être développa- 
Lies suivant les puissances de j^,, . . ., y,^ pour ri = o, seront 
de la l'orme 

('2) «/=?/-+-?/l/l+ ?/27? + . . -, 

cp/,, cp/2, ... étant des séries qui procèdent suivant les puis- 
sances dejKo, ..•,r«- 

Remplaçons, dans les équations (8), les fonctions GJ^.^, puis 
les fonctions ui par les développements (9) et (12), et éga- 
lons les coefficients des mêmes puissances de jki dans les deux 
membres; nous obtiendrons, pour déterminer les coefficients 
o^, , . . ., Z)i^, . . ., une série d'équations de la forme suivante : 



(•3) (:^-i-l)(p,,f,^,:=F 



h [>-- 



^i,\t.+i étant une somme de termes dont chacun est le pro- 
duit: 1° d'un entier positif; 2" d'un des coefficients A; 3° d'un 
produit de séries cp dont le second indice ne surpasse pas jji; 
4" d'une dérivée partielle de l'une de ces fonctions (p. 

Les formules (i3) fourniront, par voie récurrente et sans 
ambiguïté, les valeurs des diverses fonctions cp/j^ sous forme 
de séries procédant suivant les puissances de r2, ..., JK/?, 
chaque terme ayant pour coefficient un polynôme formé avec 
les coefficients A, B et dont chaque terme est affecté d'un 
facteur numérique positif. 

Nous trouvons ainsi une solution unique; mais, pour 
prouver qu'elle est acceptable, il reste encore à établir la 
convergence des séries obtenues. 

239. Or il est clair qu'on diminuera les chances de con- 
vergence en remplaçant les coefficients A, B par les limites 
supérieures (10) et fi i) de leurs modules; mais nous allons 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SoQ 

prouver que, même dans ces conditions défavorables, la con- 
vergence subsiste lorsque JK<, ..., J^« sont suffisamment petits. 
On a, en effet, dans ce cas, 



€t de même 



H M ^^''^^^^••- = ^^ 



Ui 4- «2 + 






p — • i 



en posant, pour abréger, jr2 4- • • • + Jn -- t- 

Les équations aux dérivées partielles deviendront donc 



€t les conditions initiales seront 



Posons 



(i5) Ui~- pour/i — o. 

p — f 



Les équations (i4) et(i5) se réduiront aux deux suivantes: 

r 



(17) "^"^r-i poui*/i=o- 



P 



Or l'équation (16) étant mise sous la forme 



son premier membre est le jacobien des deux fonctions ^ et 



3lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

ni'h 



I — j t -i-MmÇn — ■i)yi. Elle équivaut donc à la rela- 
tion 

F étant une fonction arbitraire. Cette fonction sera détermi- 
née par la condition (17), laquelle donne 

L 'HP-OJ V?- 

ou, en posant 

= t', d où t:= 



F((0 



/■ / N -h (^ 
Donc à sera déterminé par l'équation 

Les deux racines de cette équation se réduisent respective- 
ment a zéro et a — pour jki = 0,^=0. Aux environs de ce sys- 
tème de valeurs, elles sont développables en série convergente 
suivant les puissances de y^ et de t. Prenant celle de ces deux 
séries qui s'annule pour y^ = o, 1 = 0, on aura la fonction 
cherchée <}^(jKi) O1 dans laquelle on n'aura plus qu'à substi- 
tuer ^=jK2 + « • '-^yn pour obtenir les développements de 
Ui, . . . , «/,i, qui seront évidemment convergents tant que les 

modules des variables y seront moindres que ? R dé- 

signant le rayon de convergence de la série ^(jKi, t) par rap- 
port aux variables j^^ et t. 

240. La démonstration du théorème général du n° 237 se 
ramène aisément au cas particulier que nous venons de dis- 
cuter. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3ll 

Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les dérivées 
partielles 



(}/^' dyf- 



Pu,,'Xi,...1 



qui figurent dans les équations (6) et, pour plus de symétrie, 
posons en outre Ui= Po,o,...' ^es équations (6) et (7) devien- 
dront 

(18) pi-,,o,...,o = ^iifu •-, yn,Pl,o,...^ • • • ' /4.,a, ...,-■'), 

(19) ^a„o,o,...--?f' pourri = ai et a^ < r,-. 

Ces dernières équations, dérivées par rapport à r^, ■■■^ ym 
donneront plus généralement 



( 20 ) /?^„a. ..,a„ = ;^- -^~-- pour /, == a, et a, < n 

et, par suite, 

Enfin, si l'on pose J^^^ = «, dans les équations (18), il 
viendra 

(21) p^.,o,o,... = */(^«^i,---.r«j?i.---. j^^— r-^'--- ) pourr — «1. 

Aux équations («8), (19), (20), il faut encore joindre celles 
qui définissent les dérivées partielles />a„a2,...,a„,5 à savoir 

Api 

(22) --^-'-^^" — /?a,+ i,o,o,..., si a,<ri 
et 

( 23) /-?^,.a....,a„=- -T^,-; ^.^^-7- ' Si a^ -h . . . + a, ,> o. 

Les relations (20) et (21) expriment d'ailleurs que les équa- 
tions (23) et (18) sont satisfaites pour J'^=:ra^. En tenant 
compte de cette condition, on pourra évidemment remplacer 
ces équations (23) et (18) par leurs dérivées partielles par 
rapport à y^ . 



3 12 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

On trouve ainsi, en supposant ao >> o par exemple, 



(23)' 



rin^ /^)i+a,-i-...-+-a„ ,J A,J 

t//>a,,a.,.. „a„ (' ^ "Pa.fiO,... Opa 



y.,-hi,'x. 



Si 7,2 était nul, mais a^ >> o, on trouverait de même 



(23)" 



^/^a,.o.ot3,... <^/^a,+i,o ,«,,— ï.... 

et, enfin, si ag, . . . , a/;_, étaient nuls, d'où a. 



Prenant enfin la dérivée partielle des équations (18) par 
rapport àjKi, et substituant dans le second membre aux déri- 
vées partielles des p leurs valeurs (22), (23'), (23^'), ..., 
(23"0> il viendra 

/ <?/? ^.0,0,... _ <^*^ , V ^^J—r^fc 



àpla,,... ^/2 

1.0, 



^^*i>/ ^/>a, 



241. Nous avons ainsi remplacé le système des équa- 
tions (6) et des conditions initiales (") par celui des équa- 
tions (22), (23y, (23)", ..., (23)'^^ et (24) et des conditions 
initiales (20), (21). Nos nouvelles équations sont du pre- 
mier ordre et linéaires; mais elles ne sont pas homogènes et 
contiennent encore en général les variables indépendantes 
jKo • • 'lyn- Pour achever de les réduire à la forme voulue, 
introduisons de nouvelles variables auxiliaires t^, . . . , tn 
définies par les équations 

Elles satisfont aux équations aux dérivées partielles 

, ^. dty du dt„ 

(2Î)) -—— I, T-=^' •••' T- — ^ 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l3 

et aux conditions initiales 

(26) t^--a^, t.,=iY-2^ '", in~yn pourri — <^1- 

11 est clair que ces conditions suffisent à les déterminer. 
Joignons ces conditions aux équations précédentes et trans- 
formons d'ailleurs celles-ci : 1° en y remplaçant dans les dé- 
rivées partielles de <ï>f- les variables indépendantes j^i, .-.jjK// 
parles quantités équivalentes t^, ..., t„; 2" en multipliant 
tous les termes des seconds membres qui n'ont pas en facteur 

une dérivée partielle des inconnues p par y- > qui est évi- 
demment égal à I. Cette transformation opérée, les in- 
connues p et t seront fournies par un système d'équations 
linéaires et homogènes du premier ordre, auquel on devra 
joindre les conditions initiales (20), (21), (26) qui ont lieu 
pour >'i = a^. 

Les valeurs des variables ^< , . . . , tn et /?a„a2,. .,a„ po'^ii' 
y^ --ai, . . ., yn=- ciii sont d'ailleurs a,, . . . ^ an et ^a„aj,..,a„- 
Aux environs de ce système de valeurs, les fonctions ^i sont 
par hypothèse développables suivant la série de Taylor; il 
en sera de même de leurs dérivées partielles. 

Toutes les conditions nécessaires à l'application du théo- 
rème du n° 238 se trouvant ainsi remplies, nous obtiendrons 
pour les inconnues t et />, et en particulier pour les in- 
connues primitives 

des séries procédant suivant les puissances dejKi — <^\-, • ••» 
yji — a,i et satisfaisant à toutes les conditions du problème. 
Les fonctions ut ne sont définies par ces séries que dans 
la région où celles-ci sont convergentes; mais on pourra 
suivre leur variation de proche en proche par les mêmes 
procédés que nous avons employés pour l'étude des équa- 
tions difTérentielles à une seule variable indépendante. 



3l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

II. — Équations aux dérivées partielles du premier ordre. 

242. Considérons Féq nation aux dérivées partielles li- 
néaire et du premier ordre 

(i) Pi/?i-h...-hP„/?,,^Z, 

où Pi, . . ., P„, Z sont des fonctions des variables indépen- 
dantes Xi, . . ., x,i et de la fonction inconnue z] p^, . . ., p,, 

désignant les dérivées partielles -r-^-, • • • ? y^- 

La fonction z étant supposée définie par une équation im- 
plicite 

(2) *(^l, ...,^„,^)z=0, 

cherchons à déterminer la forme de la fonction <ï>, de telle 
sorte que l'équation (i) soit satisfaite. 

L'équation (2) dérivée par rapporta Xi donnera 

Substituant dans (r) les valeurs des dérivées partielles /?; 
tirées des équations (3), il viendra 

Pour que la valeur de z tirée de (2) satisfasse à l'équa- 
tion (i), il sera donc nécessaire et suffisant que Féquation (4 ) 
soit une conséquence de (2). 

Gela posé, intégrons le système des équations difî'éren- 
tielles 

dx^ _ _ dx„ __ dz 

^^) P7' "P7" Z- 

Les équations intégrales, résolues par rapport aux con- 
stantes d'intégration C^, . . ., Cni prendront la forme 

(6) ?i=^i, •••, ^n~C,n 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3l5 

cp,, . . ., On étant des fonctions de ^,, . . ., Xn, z. On sait (42) 
qu'en posant 

F désignant une fonction arbitraire, l'équation (4) sera 
identiquement satisfaite. 

Nous obtiendrons donc une solution de l'équation (i) en 
déterminant ^ par l'équation 

F(?t, •• .,<?„) = o. 

Mais il n'est pas établi que cette solution soit la seule pos- 
sible, car il n'est pas nécessaire, pour qu'on ait une solu- 
tion, que l'équation (4) soit identique. Il suffit qu'elle soit 
satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de x^, . . ., x^ z 
qui satisfont à <ï> = o. 

Pour déterminer les autres solutions, s'il en existe, nous 
remarquerons que les équations (5) ayant pour intégrales 
générales les équations ((3), les équations (5) ou les équa- 
tions équivalentes 

P2 dx^ — Pi dx^ =0, . . . , P/i dxy — Pi dxn '-=^ o, 

Z dx^ — Pi dz = o 

sont des combinaisons linéaires des équations 

<i^i=o, ..., r/'^„— o. 

On aura donc, en désignant par A,,, ...; Bj, ... des 
fonctions de ^,, . . ., Xn-, z faciles à déterminer, 

(7 ) Pj dxy — Pi dxi= A/i <icpi -^ . . . 4- AjVi <^'f „, 

(8) Z dx^ — Pi dz = Bi (icpi + . . . H- B„ ^cp„. 

Multiplions les équations (7) respectivement par /?<, ..., 
pi^ ... et retranchons-en l'équation (8). En tenant compte 

de l'identité 

dz ■=. pi dxi M- . . . -h /?„ dXf^ 

et posant, pour abréger, 

\ kikPi— B^T^G^t, 



3l6 TR0ISIÈ31E PARTIE. — CHAPITRE IIÎ. 

il viendra 

( Pi/?i -t- . . . 4- ^nPn — Z) dx^ -- \ Ca d'Of,. 

Si nous supposons l'équation (i) satisfaite, cette équation 
se réduira à 

Si donc les quantités G^ ne sont pas toutes nulles, les dif- 
férentielles d'^^y ..., d'^n seront liées par une relation 
linéaire, et l'on aura entre les fonctions cp une relation . 

C'est la solution trouvée tout à l'heure. 
Reste l'hypothèse 

Ci=:0, ..., C/,= 0, 

Ces équations, combinées avec l'équation donnée 

déterminent/?,, ..../>„, ^ en fonction de x,, ..., Xn- I^es 
valeurs ainsi obtenues fourniront une solution si elles satis- 
font aux relations 

dz 

ce qui n'aura évidemment lieu que dans des cas très excep- 
tionnels. 



243. Applications. — i° Soit à intégrer l'équation aux 

dérivées partielles 

dz . dz 
ôœ oy 

des cylindres parallèles à la droite [x=^az,y^=^ b.z). On 
formera le système 

dx __ dy ,^ 

a b 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SlJ 

dont l'intégrale générale est 

œ — <2^ = 6', f — bz:=Ci. 

L'équation proposée a donc pour intégrale générale 

<î>(^ — az, y — ^^)=r:0. 
2" Considérons l'équation aux dérivées partielles 

^ (^^ f r^\àz 

des cônes ayant leur sommet au point a, p, y. On formera 

le système 

dx clv clz 



X — a y — |3 z — Y 
dont l'intégrale générale est 

log(^ — a)zrrlog(^ — Y)H-const., 

log(^ — p) =^ lo8'(^ ~ ï) + const. 
ou 

X — a r — 3 

= const., ' ri:; const. 

- — ï - — Y 

L'intéerrale cherchée sera 



f X — CL y —fj\ 



3" Considérons l'équation aux dérivées partielles 

des surfaces de révolution autour de l'axe - = — = - 

a [i Y 

Nous aurons le système 

dx dy dz 



Soit dt la valeur commune de ces rapports ; on aura 

dx =z (y/ — P ^) dt, drz=L{o(.z — -^(x) dt, dz-=zz{^x— a r ) dt. 



3l8 TROISIÈi<[E PARTIE. — CHAPITRE III. 

On en déduit immédiatement les combinaisons intégrables 

œ dx -\- ydy -{- z dzz^o, 

OL dx -i- ^ dy -\- ^( dz r=zo\ 
d'où 

^--r-y^-h ^'= const, ax -h ^y -h ^z=z const., 

et l'intégrale cherchée sera 

^{x'-i-y--^ z^, OLX -h pjK + Y-^) =^ ^• 

4*^ Soit, en dernier lieu, l'équation 

dz dz 

dx '^ dy 

qui définit les fonctions homogènes de degré n en x^ y. On 

formera le système 

dx dy dz 

X y nz' 

d'où 

— r= const., — == const.. 

y ' X"- 



L'intégrale générale sera donc 



ou, en résolvant par rapport à — ^j 

x"- -^ \y 
et enfin 

244. Passons à l'étude des équations aux dérivées partielles 
du premier ordre en général. 
Soit 

(9) * = o 

une équation entre n variables indépendantes ^i, ..., x„, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sig 

une fonction z de ces variables et n constantes arbitraires 
«1 , . . ., Œn. En éliminant ces constantes entre l'équation <I> = o 
et ses dérivées partielles 

nous obtiendrons, en général, une seule équation aux déri- 
vées partielles 

(il) F(^, ^1, ...,^„ ;/?!,...,/?„) =0. 

La fonction s, définie par l'équation (9), sera une solution 
de cette équation, quelles que soient les constantes <2,, ..., a„. 

Une semblable solution a reçu le nom à^ intégrale complète. 
Il est aisé d'en déduire les autres solutions de l'équation aux 
dérivées partielles. 

On pourra, en effet, dans cette dernière équation, faire 
abstraction de la condition que/>i, ...,/?„ soient les dérivées 
partielles de 5, pourvu qu'on y joigne la relation 

(12) dzr=ip^dx^-+- . . . + p^dXfi^ 

qui exprime précisément cette dernière propriété. 

Gela posé, l'équation (11), résultant de l'élimination de 
<2|, . . . , a,i entre les équations (9) et (10), sera algébrique- 
ment équivalente à celles-ci, pourvu qu'on y considère les a, 
non plus comme des constantes, mais comme des inconnues 
auxiliaires. 

Nous aurons donc à déterminer les inconnues z, a^^ . . . , 
a„, /?<, . . . , pfi par les équations (9), (10) et (12). 

Cela posé, différentions l'équation (9), il viendra 

— - az -h -r — dxi -I- ... 4- -^ — da, -h . . . -f- ^^ — da» = o 
oz dûT.^ da^ oa^ 

ou plus simplement, en vertu des équations (10) et (12), 

(10) -:i — «<2. -f- . . . H- -r — da,, ■= o. 

oai da^ 

Cette nouvelle équation aux différentielles totales pourra 



320 TROISIÈME PAllTIE. — CHAPITRE 111. 

remplacer l'équation (12) pour la détermination des fonc- 
tions inconnues. Il existe plusieurs manières d'y satisfaire : 
i"* On peut d'abord poser 

"Y - — o, . . . , - — — o. 

Ces n équations, jointes à (9) et (10), achèveront de dé- 
terminer une solution, à laquelle on donne le nom à'' intégrale 
singulière. 

'2" Si les - — ne sont pas tous nuls, l'équation aux différen- 
tielles totales(i3)montre qu'il doit exister au moins une équa- 
tion de condition entre les inconnues <2,, . . . , aa- Admettons 
qu'il en existe k distinctes, à savoir 

(14) /1--0, ..., A — o. 

On en déduira, entre les différentielles da^^ . . . , dan, les k 
relations 

dfi — o, ..., dfu~o, 

dont l'équation (i3) devra être une conséquence. On aura 
donc identiquement, en désignant parX,, . . . , Xa des facteurs 
convenables, 

•— - <iai -H . . . -1- -.— da„ — \ dj\ -h ... 4- \kdfi, ; 

d'où, en égalant les coefficients des diverses différentielles dai, 

dat dat dai 

Ces équations, jointes au système (g), (10), (i4 )> détermi- 
neront toutes les inconnues du problème, y compris les mul- 
tiplicateurs \. Les fonctions /<, . . . ^ fk restent d'ailleurs 
arbitraires. 

Le système de ces solutions, renfermant des fonctions 
arbitraires, se nomme Vintégrale générale. 

Si nous donnons, en particulier, à k sa valeur maximum n^ 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 321 

les quantités a, étant liées par n équations, seront des con- 
stantes, d'ailleurs arbitraires. Nous retrouvons donc, comme 
cas particulier de l'intégrale générale^ l'intégrale complète 
d'où nous étions parti. 

On voit par cette analyse que la recherche des solutions 
d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre 

(i6) F(i;,^i, .. .,^„;/-?i, ...,y^„)=ro 

se ramène à la détermination d'une intégrale complète. 

Plusieurs méthodes ont été proposées pour arriver à cette 
intégration ; nous allons exposer les trois principales. 

245. Méthode des caractéristiques . — Posons, pour 
abréger. 



et soit 

(17) Z-=:^^{.Xi, ...,^„), 






une solution quelconque de l'équation proposée. A chaque 
système de valeurs de x,, . . . , Xn correspondra un système 
de valeurs de z et de ses dérivées partielles /?<, . . . , /?,^. 

Nous appellerons éléments de la solution considérée les 
divers systèmes de valeurs simultanées de :r<, . . . , x^, z-, 
p^, . . . ^ p,i qui satisfont aux équations (i7). 

Soit z^^ x]^ p] l'un de ces éléments. Supposons qu'on 
fasse varier les quantités Xi à partir de leurs valeurs ini- 
tiales jt'J*, de manière à satisfaire constamment aux équations 
différentielles 

(.8) i^=...= '^^=dt, 

t désignant une variable auxiliaire, dont la valeur initiale soit 
nulle. 

Les systèmes de valeurs successifs de ces quantités, asso- 
ciés aux valeurs correspondantes des quantités s, y?/, donne- 

J. — Cours, III. 21 



322 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

ront une suite d'éléments de l'intégrale, à laquelle nous don- 
nerons le nom de caractéristique . 

246. Soient ^,.27/,/?^ l'un de ces éléments; z -\- 8^, Xi-\- ùxi^ 
pi-\-^Pi un élément quelconque de l'intégrale, infiniment 
voisin de celui-là. On aura, par définition, 

(ig) 5s = />i 0^1 + . ..-!-/>,, 5.T,,, 

et, en dési2:nant par Pif( les dérivées secondes -^ ^^ — j 

(20) ùpi=Zpiy OJ?i -+-... -H Pi,, 8^,,. 

Soit z -h dz, Xi~\- dxi, Pi + dpi un nouvel élément encore 
infiniment voisin du premier, mais situé sur la caractéristique ; 
on aura de même 

(21) dz =^ Pi dxi -\-. . .^ Pu dxn, 

(22) dpi — pi^dx^-v-. . .^ pir^dx^. 

L'équation (lô), différentiée par rapport aux 8, donnera 

Zoz 4-^_(X,ôX-H P/8/^/) = o, 

et, en remplaçant les quantités P^, 8^, ^pi par leurs valeurs 
tirées des équations (18), (19), (20), 



o^S{Xi-\-piZ)^Xi-^^^j?a. 



dxi 
dt " 



Permutant les indices i et k dans la somme double et tenant 
compte de l'équation (22), il viendra 



0=£[X..-H.,.Z.*^] 



tiXi 



et, comme les ^xi sont entièrement arbitraires, on en dé- 
duira 

(23) X,4-/;,Z+^ = 0, (^-zrrl, ...,/0. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 323 

Enfin la différentiation de l'équation (i 6) par rapport aux d 



donne 

— T.dz-\- 



\ X/ dxi H- Vi dpi 



et, en remplaçant les dxt^ dpi par leurs valeurs tirées de (i8) 
et (23), 

(2/4) o — dz — y ViPidt. 

Les éléments successifs de la caractéristique satisferont donc 
aux équations (18), (aS), (24), qui peuvent s'écrire 

, „, d.Ti dpi dz 

(25) -^=... = - ^' ■=....= — .=dt. 

p. X,+/.,Z Jp^^_ 

Ces équations différentielles, jointes à la connaissance des 
valeurs initiales z^^ ^j-, p^^ des variables ^, ûOi,pi, déterminent 
complètement la loi de leur variation. Elles sont d'ailleurs 
indépendantes de la fonction <ï>. Nous obtenons donc ce ré- 
sultat remarquable : 

Toute intégrale qui contient l'élément z^., ^°, pj con- 
tiendra tous les éléments de la caractéristique correspon- 
dante. 

247. Les équations différentielles (26), intégrées en par- 
tant du système de valeurs initiales 5**, x^^, p^ , donneront, 
pour Zj Xi, Pi, au moins tant que les quantités Z, X/, P/, 
n'auront pas de points critiques, des valeurs parfaitement 
déterminées 

/ z =f{t,z\x<l,p'^), 

(26) Xi=r^i{t,z',xlpf), 

Ce système d'équations représentera une caractéristique 
pourvu que les valeurs z^, x% pf satisfassent à l'équation 

(27) V{z\œ\, ...,xlpl ...,pl)=^o, 
qui caractérise les éléments des intégrales. 



324 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ÏII. 

Les valeurs des variables ^, ^/, /^/correspondaiU a; x divers 
éléments des intégrales sont ainsi exprimées en fonction des 
2n-h 2. paramètres t^z^, ^'nPn ^^^ derniers vérifiant l'équa- 
tion (27)- 

En laissant z^, x]^ p] constants et faisant varier t^ on ob- 
tiendra une infinité d'éléments formant une caractéristique. 
On doit toutefois excepter le cas où les valeurs de z^^ x^l , p^ 
annuleraient simultanément toutes les quantités P/, X^ -\- pfL^ 
car les intégrales des équations (aS), se réduisant alors à 

^ -— ^ > ^i^^^ ^' i y pi '—-Pi j 

seraient indépendantes de t, et la caractéristique se réduirait 
à son élément initial. 

Enfin, en faisant varier z^, x'-^p^, on passera d'une carac- 
téristique à l'autre. 

Soit maintenant 

(28) z=:^^{j:i, ...,x,,), pi—-^ 

une intégrale quelconque. Pour qu'elle contienne un élément 
donné z, xi^ pt, il faut et il suffît qu'elle contienne l'élément 
initial z^ , x^ , p'^ situé sur la même caractéristique, ce qui 
donne les équations de condition 

(29) 5»=*(^; a;»), /'?=||„- 

Ces n -\- i équations, jointes aux équations (26) et (27)^ 
caractériseront les éléments qui appartiennent à l'intégrale. 
On retrouvera donc les équations (28) de l'intégrale en éli- 
minant les paramètres t, z^j x^j p^ entre les équations (26), 

(27)^(29)- 

248. Réciproquement, considérons l'ensemble des carac- 
téristiques pour lesquelles les paramètres z^^ x] , p] sont liés 
par 71 + I équations de condition quelconques 

(30) CT:n=:o, ..., V5,^z=iO. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 325 

Entre ces équations et les équations (26) 61(27), ^" pourra 
éliminer les paramètres 2^, ^°, /jJ", ^, et l'on obtiendra ainsi, 
entre les variables z, Xi^ /?/, n -f- i équations, 

7—0, ..., X« = o, 

d'où l'on pourra tirer en général les valeurs de z et des /?/ en 
ionction des xi. 

Le système des éléments qui satisfont à ces équations con- 
stituera une intégrale si les valeurs ainsi-obtenues satisfont 
aux relations suivantes : 

(3i) F(;s; X,, ...,.-r„; ^,, ...,/?„) = o 

et 

219. L'équation (3i) est identiquement satisfaite. Soit 
on effet, z^ ^/, pi un élément quelconque du système consi- 
déré. 

En donnant aux paramètres t et z^^ x]^ ])\ des accroisse- 
ments infiniment petits, dt et 8s^, ^x\ ^ ô/>^^ , ces derniers 
compatibles avec les équations (27) et (3o), on obtiendra 
un élément z -|- As, xi-\- A^/, /J>/+ A/?/ infiniment voisin du 
premier, et les différentielles totales As, A^/, A/>/ seront évi- 
demment de la forme dz-\-'^z^ dxi-\-'^Xi^ dpi-\-Zpi^ en 
désignant par dz^dxi^ dpiles différentielles partielles prove- 
nant de la variation de t, par 8^, ^xi, 5/?/ celles qui pro- 
viennent de la variation des autres paramètres, s^, x^ , p] . 

Les différentielles dz^ dx^ dpi satisfont aux équations (2 5), 
d'oii l'on déduit aisément les combinaisons suivantes 

( 33 ) dz — y Pi dxi = o, 



(34) o — T.dz-\-\ç^idxi^Vidpi)— ^fidt. 



dt 
Donc F est indépendant de t. D'ailleurs, pour ^ = o, il se 



320 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 111. 

réduit à 

qui est nul en vertu de l'équation de condition (27). 

250. Il reste encore à satisfaire aux équations (32). Ce 
système d'équations est équivalent à l'équation aux diffé- 
rentielles totales 



-1 



Pi Aj?j==o. 



Remplaçant A^j, A^/ par dz-\-ùz^ dxt -\- ^xi, et tenant compte 
de (33), cette égalité se change en 



Bz \ pi0Xi = O. 



Désignons par U le premier membre de cette équation, et 
cherchons comment il varie avec t. 
On aura 



d'ailleurs 



Donc 

dV 



dJJ z=z doz —\ dpi o^i — \ pi d ùXi ; 

<i 82 = <i^ r=: \ {'^pidXi-\- pidùXi). 
= \ ( hpi dxi — dpi Ixi ) 



ou, en remplaçant les dxi^ dpi par leurs valeurs tirées des 
équations (^5), 

^U =y (P/ Ipi 4- X,- Ixi H- Tpi Ixi) dt; 
mais l'équation F = o, différentiée par rapport aux 8, donne 

Z Iz 4-^.(1"/ S/?/ H- X,- ^Xi) = o, 

d'où 

d\]— — Z Uz —Y Pi ox^ dt=z — Z\} dL 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SOTJ 

Cette équation intégrée donnera 

- j Ldt 

Uo désignant la valeur initiale de U. 

Il est clair que, tant que Z n'aura pas de points critiques, 
comme nous l'avons supposé, l'exponentielle restera finie. 
Donc, pour que U soit identiquement nul, il sera nécessaire 
et suffisant qu'on ait 

(35) oi=Uo=S^«— V pfoœl 

251. Les solutions de cette équation aux différentielles to- 
tales se trouvent aisément par la méthode du n"^ 244. 

Cette équation montre d'abord que z^ est une fonction des 
x^i . D'ailleurs, les 2 az -4- 1 quantités z^^ œ^ , /?[• étant liées par 
l'équation F = o et les ^ -|- i relations (3o), dont nous cher 
chons à déterminer la forme, il existera une relation au moins 
entre les quantités x^ . Supposons qu'il en existe k distinctes, 
telles que 

(36) ^,(:r;,...,0 = o, ..., ^/, = o, 
et soit en outre 

(37) ^o = iF(^;,...,^o). 

On déduira de ces relations par la différentiation 

L'équation (35) devant être une conséquence de celles-là, 
on aura identiquement 

Uo == S^ — y _ a" 5.r« =: Xi oVF, -+- . . . -h X/, Sïïi-^, 

les ). étant des multiplicateurs convenables. Egalant séparé- 
ment à zéro les coefficients des diverses différentielles S^c.- , 



328 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

on aura les n équations 

(38) 5ïo-ft->.^o+--- + ^A:j_^y> 

qui, jointes aux équations (26), (27), (36), (37), représente- 
ront l'intégrale, les fonctions XT, Wi, . . ., ^F^ restant arbi- 
traires. 

252. La solution précédente donne lieu à diverses remar- 
ques : 

1° Le système d'éléments déterminé par les équations 
précédentes ne représente une intégrale, dans le sens attaché 
jusqu'ici à ce mot, que si l'on peut en tirer les valeurs expli- 
cites des quantités ^, /?/ en fonction des xi^ ceux-ci restant 
indépendants. Il n'en serait pas ainsi dans le cas particulier 
-où l'on pourrait déduire de ces équations une ou plusieurs 
relations entre les xi. La considération de ces systèmes, qui 
ne fournissent pas des intégrales proprement dites, est pour- 
tant utile dans beaucoup de cas. Pour en tenir compte, il 
conviendra d'élargir la définition de l'intégrale en donnant ce 
nom à tout système d'éléments z, Xi, pt dépendant de n va- 
riables indépendantes et satisfaisant aux relations 

F = o, dzzzz j)^ dx^ H- . . . -h /?,j dXfi 

2° Nous avons admis dans notre analyse que le système des 
valeurs initiales z^ ^ x^ , p^ représentait un point ordinaire 
pour les fonctions Z, X,-, P^- et n'annulait pas simultanément 
les quantités P/, X/-|-/?iZ. S'il existait donc quelque inté- 
grale dont tous les éléments fussent des points critiques de 
Z, X/, P/ ou annulassent les P/ et les X/ ~\- /?/Z, elles échap- 
peraient à la méthode précédente; mais il est clair que ces 
intégrales singulières ne peuvent se rencontrer que dans des 
cas particuliers. 

253. Parmi les intégrales fournies par notre analyse, il en 
est deux qui méritent une attention particulière. 



FQUATIONS AUX DÉIIIVÉES PARTIELLES. 829 

La première s'obtient en posant k = n. Les quantités ^^, 
^^^, satisfaisant ainsi à n + i relations, seront des constantes; 
leurs différentielles 82^, 8^)* seront donc nulles et l'équation 
(35) sera identiquement satisfaite. 

On voit donc que les équations (26), (27) de la caracté- 
ristique représentent une intégrale si l'on y considère les 
5^, œ^ comme des constantes arbitraires et les p^ comme des 
inconnues auxiliaires. 

L'intégrale ainsi obtenue est une intégrale complète, car 
elle contient n (et même n -i- i) constantes arbitraires. 
D'autre part, on ne peut déduire des équations qui la défi- 
nissent aucune équation aux dérivées partielles 

distincte de la proposée F = o; car, si l'on avait une sem- 
blable identité; en y faisant ^ = 0, on trouverait 

relation qui ne résulte pas des équations (26), (27)- 

2o4. On obtiendra une autre intégrale remarquable en 
admettant qu'il n'existe entre les paramètres z^, x^\ que les 
deux relations 

(89) ^0= T(^o, . . . , xl), x\ = const. 

Les autres équations à joindre à celles de la caractéris- 
tique pour obtenir l'intégrale seront, d'après l'analyse précé- 
dente, 

Pour la valeur particulière cT, = ^J, on aura ? = o, ^2 = -^! v> 
z = z^. Ces valeurs initiales étant liées par la relation (39), 
on voit que nous avons résolu le problème de déterminer une 
intégrale z satisfaisant à la condition 

z =z'^{x^, . . ., Xfi) pour ^j-:=a7°, 



33o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

W désignant une fonction arbitraire. L'existence d'une sem- 
blable intégrale avait déjà été établie au n° 23o. 

255. Lorsque le nombre des variables indépendantes se 
réduit à deux, les résultats qui précèdent peuvent s'inter- 
préter géométriquement. 

Une intégrale ^ = <ï>(:c<, ^2) représente une surface. Chaque 
système de valeurs de z, Xi, x-2 représente un point; p^, p.2 
sont les coefficients de l'équation du plan tangent. Chaque 
élément de l'intégrale définit donc un point et le plan tan- 
gent correspondant. 

L'équation aux dérivées partielles 

devient, en y remplaçant /;<, p^ par leurs valeurs tirées des 
équations de la normale, 

^1 — ^t _ ^2—^2 _ ^ — - 
Px " P'i ~ — I ' 
-r -r ^\ — 0^\ ^2 — -^2 \ _ ^ 

équation d'un cône, dont la normale sera une génératrice. 

Une caractéristique représentera une courbe et la dévelop- 
pable circonscrite à la surface intégrale le long de cette courbe, 
et le théorème du n° 246 pourra s'énoncer ainsi : 

Deux surfaces intégrales tangentes en un point z^^ x\^ 
x\ sont tangentes tout le long de la caractéristique déter- 
minée par ce point et le plan tangent correspondant. 

Toute surface intégrale aura pour génératrices des carac- 
téristiques. En particulier, l'intégrale complète du n"" 253 
sera formée par l'ensemble des caractéristiques issues d'un 
même point. 

256. Première méthode de Jacobi, • — Soit à déterminer 
une intégrale complète de l'équation 

(4o) F(^, ^1, ...,Xn,Pu ...,/?„) = 0. 



o. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 33 1 

On peut réduire le problème au cas où z ne figure pas ex- 
plicitement dans l'équation. 

Supposons en effet z déterminé par l'équation 

On en déduira 

Substituant les valeurs de /?< , - - >•, pn ainsi obtenues dans 
(4o), il viendra 

(43) F==<î>^^,^„...,^.,^, ^:^, ..•,^^-) 

Si donc nous déterminons une fonction V des n -+- 1 va- 
riables Zy x^^ ..., Xn qui satisfasse identiquement à cette 
équation (laquelle ne contient pas V explicitement), on ob- 
tiendra une solution de Téquation primitive en déterminant z 

par l'équation 

Y = o. 

Si d'ailleurs la solution V que l'on a trouvée contient n 
constantes arbitraires 6,, . . . , bn-, de telle sorte que le jaco- 

bien J des quantités -. — par rapport à ces constantes ne soit 

pas nul, la valeur de z sera une intégrale complète de l'équa- 
tion primitive; car, d'une part, elle contient n constantes 
arbitraires et, d'autre part, le jacobien i^ des quantités 

— \- Pi -^ par rapport aux constantes b ne sera pas iden- 
tiquement nul; car, en y donnant aux quantités pt les va- 
leurs particulières o, il se réduit à J. Donc on pourra tirer 
des équations (4^) les valeurs des constantes pour les substi- 
tuer dans (4j )-, ce qui fournira une seule équation F = o. 

257. L'équation ^ = o étant résolue, pour plus de sim- 
plicité, par rapport à -^j prendra la forme 



(44) 57-^^^r'---'^-5^^--"^-^j 



o. 



332 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Désignons par H ce que devient le second terme de cette 

équation lorsqu'on y remplace les dérivées partielles j— par 

des indéterminées/)/; et formons les équations différentielles 
ordinaires 

. ,wv dxi dl\ dpi ^H 

dz dpi^ dz dxi 

Nous allons établir que la détermination d'une solution V 
de l'équation (44) satisfaisant aux conditions requises et 
l'intégration du système canonique (45) sont deux pro- 
blèmes entièrement équivalents. 

258. Supposons, en effet, qu'on ait obtenu la solution 
demandée 

Les équations 

<^^^ ôJ=P" ^•=^^'' 

où les ai désignent de nouvelles constantes arbitraires, seront 
lïntégrale générale du système (45)- 

En effet, les équations (46), différentiées par rapport à la 
variable indépendante z, donnent 

d'\ Y ^-V dTf, _dpi 

dxi dz Zjk àxi ôxfc dz dz^ 

(^7) i ^2 Y ^ ^--V dxk _ 

dbi dz ^k àbi dxk dz 

Mais, d'autre part, en remplaçant dans l'identité (44) les 
^ — par leurs valeurs /?/, elle deviendra 

^-^^ = "' 
el, en prenant les dérivées partielles, par rapport aux Xi et 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIKLLES. 333 

aux biy on trouvera 






dx: dz ' /jf, dpk dx; ' dxi ' 



(48) 

' d'\ ^;^ d\\ djH 



dbi dz 
U ^ailleurs on a 

d'où 






ànj^ _ ^ ^^_ àPk _ _^^V_^ 

c/^'j- (}^/ ()xV(; (?èj ~~ dbi ôx/. 

Substituons ces valeurs dans les équations (48) et retran- 
chons ensuite chacune d'elles de sa correspondante du sys- 
tème (47;); il viendra 

Zjk(^'^'idx,, \ dz àph) ^ dz dxi^ 

Zukàbidxk \ dz dpk) ~~ 

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport 

. , dxf, dW dpi dl\ T^, .,1 1 1. 

aux quantités —, :; — , —. h -^ D ailleurs le determi- 

^ dz Opk dz oxi 

nant des coefficients n'est autre chose que le jacobien J des 

dérivées partielles -z — par rapport à b^^ ..., 6,^, lequel, par 

Ox i~ 

hypothèse, n'est pas nul. Nous obtenons donc, comme con- 
séquence des équations (4^), le système d'équations diffé- 
rentielles 

dxj, dW dpi àW 

dz a pic dz oXi 

qui n'est autre que le système (45)' 

259. Réciproquement, supposons que par un procédé 
quelconque nous ayons réussi à obtenir une intégrale géné- 
rale des équations (45). Elle fournira les valeurs des Xi, pi 



334 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

en fonction de z et de ^n constantes arbitraires c,, . .., €2/1^ 
Soient d'ailleurs ai, bi les valeurs des Xi^ pi pour une valeur 
initiale donnée z^ de la variable z. On pourra déterminer 
les constantes c au moyen des a/, bi. Substituant ces valeurs 
dans les équations intégrales, celles-ci prendront la forme 

(49) Xi-=zfi{z,a^,...,a,„b^,...,ba), 

(50) />,— cp,(^, Cly, . . .,an, ^, ..., bn), 

où les ai, bi peuvent être considérés comme de nouvelles 
constantes arbitraires. 

Le jacobien I des fonctions // par rapport k a\, . . . ., a,i 
n'est pas identiquement nul ; car, pour la valeur particulière 
z =z^^fi se réduisant à «/, I aura pour valeur l'unité. 

Les équations (49) peuvent donc être résolues par rap- 
port aux ai et fourniront les valeurs de ces quantités en 
fonction des z^ Xi, bi. Il résulte de là que toute fonction des 
quantités z, Xi, pi, ai, ^/ peut s'exprimer à volonté, soit par 
les z, ai, bi seulement, soit par les z, Xi^ bi. 

260. Gela posé, désignons par U ce que devient la quan- 
tité 



s 






lorsqu'on l'exprime au moyen de 5, ai, bi', et considérons 
l'expression 

V— y a/,6/,+ f \}dz. 

Changeons simultanément z. en z -\- dz , et ai, bi en 
ai-\- oai, bi-h obi] ^i sera accru de la quantité 



dont nous représenterons respectivement les deux termes par 
dxi., 8^/; /)f et V éprouveront des accroissements analogues 

^Pi—dpi-\- ^pi, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



335 



et 



(5i) ^\=:dV-{-oY^Vdz-h\ iak^bk + h/M,,)-^ f h\] dz. 
Or on a 

"='Œ/-ë-") 



=S.("' 



dpk 



p 



dll . ^H . \ 

-^ OX/, — -— Opk ) 

dx^ dp/c j 



ou, en supprimant les termes qui se détruisent et rempla- 
d^ d 

tielles (45) 



çant ^ — ? -y— par leurs valeurs tirées des équations difFéren- 

opk Oocjc 



8U 



=1 






D'ailleurs 



<:/^ Lui\àai dbi / o':; 



^ 
(^«i 



A.- 



^jlLi^-^^^-^^-^^')"'" -^^- ^ 



^8.^/, 



d'où 



8u=y p,:^.^^PHx,^^ 

^yt ^/^ dz dz ^ic 



Pk ^Xf 



et 



D'autre part, 

Substituant ces valeurs dans (5i), il viendra 

A V — \ ( /?/- dx/, -^ pfc ^xj, 4- aj, ùbf,) — Il dz 
= \ {Pk ^^k + cik S6/,) — lî r/;;. 



336 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Celte relation entre les différentielles totales AV, A.r^, 
^bfc dz montre que, si l'on exprime V en fonction des va- 
riables z^ Xki hk-, on aura 

(53) g=-Il. 

Les équations (62) donnent, entre les variables^, xj^^ pk et 
les constantes ak, b^, in relations nécessairement distinctes 5 
car chacune d'elles contient dans son second membre une 
quantité p on a qui ne figure pas dans les autres. Ces équa- 
tions ne sont donc autre chose que le système des équations 
intégrales (49) 6t (5o) mises sous une forme nouvelle. 

Quant à l'équation (53), elle se transforme, lorsqu'on y 

ôV "' 
remplace les p^ qui figurent dans H par leurs valeurs -^^ y 

en l'équation aux dérivées partielles (44)* 

La solution V que nous avons ainsi obtenue pour cette 
équation satisfait aux conditions requises; car elle con- 
tient n constantes arbitraires b^, . . ,, bn, et d'autre part le 

jacobien J des dérivées -^ — par rapport à ces constantes n'est 

pas identiquement nul; car, en donnant à z la valeur parti- 

culière z^ . -. — := pu se réduisant à bk. J sera éeral à l'unité. 

' axj, ^ 

On voit immédiatement que si, à la solution V que nous 
venons de trouver, on ajoute une nouvelle constante arbi- 
traire a, on aura une nouvelle solution V -f- a à ii-\-\ con- 
stantes arbitraires, et qui sera une solution complète de (44)- 

261 . Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer. — Les deux 
méthodes précédentes pour l'intégration des équations aux 
dérivées partielles du premier ordre ont pour caractère com- 
mun de ramener le problème à l'intégration complète d'un 
système d'équations aux différentielles ordinaires. 

Jacobi a donné une nouvelle méthode, considérablement 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 337 

perfectionnée depuis par MM. Lie et Mayer, dans laquelle 
on considère successivement une série de systèmes d'équa- 
tions difTérentielles, dans chacun desquels il suffît de déter- 
miner une seule intégrale. Cette méthode s'applique d'ailleurs 
sans difficulté, ainsi que nous allons le voir, à la recherche 
des solutions communes à plusieurs équations aux dérivées 
partielles simultanées. 
Soient 

(54) Fi(^i, ..., ^„, /?i, ..., /?„) = o, ..., F„,=:o 

ces équations, où nous supposerons pour plus de simplicité 
qu'on ait fait disparaître la fonction inconnue par l'arlifîce 
du n° 256. Pour que ces équations aient une solution com- 
mune, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer des fonc- 
tions Pi des variables indépendantes Xi^ qui satisfassent à la 
fois à ces équations et auK relations 

(55) ^^ = p, 

qui expriment que /;< «'/^i +...-!-/>// f/^/^ est une différentielle 
exacte; car l'intégration de cette différentielle donnera im- 
médiatement la valeur correspondante de z. 

262» Soient Fa = o, Fp = o deux quelconques des équa- 
tions données. Prenons la dérivée de la première par rapport 
à Xi\ il viendra 

doct Zuk àpk àxi 
Multipliant par -r— ^ et sommant par rapport à ?, il vient 

Zji àxi dpi ZjiZdk dpi dpk dxi 
On trouvera de même, en permutant a et p, 

Zâi àxi dpi 2ui Zuk àpi âp/c ôxi 

J. — Cours, [II. 22 



338 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Retranchons cette équation de la précédente après avoir 
permuté les indices de sommation i et k dans la somme 
double; il vient 



(56) 



\ 2^i\()xi dpi dxi dpi) 

\ +Y V ^^(^^_j^Vo 

\ Z^ijLJkàpi dpk\dxi dook) 



Mais la somme double s'annule en vertu des équations (55). 
On aura donc simplement 



«=E, 






A.insi, des équations primitives Fi = o, . , ., F„i= o, jointes 
aux conditions (55), on déduit entre les Xi^ pi de nouvelles 
relations 

(Fc„Fp) = o. 

Si parmi ces équations il en est qui ne soient pas une con- 
séquence algébrique des équations (54), on pourra les leur 
adjoindre, recommencer les mêmes opérations sur le système 
ainsi complété, et ainsi de suite. On arrivera finalement, soit 
à un système contenant plus de Ji équations distinctes, au- 
quel cas le problème sera impossible, soit à un système 

(57) Fj— o, ..., lV=o, 

tel que les équations nouvelles (F^, Fp)= o qui s'en dédui- 
sent, ou soient identiquement satisfaites, ou soient, tout au 
moins, une conséquence algébrique des précédentes. 

Lorsque cette dernière circonstance se présente, elle pour- 
rait donner lieu à quelque incertitude. Pour la lever, résol- 
vons les équations (57) par rapport à \k des quantités/? qui 
y figurent; elles prendront la forme 

/?i— /i=o, ..., p^—f^—o. 

Les nouvelles équations 

(/^a — /a, /^[i— /p) = o, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIFLLES. SSq 

qui se déduisent de celles-là, ne contiennent plus/?i, ••-iP^j.'i 
elles ne peuvent donc être une conséquence des équations 
précédentes. Elles fourniront donc des relations nouvelles, 
qui permettront de continuer la série de nos opérations, à 
moins qu'elles ne soient identiquement satisfaites. 

Nous arriverons donc nécessairement, ou à constater l'im- 
possibilité du problème, ou à former un système 

(57) F,=:o, ..., F^=o, 
jouissant de la propriété qu'on ail identiquement 

(58) (Fa, Fp)=:0. 

Un semblable système a reçu le nom de système complet. 

Une équation unique Fi = o peut être considérée comme 
constituant un cas particulier des systèmes complets, corres- 
pondant à [JL == I. 

263. Etant donné, en général, un système complet tel 
que (57), cherchons à déterminer une nouvelle équation 

<pr=0, 

qui, jointe aux précédentes, forme encore un système com- 
plet. 

Le premier membre de cette nouvelle équation devra satis- 
faire aux ^ équations simultanées aux dérivées partielles 

(59) o = (T, Fa)=2,,U^ ^- ~ ^- 5^; *• 

Ces équations linéaires forment un système jacobien, d'après 
la définition du n*^ 63. 
En effet, on a 

Zui\àoCi dpi dpi dxi) Zjk\djc,, dpk àpk dx,j'^ 
ZAi\dxi dpi dpi dxij Zj/c\àx/c dp a- àpk dx 



'Il 



. do _. do\ 

àX;, ÔpkJ 



3^0 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

en posant, pour abréger, 



1 



dF^ d'F^ dFa, à'F 



dxi dpidpk dpi dxidpk ( _ d 

dF^ à^F, __ dF^ J^F^ I ~ Wk ^'' ^^' 

dxi dpidpk dpi docidpk 

i ^Fg d'-F^ r)Fa d'^F^ 

\ dxi dpidxj, ôpi dxidx/. ) 

Mais (Fa, Fp) est identiquement nul; donc les A^, B;; sont 
nuls, et notre proposition est démontrée. 

Le système (69) admet donc des solutions et son intégra- 
tion se ramène à celle d'une seule équation linéaire aux dé- 
rivées partielles à in — [a variables, ou, ce qui revient au 
même, à l'intégration d'un système de 2/^ — inéquations li- 
néaires ordinaires. On connaît d'ailleurs [jl solutions du sys- 
tème, à savoir F^, . . . , F^;,. L'ordre du système s'abaisse donc 
encore de [jl unités et se réduit à in — 2[x. 

264. Supposons qu'on en ait trouvé une intégrale o,, la- 
quelle, en tant que fonction des p, soit distincte de Fi, . . . , 
¥^. 11 est clair qu'on peut y ajouter une constante arbi- 
traire a<, sans cesser d'avoir une intégrale. Donc le système 

Fi = o, ..., cpi+fz, = 

sera complet. 

On déterminera de même une nouvelle équation cpg -f- <^2= o 
contenant une constante arbitraire «2 et formant avec les 
précédentes un système complet, en trouvant une intégrale 
d'un système d'équations différentielles d'ordre m — 2 [jl — 2, 
et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait obtenu un 
système complet 

Fii=o, ..., lV = o, 

Fjj.+i =:cpi4-a, = 0, ..., F„t^cp,,.jj,H- <2«_j;.=:0. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sz+l 

Les valeurs des /?/, fournies par ce système, rendront 
p^dx^-\- . > .-\- Piidxn différentielle exacte; car, en tenant 
compte des relations (Fa, Fp) = o, les équations (56) se ré- 
duiront à 

Z^iZuk àpi dpk\dœi dxk) 

Le déterminant R des quantités -p- n'est pas nul, car nous 

avons opéré de telle sorte que les Fi, ..., ¥ ,i fussent des 
fonctions distinctes des/?/; donc les quantités 



Y à¥^/dpk dpi\ 
Zdkdpk\àxi dx,J 



que ces coefficients multiplient seront nulles. D'ailleurs le 

■JT-T 

déterminant des coefficients ^— -^ est encore écral à R et dif- 

àpk 
férent de zéro. On aura donc 

dpi, __ dpi^ __ 
dxj ôxf, ~ ' 

ce qu'il fallait démontrer. 

265. Les quantités /?<, ...^p^ étant déterminées par les 
équations Fi = o, . . ., F,,^ := o, il ne restera plus qu'à inté- 
grer la différentielle exacte />, dx^ +... + /?„ dxa- On trou- 
vera ainsi 

a étant une nouvelle constante arbitraire. 

Nous obtenons de cette manière une solution du système 
des équations aux dérivées partielles F4 = o, . . . , Fj;, = o, 
contenant n — |jl -h i constantes arbitraires, et qu'on pourra 
appeler une solution complète du système. 

En prenant les dérivées partielles de z par rapport aux di- 
verses variables ^, , . , . , Xn<, on obtiendra les équations 



342 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

manifestement équivalentes aux équations 

F,=rO, ..., Fjj^=0, 

De cette solution complète on déduira immédiatement 
toutes les solutions du système 

(60) Finro, ..., l\ = 0. 

En effet, soient z une semblable solution; /?,, ..., p^ ses 
dérivées partielles; enfin a,, . . . , a,i_,^^^ a des inconnues auxi- 
liaires, déterminées par les relations 

\ z — ^(a^i, . ..,Xr„ ai, ...,a„_^) — a == o. 
On aura, en différentiant cette dernière équation, 

D'ailleurs, des équations (60) et (61), on déduit 
d^ _ d^ _ 

et, comme 

dz ^=: pi dxi H- ... 4- p„ dxn^ 

l'équation de condition (fia) se réduira à 

d'il (Vj 

(63) y^r/rti-i-. . .-f- - — ' — da,i^^-^ dy-^no. 

Cette équation aux différentielles totales s'intégrera comme 
au n*^ 244. 



266. Il existe une classe particulière d'équations aux déri- 
vées partielles auxquelles on peut étendre la méthode d'inté- 
gration par différentiation exposée au n° 34 pour les équations 
différentielles ordinaires. 

Soient, en effet, Z, X,, . . . , X/^, Pi, ..., P^ p fies fonc- 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 343 

lions des i?i-^i variables ^, ^,, . • . , x„, /><, ..., /?«, satis- 
faisant identiquement à la relation 

( r/Z-P,^X,-...-P„^X„ 

Supposons que, les variables x^, . . . , ^« restant indépen- 
dantes, on pose 

dz _ dz 

et qu'on veuille déterminer z par l'équation 

Z = o, 

on aura là une équation aux dérivées partielles du premier 
ordre qu'il s'agit d'intégrer. 
En la différentianl, on aura 

dZ = o 

et, en tirant la valeur de <iZ de l'identité {6^) et remarquant 
qu'on a par hypothèse 

dz = /?, dxy H- . . . -h /?„ dxn^ 

il viendra 

P,^Xi-|-...+ P„^X„ = o. 

On pourra satisfaire à cette équation aux différentielles 
totales : 

1° Ou bien en posant 

P, = o, ..., P„=ro: 

ces équations, jointes à Z = o, détermineront une intégrale 
singulière ; 

2° Ou bien en posant entre les X un certain nombre d'é- 
quations de condition 

/, =:0, ..., fic—O 



344 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

qui, jointes aux suivantes, 

r> >, àf, , df, 

OXf (J\i 

et à l'éqnation Z = o, fourniront une intégrale générale. 

Pour trouver la forme générale des équations aux dérivées 
partielles du premier ordre auxquelles la méthode précédente 
est applicable, nous aurons à déterminer, par le procédé qui 
a déjà été exposé plusieurs fois, la forme générale des fonc- 
tions Z, X/, P/, p qui satisfont à l'équation aux différentielles 
totales (64). 

267. L'équation aux différentielles totales (64) équivaut 
évidemment au système des équations suivantes aux dérivées 
partielles 

i-X. "•§='• 

OJii ^k àxi 



(67) -^ > P/,-T^ =0. 

àpi Ljk àpi 



Ces équations peuvent être remplacées par d'autres, d'une 
forme très remarquable, et que nous allons établir. 

Nous désignerons, pour abréger, par — — l'opération 
T ^/^^T-' ^* P^^ ^^ symbole [UV] l'expression 

ruvi =^V /'^ ^Z _ ^ i^EV 
Zji\Opi d^i dpi dxi) 

A. la place des équations (66), on peut écrire les suivantes 

dxi £^ii ' dxi ' 

qui s'en déduisent, en y ajoutant la première équation mul- 
tipliée par Pi, 



Op 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 345 

Cela posé, donnons aux variables indépendantes ^, .r/, pi 
deux systèmes distincts d'accroissements infiniment petits dz^ 
dxi, dfi et 8:;, 8^/, 8/>/, satisfaisant aux relations 

(69) dz-=\pidxi, U—\pidxi. 

Soient <fZ, <iX/, d^t et 8Z, 8X/, SP^ les ditFérentielles cor- 
respondantes de Z, X;, P^-. 
L'identité 

<^Z— \P,-^,=:p(^^— \ pidxA, 

difFérentiée par rapport aux S, donnera, en tenant compte 

de (69), 

S dZ — y (SP,- d\,-\- Vi dXi) 

= p 8 t/^ — \ ( ^pi dxi -h pi 8 dxi) . 

Permutant les d avec les 8 et retranchant la nouvelle équa- 
tion ainsi obtenue de la précédente, il viendra 

(70) S{dVi SX, - ^X, 8P,) = ^Sidpi ^Xi~ dxi ^pi). 
Or on a, d'après la relation (69), 

de même 

Substituons ces valeurs dans l'identité (70) et égalons sé- 
parément à zéro les coefficients des diverses différentielles 



346 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

dpji^ dxii, il viendra 

d'où, en changeant les 8 en <i et résolvant par rapport auj 
quantités dx^^ dp^, 



(-3) 



(*'=-;s,(£*-s-')- 



Ces équations doivent être identiques à celles que l'on ob- 
tiendrait en résolvant les équations (71), (72) par rapport 
aux dxf(, dp/(. Les deux déterminants 



et 



^X, 


^X, 


dxj. 


àpk 


dP, 


^P£ _ 


dx, " 


àpk 


I dPi 


I d^i 


P àpk 


? dpk 


I dPi 


1 dXi 


p dxk 


pdxk 









satisfont donc à la relation AA, = i . 

Mais, d'autre part, si dans Ai on permute les n premières 
lignes avec les n dernières, puis les n premières colonnes 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 3^7 

wec les n dernières, si l'on fait sortir du déterminant les fac- 
teurs - et — I, communs à une même ligne ou à une même 

P 
colonne, et enfin, si l'on permute les lignes avec les colonnes, 

il viendra 

I 



De cette équation, combinée avec la précédente, on dé- 
duit 

Donc, si p n'est pas nul, A sera différent de zéro. 
On en déduit que les fonctions Z, X/, P/ sont indépen- 
dantes. Considérons en effet leur jacobien 



dz 


dZ_ 


dZ 


dz 


dx^ 


àpn 


dX, 


dX, 


^ll 


dz 


dxi 


àpn 


^P« 


dPn 


dPn 


dz 


dxi 


àpn 



En sîjoutant aux colonnes de rang 2, . . . , /^ -}- i la pre- 
mière colonne, respectivement multipliée par />,, . . .,/->/o on 
aura 

dZ dZ_ dZ^ 

dz dxi Ùpn 

àX, dX, dX, 

dz dxi ôpn 



J=^ 



dz dx^ 



àprt 



Retranchons de la première ligne les n suivantes, respec- 
tivement multipliées par Pi, . . . , P,2 ; il viendra, en vertu des 



348 



TROISIÈME PARTIE. 


— CHAPITRE III. 


)>(67),(68), 




P o . . : 


O 




^X, dX, 


()X, 




âz dx, 


dpn 


= pA r^iîz p" + '' 


dPn dP„ 


dP:^ 




dz dx^ 


dpn 





Donc J n'est pas nul. 

268. Soit maintenant u une fonction quelconque de s, .r/, 
Pi. On aura 

, \^ du , du j 

"" — y ':i — dxk 4- -^ — dpk 

^kdxu dpk 

ou, en substituant pour dxh^ dpk les valeurs (73), 
^du—\ ([P,w]^X, — [X,«]^P,). 
Faisons en particulier u = X/;, puis ?« = P/^; il viendra 

p./X,=:^^([P,X,]^X,— [X,X,]./P,), 

p^,=^_([P,P,.]^X,— [X,P/,]^P,). 

Les différentielles d'X/, (iP/ étant indépendantes, ces équa- 
tions devront être identiques; on en déduit 



(74) 



[X,X,] = o, [P,P,-]=o, 
[P,X,]=p, [P,X,]=zo. 

Faisons enfin u = Z. L'identité (64) donne, en remarquant 
que dz — \ pidxi= o, 

^Z=:yP,-^X,-. 

On aura donc ces nouvelles relations 
(75) [P,Z] = pP;, [X,Z] = o, 



ÉQUATIONS AL'X DÉRIVÉES PARTIELLES. 349 

qui, jointes aux équations (74)? seront équivalentes à la 
relation (64). 

269. Supposons qu'on ait trouvé un système de n-f-i 
fonctions indépendantes Z, X^-, satisfaisant aux relations 

[X,X/,]rr:0, [X,Z]=:0. 

On pourra déterminer sans [difficulté et d'une seule ma- 
nière les n 4- I autres fonctions P/, p par les équations 



(65) 

(67) 
(68) 



dz Y P ^^^ 

^ ^z Y» ^ dXj, 



Les 2/1 équations (67) et (68), qui doivent déterminer les 
n inconnues P/, forment un système surabondant; mais il est 
aisé de voir qu'elles sont toujours compatibles. On a, en effet, 
les identités 



s, 



dX,, 



dx,; 



^^^-^^^)=-[^^^]-S/^f^^'^^]=^^' 



<[ui fournissent n relations distinctes entre les A/, B/; car 
l'un au moins des déterminants formés avec les éléments du 
tableau 



dXj, 
dxi 






diffère de zéro, puisque le déterminant A, qui est ime fonc- 
tion linéaire de ces déterminants, n'est pas nul. 

Ceci montre d'une part que, parmi les 2n équations (6*7) 
et ( 68), il y en a nécessairement n qui sont des conséquences 
des autres, et d'autre part que, parmi ces équations, il y en a 



35o TROISIÈME PAHÏIE. — CHAPITRE III. 

toujours n essentiellement distinctes, dont la résolution don- 
nera les inconnues P^. 

270. Soit 

(7b) 1^ Z,X,, ...,^«, -, ...,,.. 

\ d^i ôxn dx\ 

une équation aux dérivées partielles entre les variables indé- 
pendantes :ri, . . . , ^^2 et une fonction inconnue z. On pourra 
remplacer cette équation par le système des deux suivantes : 

(77) F(-. -2^1, -".^n^Px^ . ",Pm J^'^ • 



dz — \ Pi dxi ■=: o. 



Soient Z, X/, P/ des fonctions de z, Xi^ pi déterminées 
comme ci-dessus, de manière à satisfaire à l'identité 

c/Z - y P/ dXi ^rJdz— s Pi dx^ . 

Substituant dans les équations (77) les valeurs de z, Xi^ pn 

~l-^ ; •••en fonction de Z, X/, P/ et de leurs dérivées par- 

(jx ^ 

tielles par rapport à X|, Xo, . . . , on aura de nouvelles équa- 
tions 

*/^7 Y Y P P ^^ ^^^ \ 

q>l Zi, Al, . . ., A,j, 11,..., r„, . . . , j^. • • • 5 ^^^-5 • • 'Y 

dZ—SVidXi — 0, 
équivalentes à l'équation aux dérivées partielles 

Cette équation transformée est du même ordre que la pri- 
mitive. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 35 1 

271 . Les transformations de ce genre, auxquelles M. Lie a 
donné le nom de transformations de contact, ont une grande 
importance. L'une des plus simples est la suivante, déjà con- 
sidérée par Legendre, 

Z =r — 3 + \ piXi, Xi — pi, P,- = Xi, 

C'est bien une transformation de contact, car on a 

<:/Z — \ P/ r/Xj m — dz + \ {pi dxi -f- Xi dpi ) — \ Xi dpi 

— —idz — \pi dxi \ . 

Cette transformation est d'ailleurs réciproque, car on dé- 
duit des équations ci-dessus, résolues par rapport à ^, xi^ pi, 



z^-L 



-^^P,X„ ^,-=P„ Pi=Xi. 



IIL — Équations aux dérivées partielles du second ordre. 

272. Parmi les équations aux dérivées partielles à deux 
variables indépendantes et d'ordre supérieur au premier, la 
plus simple est évidemment l'équation monôme 

Am-\-n 2; 



Il est facile de trouver son intégrale générale. 

En effet, prenons pour variable auxiliaire la dérivée 

-r— - = a; on aura 

d'"" u 

-^ — = o. 

Donc, pour une valeur constante de r, la quantité w, consi- 
dérée comme fonction de x seul, aura sa dérivée m'*^''"® nulle; 
elle sera donc de la forme 

Ao+ A,^-r-, 



352 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Ao, . . . , ^m-\ étant des quantités indépendantes de x et, par 
suite, des fonctions, d'ailleurs arbitraires, de la seule va- 
riable y. 

La valeur de u étant ainsi déterminée, on aura 

1^ = Ao+ Ai^ + . . . 4- K-vX"'-K 

f)yn 

Désignons par Yq, ..., Y,;,_, des fonctions de y, ayant 
respectivement pour dérivée ai'"'"° Aq, . . • , A^-i- L'équation 
précédente admettra la solution particulière 

Pour obtenir la solution générale, posons 

L'équation deviendra 
et donnera 

p .rr- Xo + Xi/ + . . . -f- X,,_, y^-\ 

Xo, . . . , ^:i-\ étant des fonctions arbitraires de x. On aura 
donc finalement 

5 = Yo 4- Yi ^ + . . . 4- Y,„_, T'—\ 
-t- Xo -h Xi/ + . . . + X,,_i y"-'. 

D'ailleurs Aq, . . • , A,„_, étant des fonctions arbitraires de j, 
leurs intégrales n'^'^''' Y», ..., Y^-k seront également des 
fonctions arbitraires. 

En particulier, l'équation du second ordre 

= 



dx dy 
aura pour intégrale 



^rrzX + Y. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 353 

273. Considérons avec Euler l'équation plus générale 

d'z , d'z (Pz 

dx- ôx av ay- 

a, 6, c étant des constantes. 

Changeons de variables indépendantes, en posant 

a, [^, Y, 8 étant des constantes. 
On aura 

d d d d ^â ^ d 

dx ^; âr, dv â^ dr^ 

dx' ~ y d'^'^^' d-n) ' 
L'équation transformée sera donc la suivante : 

+ 2[«aY-h ^(aoH-|3Y)-hcPo] 



Soit en particulier 

a — Y = i, ? = >^i, T = >^2, 

Xi et ).2 étant les deux racines de l'équation 

a -h'2b\ -+- cl^ = 0. 

Les termes en -^) j-^ disparaîtront, et 1 équation transfor- 
mée, se réduisant à 

d'z _ 

aura pour intégrale générale 

/et cp désignant des fonctions arbitraires. 

Si l'équation en X a ses deux racines égales, les deux nou- 
velles variables 5 et tj ne seront pas distinctes. Le procédé 
J. — Cours, III. 23 



354 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

précédent doit donc être légèrement modifié. On prendra, 

dans ce cas, a=: i, '^ ='k et on laissera y et S arbitraires. 

d'^z 
Les quantités a -f- bX, b -\- cX étant nulles, le terme en ^. !' 
^ ^ di; dri 

s'annulera; l'équation se réduira à 

d'z 

et aura pour intégrale générale 

/(^) ^?{^U=A^ -\-ij)-ho{x-h Xj) {yx + S/). 

274. La méthode précédente, convenablement généralisée, 
permet de ramener à une forme plus simple l'équation 

.d'z .. o»- ^d'z -, 
^-—' +2B-^ — - -hC-^— +M==o, 
dx- dx df df^ 

où A, B, G sont des fonctions de x^y, et M une fonction de 

dz dz^ 
^' ^^' ^' dx' df' 

Soient, en effet, ^, r\ deux fonctions de x, y, que nous 

prendrons pour nouvelles variables indépendantes; on aura 

dz dz de, dz dr, 

dx d^ dx dr\ dx 



dz 
àf 


dz d\ dz dr^ 

~~ d\ df dt\ df^ 


d'z 
dx'^~ 


d'z/d'^y d'z/dr^y d^'Z r)^ (>n 
"" d'ç' \dx) ' dci' \dx) ' ^ d;dr, dx dx 




_^ dz d'-\ _^ dz d'ri 

d^ dx- dri dx^ 


d'-z 
dxdf " 


d'z dl d\ d'z dri dri 
" dk' dx df ' dri'^ dx df 




d'z ( d\ dri dv, dl\ dz a^^ dz d'ri 

dUri \dx df ' dx df) ' d'ç dxdf dri dxdf 


â'z 

df' ' 


d'zfd'^y d'zfdriY d'z dl dri 
~ d'C- \df) ' dri^ \df) ' ^d\dri df df 




dz dn dz d'r, 

"^ dl df' "^ dri df^ 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 355 

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura 
une transformée de même forme 



A'^ -H 2B'4-^ + C' ^~ -1- M'==o, 

c' = a(4^Vh-2b4^^h-c^^V. 



où 



d.r / dx dy \ày 

Ces deux coefficients s'annulent donc si l'on prend pour ^ 
et 7] deux intégrales distinctes de l'équation aux dérivées 
partielles du premier ordre 

^ ' \dx J dx dy \^f / 

Le premier membre de cette équation est un produit de 

, r . '\ ait ^ du ^ du , du ^ , , , 
deux tacteurs k~ h |^--r-? f^\ -^ H p-i ;p • l^n les égalant 

séparément à zéro, on aura deux équations linéaires du pre- 
mier ordre; leur intégration donnera les fonctions ^, 'r\, dont 
l'introduction comme variables indépendantes réduira la pro- 
posée à la forme plus simple 

Cette méthode serait en défaut si le premier membre de (i) 
était un carré parfait; car Ç et y), déterminées par une même 
équation linéaire, ne seraient pas distinctes. Mais, en prenant 
dans ce cas, pourv), une intégrale de cette équation et, pour Ç, 
une fonction quelconque, on voit aisément que B' s'annulera 
ainsi que G^, de sorte qu'on obtiendra une transformée de la 
forme 

275. Parmi les équations de la forme (2), nous considé- 



356 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

rerons en particulier l'équation de Laplace 

(3) -i!i-4-M^+N^-l-P^ + Q=:o, 

où M, N, P, Q sont des fonctions de œ, y seulement. 
En prenant pour variable auxiliaire la quantité 

(4) J + M«- = «. 

l'équation proposée pourra s'écrire 

(5) 3- -hN« 4- Q -t- A^=:o, 
en posant, pour abréger^ 

P _ ^ _ MN == A. 

ox 

L'équation (3) est donc équivalente au système des deux 
équations simultanées (4) et (5). Ce système s'intègre immé- 
diatement si A = o. En effet, l'équation 

3- 4- N w -}- Q = o, 
ox ^ 

ne contenant de dérivation que par rapport à x, deviendra^ 
pour une valeur constante dejKj une équation aux différen- 
tielles ordinaires, linéaire et du premier ordre, dont on dé- 
terminera aisément l'intégrale générale sous la forme 

Ui étant une intégrale particulière et G une quantité constante 
pour y constant et, par suite, une fonction de y seul, d'ail- 
leurs arbitraire. 

Substituons la valeur de m ainsi trouvée dans l'équation (4). 
Cette équation, ne contenant de dérivation que par rapport 
à jKî pourra de même s'intégrer comme une équation aux 
différentielles ordinaires, à la condition de remplacer la con- 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 357 

stante d'intégration par une fonction arbitraire de x. On aura 
donc, pour ^, une expression où figurent deux fonctions ar- 
bitraires, l'une de Xy l'autre de y. 

276. Supposons, en second lieu, que A soit différent de 
zéro. L'équation (5) donnera 

I [du 



dy 




Tl/IAT 4 à"^ 

MN 4-A=: -r 

ày 


^(?logA_^p ÔM 

dy Ox ' 


'■« =^- 


-Q^^MQ; 



(6) . = -l(^^N„-HQJ. 

Substituons cette valeur dans (4) et posons, pour abréger, 

A dy 

dN _ N ^ 
'"ày A dy 

_dQ_ Qd_A 
"^'-dy Ady 

il viendra 

, , d^u _. du ^jdn ^^ ^ 

<7) 5^ + ^i'5^+^âP + P'" + Q' = °' 

équation de même forme que la primitive. Si elle peut être 
intégrée, la formule (6) donnera la valeur de z. 

Cette intégration pourra se faire immédiatement si l'on a 

A o àM, „ , . r^MogA ^ dis dM 
ox dx dy dy dx 

= -r f h2A + -^ -HMN — P. 

dx dy dy 

Sinon, opérons sur la transformée comme nous l'avons 
fait sur l'équation primitive; nous ramènerons son intégra- 
lion H celle d'une nouvelle transformée 

d^v ,, di^ T.,di' „ ^ 



dx dy dx dy 



358 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

laquelle pourra se faire si l'on a 

O J\2 -3 3 h Al H r 

o^ oy oy ojo 

ox oy 

Continuant de même, nous aurons un nouveau cas d'inté- 
grabilité, si la quantité 

est nulle, et ainsi de suite. 

277. L'équation primitive ne changeant pas de forme si 
l'on y permute ^ et M avec y et N, nous obtiendrons évi- 
demment une seconde série de cas d'intégrabilité analogue à 
la précédente en formant successivement les quantités 

B = P- ^ — MN, 

ày 

^ dx dy âx dy 

âx dy 



Si l'une d'elles s'annule, on arrivera à une transformée 
intégrable. 

278. Considérons l'équation de Liouville 

dx dy 
Posons 



11 viendra 



!=«■ 



âx 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSq 

et, en prenant la dérivée par rapport àjK, 

dx dy df djc ^ 



à (à<i „ 



Cette équation peut s'écrire ainsi 

dx\ôy "^ J 
ou, en intégrant, 

l f" (y) 
Soit ^{y) = -^ .,/ ( une solution particulière de cette 

équation; on aura 

dy ^ "" ' ^ 2X /'' 

et ces équations n'apprendront rien sur les fonctions <]> et /, 
la fonction F étant arbitraire. 

Pour avoir la solution générale, posons 

u étant une nouvelle variable, il viendra 



/'(y) 



OU, en multipliant par — 
du 



'^ ^^'^ dv fi y) 



ou 

à f'{y) 
à/ u 



\f{y) = o. 



36o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITKE III. 

Intégrant par rapport ky, il vient 

-fiy) 



d'où 



u ■= 



Q 



/"(y) /'(/) 



et enfin 



-^X/'l/) X/(/)H-cp(^) 



279. Étant donnée une équation aux dérivées partielles 

du second ordre 

F{z,œ,y,p,q,r,s,t), 

, , dz dz â'z 

où nous posons, pour abréger, -^= p, -^= q, — — /, ..., 

proposons-nous de lui appliquer la transformation de Le- 
gendre. Soient 

Z—px^qy — z, X=/?, X—q 
les nouvelles variables, et désignons par P, Q, R, S, T les 

dérivées partielles 3â7' ^y' 7^' * * " ' 
On aura 

dLr^ X dp + y dq ^ p dx -\- q dv — dz 
^=z X dp -h y dq :=^ X d\ -f- y dY, 

d'où 

F = x, Q=y, 

et, par suite, 

5r=PX-+-QY-Z. 

On aura ensuite 

^X = dp — /• dx -+-S dy, dY :=^ dq ~ s dx -{- t dy , 

dx^dV^V.dX-^'^dY, dyz^d(i^^dy.-\-Td\\ 



ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉES PARTIELLES. 36 1 

et, en éliminant dX et dY, 

dx — {Rr -4- bs) dx + (R^ + SO dy, 
dy — {'^r-^Ts)dx-^{Ss +T0^/; 
d'où 

R/--hS5=:l, R5 + S^=0, 

Sr -hT5 = o, S5 +ï^=zi, 
et enfin 

_ T _ S R 

'■— KT-S2' ^~ RT-S^' ^— RT-b^* 

L'équation transformée sera donc 
FfpX+QY-Z,P,Q,X,Y,jj^,j^ 



R 



HT— S^ RT— S- 

280. Nous allons appliquer cette transformation à l'équa- 
tion aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de 
courbure principaux sont égaux et de signe contraire. 

Nous avons donné {Calcul différentiel , n" 337) l'équa- 
tion du second degré, qui détermine ces rayons de courbure. 
Égalant à zéro la somme de ses racines, on obtiendra l'équa- 
tion différentielle cherchée 

(iH- ^2),. _ 2pqs -h{i -\- /f-)t — 0. 
Par la transformation de Legendre, elle deviendra 
(8) (H-X-^)R + 2XYS 4- (i 4-y2)T = o. 

Différentiant par rapport à X, on trouvera 



Mais on a 






R = 


dP dx 

dx-dx' ^- 


dP dx 
~dY~c?Y' 


ÔR d'x 


dS dKT 


ÔT d^P 


'dX~'dX"^' 


dX~ âXôY' 


âX - ÔY^ 



dY'- 



362 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

L'équation (9) peut donc s'écrire 

(10) ( 

La différentiation par rapport à Y donnerait pour y la même 
équation aux dérivées partielles. Enfin, en tenant compte de 
la relation (8), on vérifiera aisément que 

^ = PX-f-QY-Z -=1^X4-7 Y-Z 

satisfait encore à cette même équation. 

Pour intégrer l'équation (10), nous la simplifierons sui- 
vant la méthode du n° 274, en remplaçant X, Y par de nou- 
velles variables indépendantes Ç, Tj, qui satisfassent à l'équa- 
tion aux dérivées partielles 

Cette dernière équation, décomposée en facteurs, donne 
la suivante : 

(II) (i + X^)g+(XY=Fv/-'-X^-YO^-^ = o, 

dont l'intégration se ramène à celle de l'équation différen- 
tielle ordinaire 

^X dY 



I +^' XYqi s/- I - X2 - Y=^ 
ou 

dY 



(12) (i_^X'^)^=.XY=pv/-i-X^-Y'^. 

Prenons la dérivée de cette équation et remplaçons-y 
-rrr par sa valeur; il viendra 

(.+X')^=o. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 363 

d'où 

dY 

-j^ =: const. 

aX 

L'intégrale générale de (12) sera donc 

= const., 



de sorte que les nouvelles variables indépendantes à prendre 
seront les suivantes : 



+ X- XY -H ^/_r_X2 — Y* 



(i3) 



XY— v/— I— X^ — Y2 1 + ^' 



- I +X-^ _ XY- y/- I -X^- Y^ 

^ ^ ~~ XY+ v/— I-X2-Y2 ~ I +Y2 



Éliminons le radical entre les denx équations équivalentes 
qui donnent Ç; il viendra 

i4-X^+(i-{-Y2)^^-2XY^=:o, 
d'où 



(i4) x^Y\ + sJ-i-l\ 

On trouvera de même 



(l5) X=rYï)H-v/-I — r,^ 

De ces deux équations on tirera 



A. — ^ , 1 — . 

L'équation (10), exprimée au moyen des nouvelles va- 
riables ?, 71, prendra la forme 

T d'^x -. dx -T dx 



364 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

OÙ les coefficients M, N ont pour valeurs 

Or ces deux coefficients sont nuls. En effet, l'équation (ii) 
à laquelle satisfont S et 7| peut aisément se mettre sous les 
deux formes équivalentes 



(.6) (xY±^_,_X^_YOg + (,+Y^)^=o, 



(.6)' (-X+ 1 Vii^/'_Ym- 



au , ,r„v du 

X \ du 



_j_X2-YV ^^ 



== o. 



Ajoutons à cette dernière équation la dérivée de (i i) par 
rapport à X et celle de (i6) par rapport à Y ; il viendra 

-, du ... du 

Prenant successivement pour u les fonctions $, t], on 
aura M == o. N = o. 

L'équation transformée se réduira donc à 

= 



et aura pour intégrale générale 

*(0 + T(r,), 
^ et W étant des fonctions arbitraires. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 365 

281. Il résulte de l'analyse qui précède que les surfaces 
cherchées appartiennent à celles dont les coordonnées 
peuvent s'exprimer en fonction de deux paramètres $, t\ 
par des équations de la forme 

^— *(^) 4-W(rJ, 
/=.*,(?)4-^,(-0, 

Ces dernières surfaces jouissent de la propriété géomé- 
trique d'être engendrées (et cela de deux manières diffé- 
rentes) par la translation d'une génératrice de forme inva- 
riable. Il est clair en effet que les courbes r, = const. 
représentent les diverses positions d'une même courbe dé- 
placée parallèlement à elle-même. De même pour les courbes 
Ç = const. 

Nous allons poursuivre l'étude du problème, pour achever 
de préciser la nature des surfaces cherchées. 

282. Puisque ;r est la somme d'une fonction de ? et d'une 
fonction de vj, nous pourrons poser 

^ = cp'(^)+.y(r.), 

cp et tj> étant arbitraires. Gela posé, on a 
d'oiî 

Y étant supposé constant dans l'intégration. Or les équa- 
tions (i4) et (i5) donnent, dans cette hypothèse. 



dX = Yd'^-^ds/-i — V^ = Yd'n -i- d^- I - r;-. 

Substituant ces deux valeurs de dX. dans les intégrales cor- 
respondantes, etintégrant par parties le second terme de cha- 



366 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

cune d'elles, il viendra 

G désignant une fonction de Y. 

Pour obtenir maintenant jk, nous aurons à prendre la dé- 
rivée partielle de cette expression par rapport à Y, en sup- 
posant que les variables indépendantes soient X, Y. On a, 
dans cette hypothèse, en prenant les dérivées partielles des 
équations (i4) et (i5), 



i 


4- 


dY 

ÔY 


4- 


0\'- 


dY 


-1 - 


•m 


— I — 


- '"'" _ 






ÔY 





o. 



En tenant compte de ces relations, la dérivée de Z se ré- 
duira à 

y = <f(^)-Ê<f'(f) + ^(n)-,,f(,,)+.^^,. 

Mais jK doit être de la forme <I>(^) -h ^(71)5 et son dernier 

terme -^ est une fonction de Y, qui ne peut être de cette 

forme que s'il se réduit à une constante. D'ailleurs on peut 
fondre cette constante dans la fonction arbitraire cp, de telle 
sorte qu'on ait simplement 

J = <f(|)-$cp'(0+^.(r,)-,,y(n). 

La quantité G qui figure encore dans l'expression de Zsera 
une constante qu'on peut supprimer en la fondant avec les 
intégrales. 

Il ne reste plus qu'à déterminer la quantité 

z = Xa^-hYy--Z. 
En y substituant les valeurs trouvées de x^ y, Z et tenant 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 867 

compte des relations (i4) et (i5), il viendra 

Nous avons ainsi exprimé les trois coordonnées x, jk, z des 
surfaces cherchées au mojen des paramètres ^, 7|. 

283. Considérons l'équation aux dérivées partielles du 
premier ordre 

(17) ^{u,ç) = 0, 

OÙ Uj p sont des fonctions données de x, y, z, /?, q, dont 
l'une au moins contienne p ou q^ et <ï> une fonction arbi- 
traire. 

Prenons les dérivées partielles de l'équation. Il viendra 

âul 

tLhmmant le rapport -^r- I -r-' oii obtiendra une équation 
^^ ou ov '■ 

du second ordre, de la forme 

(18) Rr -i- 2Ks -^ ht -h M -}-N{rt — s'-)— o, 

où H, K, L, M, N sont des fonctions de x, y, z, p, q. 

L'équation (17) du premier ordre est dite une intégrale 
intermédiaire de cette équation du second ordre. 

Réciproquement, étant donnée une équation du second 
ordre de la forme (18), on peut se proposer avec Monge de 
reconnaître si cette équation admet une intégrale intermé- 
diaire et de déterminer celle-ci lorsqu'elle existe. 





'du 


du 


-H r 


du 
dp 




ôx 


di' 


4- /" 


dv 

dp 




du 

.ày 


du 


-\- s 


du 

dp 




Vày 


di> 
^^-di 


-\-s 


d^ 

dp 



368 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

281. Supposons que l'équation (i8) admette une intégrafe 
intermédiaire (17). Soit V ce que devient le premier membre 
de l'équation (17) pour une détermination donnée à volonté 
de la fonction <I>. En changeant $ en <[> — c, c désignant une 
constante arbitraire, on obtiendra l'équation 

(19) Y = c 

comme cas particulier de (17). 

Toute solution de cette équation satisfera donc à l'équa- 
tion (18). Mais elle satisfait en outre aux deux équations 



ÔY 


-^P 


dY 
ôz 


-h A- 


ÔY 
dp 


-h s 


à/ 


àf 


-+-^ 


ÔY 

dz 


+ 5 


dY 
dp 


-ht 


àq 



\ uv uz uif ai ' 

(20) 



obtenues en prenant les dérivées partielles de (19). 

Tirons de ces équations les valeurs de r, s pour les substi- 
tuer dans (18); il viendra 

(21) P-hQ^=zo, 

en posant, pour abréger, 

PrrzHf-^ -^^— - -H— — +/.-_ 



'd^-^'^-di)d7i-^jp\-ù:v^^'Tz 

^.(dY ^ dY\ôY ,,fdYY _ /^V dY 



dy ' ^' dzjdp ' ^^^\dpj ''\df ^^ dz 

= H|^— V"-2K— ^-hL(^ - 
^ \àq J dp dq \ dp 

^/dY , dY\dY ^/dY dY\dV 

-''[dy^'^Tz)dq-''[d^^^Tz)dp' 

L'équation (21) doit être une conséquence de l'équa- 
tion (19). Mais les seules relations indépendantes de la con- 
stante c que celle-ci établisse entre ^,JK, z, p, q, r, 5, t sont 
évidemment les relations (20). Or, si nous supposons que V 

/dYY 
contienne /?, le déterminant (-y-) des relations (20), par 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 869 

rapport à r et 5, étant ^ o, on ne pourra en déduire aucune 
relation nouvelle, indépendante de /' et de s; donc l'équa- 
tion (21) ne pourra subsister que si l'on a identiquement 

P = o, Q = o. 

Ce sont deux équations simultanées du premier ordre, aux- 
quelles la fonction V doit satisfaire. En général, elles sont in- 
compatibles ; mais, si elles ont des solutions communes, cha- 
cune d'elles donnera une fonction V, telle que l'équation 
V=^ c entraîne comme conséquence l'équation (18). 

285. Ces équations P = o, Q = o sont du second degré par 
rapport aux dérivées de V; mais elles peuvent être notable- 
ment simplifiées. 

En effet, éliminons entre ces deux équations la quantité 

dV dV ,. , 11 , . 

1 '"/^ '^' ^^^^^^ obiendrons cette nouvelle équation 



(22) 






(HL-MN-K2)( ^- 



d'où l'on déduit, en posant, pour abréger, 
G = K- -f- MN — IlL, 

(23) N^--H^_j-H(K±v/G)-^--II_=^o. 

Substituons dans Q = o la valeur de -^ \- c/ -r- tirée de 

Of ^ âz 

cette équation, et supprimons le factehir commun ~; il vien- 
dra 

Les deux équations (28) et (24) sont linéaires. Si G n'est 
pas nul, on pourra prendre successivement pour y/G les deux 
J. — Cours, lîl. 24 



370 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

valeurs dont cette quantité est susceptible ; on obtiendra ainsi 
deux systèmes d'équations linéaires 

(25) P, = o, Q,= o 

et 

{26) P2=0, Q2=0, 

et V devra nécessairement satisfaire à l'un des deux. Si G est 
nul, ces deux systèmes se réduiront à un seul. 

286. Nous avons toutefois supposé dans la démonstration 

que -T— n était pas nul. !m 1 on avait — - = o, mais -^- ^o, on 
^ dp ^ dp ^ dq ^ 

n'aurait qu'à permuter dans le raisonnement x^ p, /% H 

avec y, g, ^, L, et l'on arriverait au même résultat, car ce 

changement transforme simplement P^, Q,, P^, Qo en Qo, 

Notre conclusion ne serait donc en défaut que si V ne 
contenait ni p ni q. Mais, par définition, s'il existe une in- 
tégrale intermédiaire <ï>(w, <^)= o, l'une au moins des fonc- 
tions u, V contiendra p ou q. Donc, parmi les fonctions de la 
forme 4>(m, (^), on pourra trouver deux fonctions distinctes U 
et V contenant chacune p ou. q et satisfaisant, par suite, à 
l'un des deux systèmes d'équations (aS) ou (26). Toute fonc- 
tion ^(U, V) de U et de V qui contient/? ou ^ y satisfera de 
même. 

On déduit de là que U et V doivent satisfaire toutes deux 
au système (aS) ou toutes deux au système (26). Supposons 
en effet que U satisfît au système (26) et V au système (26) ; 
^(U, V) ne satisferait, en général, à aucun des deux. En 
effet, l'équation P<, par exemple, étant linéaire, le résultat 
de la substitution de ^(U, V) dans cette équation sera 

S et T étant les résultats de la substitution de U et de V. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 871 

Mais U satisfaisant à P, = o et V à 
on ama 

S =0, T — 2 v/G -.— =rr o, 

De même, le résultat de la substitution de ^'(U, V) 
dans Q, sera — 2 y/G 3~~ ^v^ ^^ ^^ n'est pas nul, les deux 

systèmes (25) et (26) étant supposés distincts; d'autre part, 

ÔY ÔY 

-r- et -r- ne sont pas nuls à la fois; enfin, si W contient V, 

-rv, n^est pas nul; donc W ne pourra satisfaire à la fois aux 

deux équations P< = o, Q, = o. On voit de même que, si 
W contient U, il ne peut satisfaire à la fois aux équations 
P2=o, Q2=0. 

Si donc il existe une intégrale intermédiaire, l'un au 
moins des deux systèmes (25) ou (26) admettra deux inté- 
grales distinctes U et V. 

Réciproquement, si le système (25), par exemple, admet 
deux intégrales distinctes, U et V, il admettra comme inté- 
grale ^F(U, V), quelle que soit la fonction W, et l'on aura 
l'intégrale intermédiaire 

^F(U, V) = o. 

La recherche des intégrales intermédiaires se réduit, 
comme on le voit, à celle des solutions communes à deux 
équations linéaires du premier ordre. 

287. Lorsqu'on a réussi à trouver une intégrale intermé- 
diaire 

^F(U,V)=:0, 

il ne reste plus, pour obtenir ^, qu'à intégrer cette équa- 



372 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE III. 

tion, qui est équivalente à la proposée, mais du premier 
ordre seulement. Toutefois, la présence dans l'équation 
d'une fonction arbitraire rendra en général l'intégration plus 
difficile. 

On peut d'ailleurs obtenir plusieurs intégrales intermé- 
diaires, soit que chacun des deux systèmes (aS), (26) en 
donne une, soit que l'un d'entre eux en fournisse plusieurs. 
En effet, ce système étant formé de deux équations entre 
cinq variables pourra admettre dans certains c^s jusqu'à 
trois intégrales distinctes U, V, W. Il fournira alors deux 
intégrales intermédiaires 

W{l],\)=.o, X(U,W) = o. 

Supposons qu'on ait obtenu deux intégrales intermé- 
diaires, on pourra les mettre sous la forme 

(27) U=/(Y), U,=:?(VO. 

Joignons à ces équations la suivante : 

dz —s p dx -h ([ dy. 

On pourra tirer/? et q des équations (27) pour les substi- 
tuer dans cette dernière; on obtiendra ainsi une équation 
aux différentielles totales entre les seules variables x^ y^ z. 
Cette équation satisfait évidemment à la condition d'inté- 
grabilité, et son intégration donnera z. 

Il y aura, en général, avantage à faire un changement de 
variables en prenant V et Vi pour variables indépendantes 
à la place de x et de y. 

288. Soit, comme application, à intégrer l'équation 

rt — .9-rrr O. 

On a ici H = K =: L r=z M = o , N = i , G = o , et les 
deux systèmes (25) et (26) se réduiront à un seul 

dx ' dz ày dz 



à 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. B^Z 

Ce système admet évidemment les trois intégrales 

V=r/?, V:=^, \=ZZ — pœ — qy. 

On aura donc les deux intégrales intermédiaires 

qu'on doit combiner à 

dz:=. p dx 4- q dy, 
La différentialion des deux premières équations donne 

àq=f'{p)dp, 

dz — p dx — q dy — x dp — y dq =rz ©'(/^) dp^ 
et, en substituant les valeurs de dz et dq^ 

[^-^f'{p)y-^^'{p)']dp^o. 

En posant dp ■= o, d'où p =i c^ on aura la solution parti- 
culière 

z — cx~J\c)y^^{c), 

et, en égalant à zéro l'autre facteur, on aura une autre in- 
tégrale, représentée par ces deux équations 

^ — p^ — f{p)y — '^{p)y 
^-^f'{p)f-^?'ip)^o. 

IV. — Équations linéaires à coefficients constants. 

289. Les problèmes de la Physique mathématique con- 
duisent en général à intégrer des équations (ou des systèmes 
d'équations) aux dérivées partielles, linéaires par rapport 
aux fonctions inconnues et à leurs dérivées partielles. 

S'agit-il, par exemple, de la propagation de la chaleur, on 
aura entre le temps t, les coordonnées ^, /, z d'un point 



374 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

quelconque du corps étudié, et sa température U, l'équation 

a désignant une constante. 

Il faudra joindre à cette équation, pour préciser la ques- 
tion, certaines conditions accessoires qui varieront dans 
chaque cas. 

Si l'on considère un espace illimité, on rendra le pro- 
blème déterminé en joignant à l'équation (i) une équation 
de la forme 

U=/(^,J, -) pour t=zo, 

laquelle donne en chaque point la température initiale. 

S'il s'agit d'un corps K de dimensions finies, on pourra se 
donner la température initiale de chacun de ses points, ce 
qui donnera la condition 

(2) V :=J{a:,y, z) pour^ = o. 

Mais cette condition n'ayant plus lieu pour un point quel- 
conque ^, y, z de l'espace, mais seulement pour les points 
intérieurs à K, ne suffira plus pour rendre la question déter- 
minée. Il faudra y joindre de nouvelles conditions relatives 
aux points de la surface S qui limite R. On pourra, par 
exemple, se donner la température à chaque instant en 
chacun de ces points, ce qui donnera une équation de con- 
dition de la forme 

(3) Y—(f{x,y,z,t), 

valable pour tous les points de S. 

La connaissance de la température à la surface du corps 
peut d'ailleurs être remplacée par une autre donnée équiva- 
lente. 

Si, par exemple, on sait que le corps rayonne librement 
dans un espace à une température constante, l'équation à la 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 87 5 

surface (3) sera remplacée par la suivante 

(A) -— cosa+ -.-- cos8 + — -cosv =: AU, 

^^^ âôc df dz ' 

OL, p, Y étant les cosinus directeurs de la normale à la surface 
au points, y, z el h une constante. 

Nous avons ainsi, en général, deux sortes de conditions 
accessoires : i*' conditions initiales qui auront lieu pour 
^ ^= o dans tout l'intérieur du corps considéré; 2° conditions 
relatives aux limites, qui seront vérifiées à la limite du 
corps. Les unes et les autres peuvent être variées d'une infi- 
nité de manières, ce qui donnera lieu à autant de problèmes 
essentiellement distincts. 

2/90. En général, les conditions accessoires, de même que 
les équations aux dérivées partielles, seront linéaires par 
rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées par- 
tielles. Il en résulte d^iraportantes conséquences. 

Soient, en effet, Ui, Uo, ••• les fonctions inconnues, 
t^ X, ... les variables indépendantes. Les équations aux dé- 
rivées partielles seront de la forme 

(5) F,=/,, F^^y;, 

les conditions accessoires de la forme 

(6) *i=Ti, *2— T2> -y 

F,, F2, . . ., ^j, <ï>2, . . . étant des fonctions linéaires et ho- 
mogènes par rapport à U<, U2, ... et à leurs dérivées par- 
tielles, et /i,/2, . . . , cp,, cpo, . . . des fonctions des variables 
indépendantes. 

Supposons que nous soyons parvenus à déterminer : 
1° une solution particulière U'^, Uj, ... du système d'équa- 
tions aux dérivées partielles 

(7) F,=:/j, F2.Z.0, ...; 



376 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ilf. 

2° une solulioù particulière U", , U2, ... du système 

(8) F,=r:0, F^^/,, 



etc. 
Posons 

u, = u;-FU';-h... + v,, 

Les nouvelles variables Y^, V2, ... devront évidemment 
satisfaire aux équations 

F, — o, Fa^o, 

et aux conditions accessoires 

t!;,, tLo, ... désignant les fonctions des variables indépen- 
dantes que l'on obtient en substituant dans <ï>,, ^o? • • • à la 
place de Ui, U,. ... les expressions 



U, = u; + U ; ^ . . . , U2 = U2 -I- u 



Soient, d'autre part : i" V'^, V'g, ... le système des fonc- 
tions qui satisfont aux relations 

(9) Fir=o, F2=:o, ...; *,=zcpi — (j^i, ^^— O, ...; 
2^ Y\, V'^, . . . celui des fonctions qui satisfont aux relations 

(10) Fi = o, F2=o, . . . ; *i=o, *2=cp2 — tj^s, 

Si nous posons 

v,=v;-hV';4-...4-02, 



les nouvelles variables 0,, 805 • • • satisferont aux relations 

Fi = o, F2r=o, . . . ; *i = o, *2 = o? 

Ces équations, étant linéaires et homogènes par rapport 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 877 

aux fonctions inconnues et à leurs dérivées, admettront la 
solution 9, = o, 82= o, ... et n'en admettront pas d'autre, 
puisque le problème est entièrement déterminé. On aura 
donc finalement 



u,=u; + u'; + . 


.. + V',+V', + .. 


u,=u;+u'; + .. 


• •+v;+v;+... 



et l'on voit que la résolution du problème primitif s'ob- 
tiendra en déterminant : i^ une solution particulière de 
chacun des systèmes (7), (8), ...; 2° la solution de chacun 
des systèmes (9), (10), 

La question se trouve ainsi ramenée à d'autres problèmes 
plus simples où tous les seconds membres sont nuls, à l'ex- 
ception d'un seul. 

Dans la plupart des applications, les équations aux dé- 
rivées partielles (5) n'ont pas de seconds membres^ on 
pourra donc poser plus simplement 

u,=v;+v'; + ..., u,=v;+v;+..., ..., 

Vj, V',, ...; V"^, V'2, ...; ... étant les solutions des sys- 
tèmes suivants : 

Fi=o, F2 = o, ...; ^i=<?i, *2 = o, ..., 

^\ = 0, F2=0, ...; *î»i=:0, *2=?2, •••, 



291. La décomposition précédente du problème proposé 
en problèmes plus simples est souvent utile; mais il n'est pas 
toujours nécessaire d'y avoir recours. Nous admettrons donc, 
pour plus de généralité dans les explications qui vont suivre, 
qu'elle n'ait pas été faite complètement, de telle sorte que 
l'on ait à intégrer un système formé d'un certain nombre 
d'équations aux dérivées partielles linéaires et sans seconds 
membres 

(ti) F,r=0, Farzzo, 



378 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

jointes à des conditions accessoires dont les unes 

(12) «i'jznzo, *ï>2=0, 

n'auront pas de seconds membres, tandis que les autres 
(i3) ^1=^1, ^2=^2, 

en auront. 

La marche généralement suivie pour résoudre les questions 
de cette nature est la suivante : 

On néglige provisoirement les conditions (i3); les équa- 
tions conservées (i i), (12) ne suffisant plus pour la détermi- 
nation complète des fonctions inconnues admettront une 
infinité de solutions. 

On tâchera d*en déterminer des solutions particulières. 
Dans tous les problèmes que l'on sait résoudre, on obtiendra 
sans trop de peine une infinité de solutions simples de la 

forme 

I Vi =yi (^, ^, . . . , a, jj, . . , ), 

(i4) y,-=Mt,œ, ...,a, ^., ...), 



a, [3, ... étant des paramètres variables d'une solution à 
l'autre. 

Deux cas seront ici à distinguer, suivant que les valeurs 
précédentes constituent une solution, quelles que soient les 
constantes a, j3, . . . , ou seulement pour celles de ces valeurs 
qui satisfont à certaines relations (par exemple, pour les va- 
leurs entières de ces constantes, ou pour celles qui sont les 
racines en nombre infini de certaines équations transcen- 
dantes que l'on formera dans chaque cas). 

292. Dans le premier cas, les intégrales définies 

(l5) j^cp(a,?, ...)/i^/^-<3..., ^cp(a, p, ...)/,^a^?...,- ... 

donneront une nouvelle solution, quels que soient le champ 
de l'intégration et la fonction (p(a, p, . . .). En effet, il est 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 879 

clair que le résultat de la substitution de ces intégrales, dans 
l'une quelconque des équations (i i) ou (12), sera 

(16) S"^^^''^' ...)M^x^?..., 

M désignant le résultat de la substitution de/4 5/25 Mais M 

est nul, par hypothèse : donc l'intégrale (16); ayant tous ses 
éléments nuls, sera nulle elle-même. 

Cela posé, nous tâcherons de déterminer le champ de 
l'intégration et la fonction arbitraire cp, de telle sorte que la 
solution (i5) satisfasse aux conditions (i3). Si nous y parve- 
nons, nous aurons satisfait à toutes les exigences du pro- 
blème. 

5293. Dans le deuxième cas, on substituera successivement 
dans la formule (i4)) pour les paramètres a, p, . . . , les divers 
systèmes de valeurs dont ils sont susceptibles; on obtiendra 
ainsi une suite illimitée de solutions 

Nous obtiendrons une nouvelle solution plus générale en 
posant 

(17) Vi=c'v;4-c"V';-i-..., Y2=:rc'v;-Hc"v';+..., ..., 

c' , c\ . . . désignant des constantes arbitraires. 

Il est clair, en effet, que le résultat de la substitution de 
ces valeurs dans l'une quelconque des équations (i i) et (12) 
sera de la forme c' M' 4- c'' M'' + . . . , M', IVF, ... désignant 
les résultats respectivement obtenus parla substitution des 
diverses solutions simples. Or M', M'', ... sont nuls, par hy- 
pothèse; donc dW -\- d'W -\- . . . le sera, et les séries (1^) 
donneront une solution. 

Il restera à déterminer les coefficients arbitraires c\ c" , ..., 
de telle sorte que ces séries soient convergentes et satisfas- 
sent aux conditions (i3). Le problème sera dès lors résolu. 

Nous allons éclaircir cette méthode par quelques exemples. 



38o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IIÏ. 

294. Propagation de la chaleur dans un milieu indé- 
fini. — On a à intégrer l'équation 

^ ^ dt \ dœ^' dy- oz- 

jointe à la condition initiale 

\] z=^f[x, y, z) pour ^ = 0. 

L'équation (18) admet évidemment comme intégrale parti- 
culière l'expression 



U'r= cos«(^ — X) cosr(/ — [x) cosw{z — v) e" 



-(«*-+- t''-»-ii''jrt»/ 



w, p, w, \^ [JL, V étant des constantes arbitraires. Elle admettra 
donc comme solution l'intégrale 

' / / \}'dLidvdw, 

laquelle est le produit des trois intégrales simples 

Jf g-«-«-/ cos u{x — 'k)du, 

j e^"'"''^ cos ç {y — [J-)<^(% 

j e-"^''''^cosw{z —v)dw. 
«- 

Ces intégrales sont aisées à calculer. Nous avons trouvé, en 
efl'et (t. II, n« 165), la formule 

I e-"y' cos 2 bydy^=\ \/Tt a ^e ". 

X — l 
Changeant dans cette formule jk en u, a en a-t, b en — ^ — > 

il viendra 

j ^-a*uH C0SU{X — l)du=\ \/tz lf~ ' 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 38 1 

Calculant de même les deux autres intégrales, il viendra 



U^^u- 






~a\Jt 9.a\lt o.asjt 
L'intégrale 

u=i- r r rj\\,^,.)\]"d\dixd. 



/^00 ^00 ^»00 

Zî / / / /(>>^,v)U 



sera encore une solution. 

Cette expression peut se transformer en posant 

X — X \x — y 



?. F=T. 



2a\Jt la^'t ia\lt 

Il viendra 

3 /-*« /^« 



«^ 00 •- — 00 ^ 00 

Cette valeur de U se réduit pour ^ = o au produit de /(^,jk, z) 
par les trois intégrales simples 

\I-J_,^ \Jt.J_^ \7:J_^ 

Mais on a 

(t. II, n" 163); et de même pour les deux autres intégrales. 
L'expression U satisfera donc à la condition initiale 

U=/(j?,x, g) pour ^ = 

et sera la solution du problème. 

295. Propagation du son dans un espace indéfini. — On 
a l'équation aux dérivées partielles 






^) 




382 TROISIÈME PAllTIE. — CHAPITRE III. 

avec les conditions initiales 



pour ^ = 0. 



On peut poser U ^= U' -{- U'^ V et U" étant les solutions 
obtenues en combinant à l'équation différentielle les condi- 
tions initiales 

et 

Calculons d'abord U'. 

On voit immédiatement qu'on satisfait à l'équation au\ 
dérivées partielles et à la condition initiale U'= o par la so- 
lution simple 

U' == cosM s'inart, 

où nous posons, pour abréger, 

M = u{a: — À) -H ç{y — ix)-{- iv{z — v), 

On y satisfera plus généralement par l'intégrale 
(19) V — — ^-^-^ — ces M si 11 art d\ dix dv du dv d^v, 

F désignant une fonction de X, a, v, qu'on peut choisir ar- 
bitrairement, ainsi que le champ d'intégration. 

Les variables u^ v, w d'une part, X, p., v d'autre part, peu- 
vent être considérées comme des coordonnées rectangulaires. 
Remplaçons u,ç^w par des coordonnées polaires r, 0, cp, ajani 
pour centre l'origine et pour axe polaire la droite qui joint 
l'origine au point x — A, y — a, :; — v. Remplaçons, d'autre 
part, X, UL, V par des coordonnées polaires r', 9'^ cp', ayant pour 
centre le point x^y, z et pour axe polaire une parallèle aux z. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, 383 

On aura 

X ^ ^ H- r' sin6' coscp', 

(jt, r=; j^ H- /•' sin 6' sin cp', 
V =: ^ H- r'cos6'; 
Mr=rw(^— X)+(^(/— (x)4-tv(5 — v) — rr' cosO, 
du dv dw = /•- sin dr d^ ch^ 
dld[xdv — r'- s\n^' dr' d^' d^' . 

L'intégrale deviendra donc 

Q F CCS (/■/"' ces 6) s\nartr%\n^dr d{)d'ù r'- ^\u^' dr' d^' d'J . 

Supposons que le champ de l'intégration soit pour 9 et B' 
de o à 71, pour cp et cp' de o à air, pour r et r' de o à co. 

Les inlégrations par rapport à (p et 8 pourront s'effectuer 
en remarquant que sinO<iO=: — âfcosQ. L'intégrale de- 
viendra 

4iï ^ F r' sio ri' sin art sin 0' dr' d^' <io' dr 

= 2 7: V Fr' [cosr(/''— at) — CQ>sr{r'^at)\ shi^' d^' do' drdr'. 

On pourra encore effectuer les intégrations par rapport 
à r et r' en appliquant la formule de Fourier 

/ ^l^f /(P)cos|x(^-^)<:l=.^[/(.x^ + o)-h/(^-o)] 

démontrée au t. II, n° 226. 

Soit, en effet, ^(a^') une fonction égale à F r' quand 
/•'^o et nulle quand r' <io. On aura 

fOO yO GO 

dr Fr' [cos r { r'— at) — cosr {r'-\- at)]dr' 

— dr I 'h {r')[cosr{r' — at) — cosr{r'-\- at)]dr' 



2 2" 



384 TROISIÈME TARTIE. — CHAPITRE III. 

Cette formule suppose seulement : i° que la fonction (j> a 
une variation limitée entre — oc et -H oc ou, ce qui revient 
au même, que Fi' a une variation limitée de o à oc; 2° que 
l'intégrale 

r\<!/\dr'=f'\Fr'\dr' 

est finie. Si nous admettons en outre que la fonction F est 
continue, le second membre de l'expression précédente se 
réduira, si ^ >> o, à 7z<!^(at), car tj;( — at) sera nul^ si t <io, 
il se réduira à — tuJ;( — at). Enfin, si ^=0, il se réduira 
à zéro. 

On aura donc, pour toute valeur de t. 






F/-' [ces /•(/•'— at) — cos/-(A-'-f- at)] dr' 
^:ir.at¥{x -\-at' sin O'coscp', j + at' sinô'sincp', z -{- at' cos^' \ 



t' désignant le module de t. 

iNous obtxînons ainsi, en supprimant les lacleurîs oonalanls, 
comme solution de l'équation aux dérivées partielles, l'ex- 
pression 

27: u 

/ I ^F(^-+-a^' sinô'coscp', jH-a^'sin6'sin cp', ^-l-a^'cos6') 

X sinô'^O'^'f'. 

Pour ^ = 0, cette intégrale s'annule, et sa dérivée se ré- 
duit évidemment à 

i F(.r, y, z) s\n^' d^' d'-u' — f^r.¥ {x, y, z). 

Nous satisferons donc à toutes les conditions du pro- 
blème si nous posons 

F{x,y,z)^-^J,{x,y,z), 
Nous obtiendrons ainsi, comme solution, l'intégrale dé- 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 385 

finie double 

/ ^/i(^4-a^'sin6'coscp', 7-4-a^'sin6'sincp', <5-f- a^'cosO') 

X sinB'^O' Jcp'. 

296. Calculons maintenant U'^ 

On satisfait évidemment à l'équation différentielle et à la 
condition initiale 

—— = o pour t=zo 

par la solution simple 

CCS M cos art, 

et plus généralement par l'intégrale définie 
— ;VF(X, [JL, v)cosM cos art dk d\i, d^ du dv dw 

zz: — — ,— X ' - — - cos M sin art d\ du. dw du dv dw 
dt 2 Tz'^ a ij r 

rr -— / / ^F(a7 4- ai'sinG'coscp', j-h ai' sinô' sincp', ^ -H a^'cosO') 

X siiiO'(^0'<^cf'. 
D'ailleurs, pour ^ = o, cette expression se réduit à 

On satisfera donc à toutes les conditions du problème en 
posant 



I 

B ce qui donnera 



F(^,7,-) = ^^/(^,r,-), 



I d C C 
\]"-=:——-\ \ i/(^' + ai'sm6'coscp', j-i-ai'sinO'sincp', ^-hai'cosO') 

X sin6'<iô'<i'f'. 
On aura enfin 

Cette solution suppose toutefois, comme on l'a vu d'après 
J. — Cours, III. 25 



38G TROISIÈME PARTIF. — CHAPITRE III. 

la démonslration : i° que les fonctions 

ont une variation limitée lorsque le point 1, [ji, v décrit une 
droite partant d'un point quelconque ^, jk, z de l'espace, et 
allant jusqu'à l'infini dans une direction quelconque; 2° que 
les intégrales 

f\fr'\dr', f\Ar'\dr' 

prises le long de cette droite sont finies. 

297. Supposons qu'à l'instant initial il n'existe de mouve- 
ment qu'aux environs de l'origine des coordonnées, de telle 
sorte que les fonctions 

soient nulles pour toutes les valeurs de ^, JK, z extérieures à 
une sphère de rayon e décrite autour de l'origine. Décrivons 
une sphère de rayon at' ayant pour centre l'origine; on 
pourra la représenter par les trois équations 

^ H- at' sin 6' ces cp' .-= o, 
r^ + at' sin 6' sin cp' .- o, 

C -4- at' ces 6' rzzO. 

Pour tout point x, y, z dont la distance à cette sphère 
est > =: on aura, pour toutes les valeurs de Q' et cp', 

z=: [:z: -\- at' sin 6' ces cp' y 

-j- (7 -i- at' sin 6' sin cp' )2 4- ( ^ -+- at' cos 6' )2 > e. 

[jCs fonctions 
/(^ 4- «^'sin6'coscp', j 4- (2^' sin 6' sin cp', ^ 4- a^' cosO') 
et 

/i(^ 4- «^' sin6'cos'f', j 4- «^'sinO'sincp', ^4-a^'cosO') 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSj 

seront donc nulles dans tout le champ d'intégration, et l'on 
aura par suite U = o. 

La fonction U sera donc nulle à chaque instant dans tout 
l'espace, sauf dans l'intérieur de V onde sphérique comprise 
^ntre les deux sphères de rayon au' + s et at' — s. 

298. Problème de Cauchy. — Considérons plus géné- 

. ralement un système de fonctions inconnues U, V, ... des 

variables f , x^ jk, z^ déterminées par un système d'équations 

.(20) V^—vsi^t,x,y,z), V^, — i^,^t,x,y,z), 

ayant pour premiers membres des fonctions linéaires à coef- 
ficients constants de U, V, ... et de leurs dérivées par- 
tielles, et par les conditions initiales 

: ()V \ pour t — G. 

V=:cp(^,7,^), — 3:zcpi(^,7.^), 



Posons, pour abréger, 

;^(^ _ X) -f. (;(j _ fx) 4- «^(5 — V) :=:/?, 

u^ v^ w, "kj ^, V étant des constantes, et 

du dç dw d\ d]x di =:=; d^j. 

Nous allons prouver que la solution du problème est 
donnée par les formules 

V — — L_ C! g/i ^ ^^ 



<2I 



OÙ le champ d'intégration par rapport à chacun des couples 
de variables ?/, X; (^, p.; t^, v est un rectangle infini ayant 
pour centre l'origine des coordonnées; T, 0, ... désignant 



388 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

d'autre part des fonctions de t détînies : i° par les équations 
différentielles 

(22) <R = nT(^, X, jx, v), ^i = t;7i(^, X, [j-, v), ..., 

où <R, <R,, ... se déduisent de R, Ri, ... en j substituant 
aux dérivées partielles 

les expressions 

'^^ par les conditions initiales 

Tr_-/(X, [J., V), — r=/i(X, (X,v), ...J 

(23) { ^^ / pour ^ = 0. 

0=rcp(X, [X,v), — rrrcpi(X,[X, v), 

Substituons en effet, pour U, V, ..., les valeurs (21) 
dans l'une des équations (20), la première, par exemple; 
comme on a évidemment 

^^^.-L^-J^iue'pTd^, ^=:— ^-Q^W/'e^cT, 
dx {ir.y ij dx {2izY\J 



le résultat de la substitution dans R sera 
— ^5 ^e'PS^d^ 

(2'!T)3 \J 

OU, en vertu des équations (22), 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SSg 

Or on a 

gip-— giu(x—l) gi{>(y—\i) gitv(z— v) 

=:: [cosu {x — X) + i<è\nu {x — X)] 
X [cosp {y — \k) h- iûnv {y — (x)] 
X \^cosw{z — v) -H is,inw{z — v)]. 

Effectuant les produits, on obtiendra huit termes qui 
tous, à l'exception d'un seul, contiendront un sinus en fac- 
teur. 

Considérons un de ces termes, contenant par exemple le 
facteur s\nu{x — \). Les éléments qu'il fournit à l'intégrale 
pour deux valeurs égales et opposées de u se détruiront. 

Au contraire, les éléments fournis par le terme 

cosm(^ — X) cosv{y — \x) cosw{z — v) 

pour des valeurs égales et contraires assignées à l'une des 
quantités m, v^ w seront égaux. L'intégrale (24) se réduira 
donc à 

-3 V cosu{x~ X) cosv{y — ]x) cosw{z — v) w{t, X, (x, v) da, 

//, V, w ne variant plus que de o à 00. 

La double intégration par rapport à w, X donnera comme 
résultat, d'après le théorème de Fourier, 

— V cos(^(/ — [x) cosiv{z — v) Tn(^, X, [JL, v)dçdwclxdv. 

Intégrant par rapport à (^ et [Ji, on aura de même, comme 
résultat, 



iS 



ces w{z — V ) TîT ( ^j ^, j, V ) dw <5?V, 
et enfin, en intégrant par rapport à w et v, 



tu 



{t,x,y,z), 



ce qui est précisément le second membre de l'équation aux 
dérivées partielles. 



SgO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Les conditions initiales sont également satisfaites, car on 
a, pour ^ =: o, en vertu des équations (28), 



et il suffira de changer tu en /, /< , ... dans les raisonne- 
ments précédents pour montrer que ces expressions sont 
respectivement égales k f{x^ r, ^), f^ {00^ y ^ z'^)^ .... 

299. Propagation de la chaleur dans une barre indé- 
finie dans un sens. — Nous aurons l'équation aux dérivées 
partielles 

dt ~ "" dx-^' 

avec la condition initiale 

U=/(^) pour^ = o, ^>o 

et la condition à la limite 

Uzziio[t) pour ^ =: o, 

laquelle donne, en fonction du temps, la température à l'on- 
gine de la barre. 
On pourra poser 

U' devant satisfaire aux conditions 

U' = /(^) pour ^ r^ o, ^>o; 
U'=o pour ^=10, 

et U" devant satisfaire aux conditions 

U"==o pour ^ =r o, ^>o; 

\j":zz'l^{t) pour ^ :^ O. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SqI 

Calculons d'abord U'. 

On satisfait à la condition U' = o pour x = o^ ainsi qu'à 
l'équation aux dérivées partielles, par la solution simple 



smuœe' 



et par la solution pins générale 

/ sin uxe-'''"'^ F {li) du j 

laquelle, pour t=^ o^ se réduit à 

/ sinw^ F{u) du. 
Il restera donc à déterminer F(?i), de telle sorte qu'on ait 

J' smux¥{u) du-=^ f{œ) pour .2^ > o. 



On y arrivera en posant 

F(«) — § f sinu\/{l)dX. 

Ou a, en effet, 

^.00 .00 
- / / sinw^ sin^X /(X) <iX 

= - / / [cosw(^ — X) — cosm(^ -f-X)] /(X) <^, 

•• ^0 

et, en désignant par ^()^) une fonction égale à /(a) pour 
\^ Oy à. zéro pour X <C o, cette intégrale aura pour valeur 

i[^{x-i- o) -h 4^(^ -- o) — <];(— ^-1- o) — ^(— ^' — o)J, 

quantité qui, pour ^ >> o, se réduira à f{x) [en supposant 
/(^) continue]. 



392 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

La solution du problème sera donc l'intégrale double 



Kf'f 



e-^''^'-i[Gosu{cc — X) — CCS w(^ -r- X)] /(X) du dl 



ou, en effectuant l'intégration par rapport à «, comme au 

n" 294, 

r"^ r (x— >o^ _(.r-t-X)*- 

(25) 



-^ f /(X)rfx[, 
a\/'Kt J Q 



300. Passons au calcul de U'^ Ce problème se ramène au 
précédent, comme nous allons le voir. 

Nous traiterons d'abord le cas particulier où cp(^) se réduit 
à la constante i. On aura, dans ce cas, 

W étant une nouvelle solution qui satisfasse aux relations 

W =:— I pour ^ r-r. O, X > O ; 

W — o pour œr=.o. 

Cette dernière fonction s'obtiendra en posant /"().) = — i 
dans la formule (20). On aura donc 

>>)* /•« (.r-(-),i"- 



U"=I 



2 a \J- 1 



r _ îj^lZL'll! /• " _ (-r +).!'- -1 

/ e '^-^ dX~ \ e '"''~dX\ 



Cette expression peut se simplifier. Changeons, en effet, 
de variables en posant, dans la première des intégrales ci- 
dessus, 



lasjt 
et dans la seconde 



-p 



^"4 =. p. 

ia\J t 



Elles deviendront respectivement 






i 



ÉQUATIONS aux: DÉRIVÉES PARTIELLES. SqS 

et auront pour somme 

X .r 



mais on a d'ailleurs 






On aura donc finalement 



V 



expression que nous désignerons par yj^x^ t). 

301 . Passons au cas général où 'f (^) ne se réduit pas à une 
constante. Nous allons démontrer qu'on a 

:' (26) V"::^^{o)x{x,t)-\- f ySœ,t-\)o'{\)d\. . 

En effet, 7_(^, t) étant une solution de l'équation aux déri- 
vées partielles et celle-ci ne changeant pas si l'on y change t 
en t — X, y^{Xy t — -X) sera encore une solution. 

L'intégrale / y{x, t — \) ^' Çk) dl, prise entre des limites 

constantes, sera une solution, et il en sera encore de même 
si la limite supérieure, au lieu d'être constante, est égale à t; 
car cette supposition ne fait qu'ajouter à la dérivée partielle 
de l'intégrale par rapport à ^ le terme x(^, o) ^'(t), lequel est 
nul dans toute l'étendue de la barre, d'après les conditions 
qui ont servi à déterminer la solution ')((^, t). 

Donc les deux termes de U'^ sont des solutions de l'équa- 
tion aux dérivées partielles. Tous deux s'annulent d'ailleurs 
pour ^ = o dans toute l'étendue de la barre. On aura donc 

U" = o pour tzzzo, oC >> o. 



^ or xr; 

f TJNIVEB 



394 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Enfin, pour ^ = o, on a 



et 



Donc U'^ satisfait bien à toutes les conditions du problème. 

302. L'expression (26) peut se transformer au moyen de 
l'intégration par parties. On a, en effet, 

- 

D'ailleurs ^(a)^(^, t — "k) s'annule pour "kz^ t, et se ré- 
duit à cp(o) '/(^i t) pour). -— G. On aura donc simplement 



Remplaçons maintenant ;)((^, t — X) par sa valeur 



on aura 



et enfin 



JX{X, t-\)^~ : 



/»' -^^ _3 

U"--=-:^ / e *«'('->>(^-X) "^■cp(X)^X. 
lasjTzJ f^ 



La méthode dont nous nous sommes servi pour ramener le 
calcul de U" à celui de U' est évidemment applicable à tous 
les problèmes analogues. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. SgS 

303. Cordes vibrantes. — Considérons une corde tendue 
sur la portion de l'axe des x comprise entre o et /. Dési- 
gnons par U le déplacement suivant l'un des axes coordonnés 
du point dont l'abscisse serait x dans l'état de repos. Nous 
aurons l'équation aux dérivées partielles 

à laquelle il faudra joindre les conditions initiales 

dV ^ , A pour trr=0, 0<X <l 

et les conditions aux limites 

Lj rz: o pour X z=0, 
U ~r; O pour ^ = /, 

lesquelles expriment que les extrémités de la corde restent 
fixes. 

Nous avons trouvé (273) que l'intégrale générale de l'équa- 
tion (2^) est 

U = <p ( ^ H- <2i ) -^ '^{x — at). 

Il reste à déterminer les fonctions co et ({; de manière à sa- 
tisfaire aux autres conditions du problème. 

Les conditions initiales donnent, pour l'intervalle de o à /, 

ao'{œ) —a^'{x)r^f,{x); 
d'où, en intégrant, 

a'f{x) — a^{x)=z j f^{x)dx -^ c 



€t enfin 



I /""■ c 

Z tl ^ A (Z 



Uj' 



^{x)^\J{x)-— \ f,{x)dx--~ 



396 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

D'ailleurs, U ne changeant pas quand on accroît la fonc- 
tion cp d'une constante quelconque en diminuant d'autre 
part la fonction ^ de la même quantité, on pourra, sans 
nuire à la généralité de la solution, supposer c = o. 

Les fonctions ^{x) et <J>(x) sont ainsi déterminées dans 
l'intervalle de o à /. Les conditions aux limites donnent 
d'ailleurs les identités 

o{at)-h'\>{ — <2^) = o, 

d'où, en changeant at en x, 

cp(^) -^- <h{~ x) ■-- O, 
cp ( / -h ^ ) -4- 6 ( / — ^ ) = O. 

Cette dernière équation donnera la valeur de cp pour les 
valeurs de l'argument comprises entre /et 2 l. En y chan- 
geant ^ en ~ X, elle donnera la valeur de 'h dans le même 
intervalle. 

Enfin, en y changeant / en / -f- .r, il viendia 

o{2l -i- X) -h ^{ — ^)r3z0, 

d'où 

cp(2/-|- ^) =: cp(jr). 

La fonction o admet donc la période 2/. Il en sera de 
même de la fonction 

^{œ) --=: — cp( — x). 

Les deux fonctions cp et ^j;, admettant la période 2/ et étant 
connues dans l'intervalle de o à 2 /, seront déterminées pour 
toutes les valeurs de l'argument. 

304. La méthode d'intégration précédente, due à Euler, 
est spéciale au problème des cordes vibrantes. Le procédé 
de Bernoulli, que nous allons exposer, est, au contraire, l'ap- 
plication directe des principes établis au commencement de 
cette Section. 

On satisfait à l'équation aux dérivées partielles et aux 



ÉQUATLONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 

conditions aux limites par les solutions simples 

. niTzx mizat . mtzx . rmzat 
sin — ' — ces ; — ? sm — - — sin — - — j 



397 



où m désigne un entier quelconque. 

On y satisfera plus généralement par la série 



"=S 



. . niizx mizat 
Km sm — ; — ces h 



s»' 



. niT^x . m liât 
sm — - — sm — - — j 



m prenant toutes les valeurs entières de i à 00. 

Reste à déterminer les coefficients K^ et B;;^, de manière à 
satisfaire aux conditions initiales. En y substituant cette va- 
leur de U, elles deviendront 



A^sm-y- =/(^. 



V^ rri'Ka 



. mizx 

B,nSm-y- r=:/i(^), 



et l'on y satisfera (t. II, n° 238) en posant 



. inizx _ 
a) sm — -— aa, 



m 



ro-îf.' 



. mizct 
/i(a)sm— -^a. 



305. Refroidissement d'une barre hétérogène. — Ce 
problème dépend de l'intégration de l'équation suivante 



(28) 



^ dt ~~ ôx dx 



/U 



jointe à la condition initiale 

(29) V=J{x) pour ^ = 0, ^>o <X 

et aux conditions aux limites 



(3o) 
(3i) 



k-j /î U =: o pour ^ =^ o, 

A- -.— -h HU — o pour ^ — X. 



SqS troisième partie. — CHAPITRE III. 

La barre est supposée s'étendre sur l'axe des ^ de o à X; 
g^ k, l sont des fonctions de x^ positives dans toute l'étendue 
de la barre et représentant respectivement la chaleur spéci- 
fique, la conductibilité intérieure et le pouvoir émissif sur 
chacune des sections transversales ; A et H sont des con- 
stantes positives. 

On satisfait à l'équation (a8) par la solution simple 

r désignant une constante et V une fonction de x qui satis- 
fasse à l'équation linéaire du second ordre 

(^^^ ;â4I + (^'-^)^-°- 

Les équations (3o), (3i) donneront 

(33) k-j AY=:o 25our^r=o, 

dW 

(34) A-L_+HV=o pour:rr::^X. 

Soient V, \" deux solutions particulières de l'équation 
(32); l'intégrale générale sera 

c'\'-^c"y", 

et cette valeur, substituée dans les équations (33) et (34), 
donnera 



■>) 



On pourra satisfaire simultanément à ces deux équations 

par un choix convenable du rapport — si leur déterminant 

est nul. Ce déterminant est une fonction de r que nous dé- 
signerons par7n(/'). 

Soient ;'4, /'2, ... les racines de l'équation rn^r) r= o. A 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 899 

chacune d'elles, telle que r„, correspond une intégrale V„ 
telle que la solution simple 

satisfasse à la fois à l'équation aux dérivées partielles et aux 
équations aux limites. 

On y satisfera plus généralement en posant 

et cette nouvelle expression sera la solution du problème, si 
elle satisfait en outre à la condition initiale. 

Il ne restera donc plus qu'à choisir les coefficients A, de 
telle sorte qu'on ait 

'LPs.niN „i-~^ f{x) de ^ =:: O à ^ rr: X. 

306. La détermination de ces coefficients repose sur une 
propriété importante des fonctions \ ,i, que nous allons ex- 
poser. 

Le paramètre r restant provisoirement arbitraire, dési- 
gnons par V celle des intégrales de l'équation (32) qui satis- 
fait, pour X =^ o, à la condition initiale (33). Ces deux 
équations pourront s'écrire ainsi 

(87) k- AV = o pour^=ro, 

en substituant aux différentielles ordinaires des signes d de 
dérivation partielle, pour mettre en évidence ce fait que V 
dépend non seulement de x, mais du paramètre r. 

Donnons à ce paramètre une autre valeur j'. Soit V la va- 
leur correspondante deV; on aura 

(89) k -^ Il V ;=i: o pour œ —- o. 



4oO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Retranchons l'une de l'autre les équations (36) et (38), 
respectivement multipliées par V et V; il viendra 

~ da:[_\ ôx dx ) \ 

et, en intégrant de o à X, 

j(.'-.)pvr..= [.(v'g,-vg)]; 



=['■(-£-£)] 



5 



car, pour x^=:OjV expression k I V -^ V -y— 1 s annule en 

vertu des équations (3^) et (39). 

Posons maintenant r=zrjn^ r' :=zrm i^m et /•„ étant deux 
racines distinctes de l'équation ^{r) = o; V et V se rédui- 
ront à Y ni et V/i, et l'on aura, pour ^ = X, 



k'LL 4-HY = o, k-~ -hHV'=:.o, 



— HY = o A-"^- 

dx ' ôx 

d'où 



L'équation (4o) se réduira donc^ en supprimant le facteur 

dx z:^0. 



(40 f g^rn^n' 



Soit, en second lieu, r = /-,;, /'= /'« + £> £ étant un infi- 
niment petit. On aura 

v-v -''X-î^», 

dx dx 

'^ ' ()/• ôx Ox dx dr 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^1 

Substituant dans l'équation (4o)j divisant par s et passant 
à la limite, il viendra 

<'•) r.-.-"['-("rS-v.S.)L- 

307. Nous allons maintenant établir que, si l'on débarrasse 
l'équation m(j^) = o des racines parasites pour lesquelles la 
solution V correspondante serait identiquement nulle, les 
racines restantes seront toutes réelles, inégales, positives et 
en nombre inflni. 

i" Si TO(r) = o admettait une racine imaginaire rm^=0L-\~^i, 
elle admettrait sa conjuguée r„ =z ol — ^i. A ces deux racines 
correspondraient deux intégrales conjuguées Y ni^=^ p -\- qiy 
\ \ f^=zp — ^/, et l'intégrale 

f g V,n V, d.X z:-. f g{p^-^q'')dx 
^0 «- 

aurait tous ses éléments positifs, ce qui est absurde, puis- 
qu'elle doit être nulle. 

2" Si m(r)=:o admettait une racine double r, l'intégrale 
correspondante V^ satisferait, pour x = K, non seulement 
à l'équation 



mais à sa dérivée 



à. ■ "^"=°' 



ri — r — = o 



dx dr dr 

On aurait donc, pour ^ = X, 



— V -^ r- r=:0. 



dr ôx ôx dr 

d'où 

,x 

g\ldx=:0, 
'0 



f 



résultat absurde, tous les éléments de l'intégrale étant po- 
sitifs. 

J. — Cours, III. 26 



402 TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRE III. 

3^ L'équation tïj(/) ::^ o ne peut avoir de racine négative 
ou nulle. 

En efl'et, si a-^o, / — rg sera positif dans toute l'étendue 
de la barre, et les équations 

(^^) ^'^£-(»--')^-°' 

dN 

(44) ^"7^ — /iV = pOUr^r=;0, 

(45) A^^H-HV==o pour^rrrrX 

seront contradictoires. 

En effet, l'équation (43), intégrée de o à :r, donne 

(46) { 
= [/<V]„ + Ç {l~gr)\dx. 

La fonction V varie avec œ en partant de la valeur initiale 
Vo; tant qu'elle ne changera pas de signe, tous les éléments 

de l'intégrale / (/ — gr)\ dx auront également le signe 

dV 
de Vo; donc -j- aura ce même signe, et, par suite, V s'éloi- 
gnera de zéro. 

Il résulte de là que, dans tout l'intervalle de o à X, V s'é- 

dV 
loigne de zéro et conserve le même signe que -j—- Donc l'é- 
quation 

dY 

k -, 1- HV = o pour ^ = X 

dx 

ne pourra avoir lieu, ses deux termes ayant le même signe. 

308. Les racines de Tn[r)=^o sont donc toutes réelles, 
inégales et positives. Il reste à prouver qu'elles sont en 
nombre infini. Nous y arriverons en étudiant l'allure des in- 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ^o3 

tégrales de l'équation (82) ou, plus généralement, d'une 
équation de la forme 

où K et G sont des fonctions de x. 

On peut remarquer incidemment que toute équation li- 
néaire du second ordre 

a,X' ^ clx 

peut être mise sous cette forme. En effet, multiplions cette 
équation par un facteur indéterminé M. Elle deviendra 

MP -y— -h MQ 5-^ -h MRV ^ 

dx^ ^ dx 



ou 

dx 



y- MF -1 h MO j~ h MRV -- o. 

IX dx \ dx J dx 



dY 



Le terme en -7— disparaîtra si Ton pose 






-d^où 



dUF 
MF 


= 2... 


>gMF 


=/?-■ 


M=: 


iJ'". 



et enfin 



M étant ainsi déterminé, on n'aura plus qu'à poser MF r= K, 
MR =z G pour avoir la forme d'équation voulue. 

On peut simplifier encore la forme de l'équation (47) par 
un changement de variable. Posons, en effet, 



4^4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

il viendra 

ax cLx 2 dx 

dx dx 2 dx 

dx dx dx- 1 dx \ dx ) 

Le terme en — — disparaîtra donc de l'équation transformée^ 

i 
laquelle, divisée par K"% sera de la forme 

R W = o. 

dx- 

309. Soit Vi une solution particulière de l'équation (47) r 
on aura 

d_^^dy_, 
dx dx 



K-V-' +GV,=:o. 



De cette équation combinée avec (47) oïi déduit 






, d ^ dY ^j d j^dYi 

^ dx dx 

et, en intégrant, 



ou 



, V 



dx KVJ 



et enfin 

(49) V=:cV,rj^+c'V,. 

i/o 1 

Supposons que K reste constamment fini et positif entre 
o et X. On déduira de la relation (48) que ¥< et -— 
ne peuvent s'annuler à la fois en aucun point de cet inter- 



I 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4o5 

valle; car on aurait c = o, et l'intégrale générale ne contien- 
drait qu'une constante c\ ce qui est impossible. 

L'équation Vi = o n'admet donc que des racines simples, 
et la courbe j^ — - Y ^ coupera l'axe des x en tous les points où 
elle le rencontre. Soient a et ^ deux racines consécutives; 

, fdY,\ fdN,\ . , ,, . , 

les valeurs correspondantes ( — — et ■—, — de la dérivée 

^ \ dx /oc \dx JR 

dy, , ., , . 

--;— seront évidemment de sienne contraire. 

dx ^ 

Cela posé, V désignant une autre intégrale quelconque, on 
aura l'équation (48) qui, pour ^ r=^ a et ^ = p, se réduira à 

-i-i-(§).=— i-j.(m- 

Donc [KV]a et [l^VJs seront de signe contraire, et, 
€omme K est toujours positif, [V]a et [V]p seront de signe 
contraire. 

Donc, entre deux racines consécutives de l'équation 
Vi ^==^ o, comprises entre o et X, il y aura au moins une ra- 
cine de V^- o. Il n'y en aura d'ailleurs qu'une seule, car ce 
théorème est évidemment réciproque. 

310. Nous allons étendre cette comparaison aux inté- 
grales V, V qui satisfont respectivement à deux équations 
différentielles distinctes 

l d ^^ dY ^,, 

\ -~K h GV =:z o. 

] dx dx 

f (50) ' , ry, 

~K'^ + G'V'=o. 
dx dx 

Supposons d'abord que K' et G' soient infiniment peu dif- 
férents de K et de G et que les différences K — Iv' et G' — G 
soient constamment positives entre o et X. 

Admettons enfin que les intégrales V et V qu'il s'agit de 
comparer soient des solutions correspondantes, c'est-à-dire 
telles qu'on ait 

v ~ V, K' -^ ~ ^ ;;/"', i^^^^ x — o. 



4o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

On déduit des équations (5o) - 



ce qui peut s écrire 
dx 



-f-Pv-K 

dx [_ 



,dsr 

dx 



VK'^l=r(G'- 



dN dV 
G)VV'+(K-K')|^^ 



Or V et -7— î différant infiniment peu de V et de -7-? au- 

ronl le même signe que ces dernières quantités; d'ailleurs, 
G' — G et K — K' sont positifs. Donc le second membre de 
cette équation sera positif de o à X, et la fonction 



(5i) 



V'K 



dj 
dx 



\K' 



dV 
dx 



sera croissante dans cet intervalle. D'ailleurs elle s'annule 
pour ^ = o; elle sera donc positive de o à X. 

Soit, maintenant, a une racine de l'équation V:== o com- 
prise dans cet intervalle ; on aura, pour ^ =::= a, 

donc [V']a et -y- seront de même signe. 

Si y- > o, la courbe j =V traversera l'axe des x de 



/■ 



bas en haut au point jc — a (//>. 7); [V'J^ étant positif, la 
courbe jk=V^ infiniment voisine de la précédente, sera 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. [\0'] 

située au-dessus d'elle et coupera l'axe des x en arrière du 
point a. 

Si -7— << o, la courbe j^ =-V traversera l'axe des x en 

descendant; [V']a étant négatif, la courbe jk = V' sera au- 
dessous de la courbe j^^ —- V et coupera encore l'axe des x en 
arrière du point a {fig. 8). 




D'ailleurs, si l'une des fonctions V, V^ s'annule pour x =^0, 
il en sera de même de l'autre, par hypothèse. 

Donc, à chaque racine a de l'équation V == o correspond 
une racine infiniment voisine a' de l'équation V'= o, laquelle 
sera un peu moindre que a; et l'équation V'=:: o aura en gé- 
néral autant de racines entre o et X que l'équation V= o. 

Toutefois elle en aura une de plus si V s'annule pour X, 
car la racine correspondante de V tombe en dehors de l'in- 
tervalle considéré. 



311. Soient plus généralement deux équations 

(52) 

(53) 



-^K^ +GV =0, 

dx dx 



dx^'-dx^^^^^'--''^ 



où les quantités Ki et K, Gi et G diffèrent de quantités 
finies, mais satisfassent toujours aux relations 

(54) Gi — G^o, K — K,^o deoàX. 

On pourra former d'une infinité de manières deux fonc- 



4o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

lions Cj(x^r), cX(^,r) de x et d'un paramètre variable r, 
qui soient, la première croissante et la seconde décroissante 
lorsque r croît de Tq à r, (et cela pour toute valeur de x 
comprise entre o et X) et qui de plus se réduisent respec- 
tivement à G, K pour r= r^ et à Gi, K< pour r = r< . On 
pourra prendre, par exemple, ro= o, /'i -=: i , 

Ç (,r,,-)^G-Hr(G,-G), 

Gela posé, considérons l'équation 
d dW 

et désignons par Y (x, r) une solution de celte équation, 
déterminée par les conditions initiales 

\ {x,r) r.-.a, \ 
^dYix, r) > pour ^ = o, 

a et b étant des constantes déterminées choisies à volonté. 

Donnons successivement à r une infinité de valeurs Tq, 
W, . . ., /•^ variant progressivement de /'o à /-< . 

Soient G, G', ..., G,; K, K', ..., K, ; V, V, ...,Y, 
les valeurs correspondantes de (/(x, r), D^c(.r, r), \ (x, r); 
nous aurons 

g<g'":...:g, ) 

- de o à X, 

deux fonctions consécutives étant d'ailleurs infiniment peu 
différentes 

Nous aurons, d'autre part, 

dx dx 

d dW 

dx dx 



d ,. dVy , r V 



ÉQUATIONS ACX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^Og 

el 

,,dV ,.,d\' ^, dV, , pour^=:o. 

IV r- K -y- —.. . -ssz Kl : - h \ 

ax dx dx^ ] 

Si V= o admet une racine a dans l'intervalle de o à X, les 
équations successives V^^ o, V'= o, . . ., Yi = o admet- 
tront respectivement, pour racines correspondantes, d'après 
ce qui a été démontré, des quantités a, a', . . ., ai, telles que 
l'on ait 

a > a' > . , . > a^ . 

Donc, à chaque racine a de Y= o comprise entre o et X 
correspond une racine moindre a< de l'équation Vi = o. 
Celle-ci aura donc dans cet intervalle au moins autant de ra- 
cines que Y= o. Elle peut en avoir davantage; car, si l'une 
des équations successives 

est satisfaite pour x — - X, il s'introduira par là dans les 
équations suivantes une nouvelle racine que n'avaient pas 
les précédentes. 

L'excès A du nombre des racines de l'équation Vi = o sur 
le nombre des racines de V= o sera donc égal au nombre 
des valeurs de r comprises entre i\ et r^ qui satisfont à 
l'équation 

Y(X,r)=::0. 

312. Soient r'", r^^^ deux valeurs consécutives quel- 
conques de r; on aura (310), dans l'intervalle de o à X, 

d\^ <iV'+^ 

Y^+i K' --1. - Y'K^+i -~- > o. 
dx dx 

Lorsque V^ n'est pas nul, Y'+', qui en diffère infiniment 
peu, sera de même signe, et, en divisant la relation précé- 
dente par la quantité positive V'V^+\ il viendra 

dx dx ^ 



4lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

et, plus généralement, en désignant par H une constante 
quelconque, 

K ' ^ + H V' K^+i — h H V^+i 

dx duo 

"^ o. 

yt yt-i-i '■ 

Cette inégalité a lieu pour toute valeur de x comprise de 
o à X et, en particulier, pour .r =:= X; elle montre que l'ex- 
pression 

3t(X,,.)^^XglZl + riV(X,r) 

^__ -_-_ <f (,), 

considérée comme fonction de r^ est constamment décrois- 
sante de 7o à r,, sauf pour les valeurs de r qui annulent son 
dénominateur. 

Elle ne pourra donc changer de signe qu'en passant par 
zéro ou par l'infini négatif, et ces zéros et ces infinis se suc- 
céderont alternativement. 

Si 'f (i^o) 6t ^(/"i) sont de même signe, le nombre A' des 
zéros sera évidemment égal au nombre des infinis; si 
<f(''o)>Oî ?(^0<^7 il sera égal à A + i; si (f(ro)<o, 
co (r4 ) >- o, il sera égal à A — i . 

Le nombre des racines de l'équation 

Ot(X, /•) ^^ + HV (^^ r) r= o, 

comprises entre /-q et r<, sera donc égal à A, A H- i ou A — i 
suivant celle des trois hypothèses précédentes qui aura lieu. 

313. Jusqu'à présent nous nous sommes borné à com- 
parer des solutions correspondantes des deux équations dif- 
férentielles 

-j-K -, h G y =ro, 

dx dx 

dx dx 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLHS. 4u 

Soient maintenant V et V^ deux solutions quelconques 
de ces mêmes équations. 

Nous allons établir que deux racines consécutives a, ^ 
de l'équation V=:o comprennent au moins une racine de 
l'équation Vi = o, 

En effet, soit V'^ une solution de la seconde équation, 
telle que l'on ait, pour x = cl, 

dV dY 

^ da; dx 

A la racine p de V=:=: o comprise dans l'intervalle de a 
à X correspond, d'après les raisonnements précédents, une 
racine j^'^ de V'^ = o comprise dans le même intervalle et 
moindre que p. Mais V< satisfaisant à la même équation 
différentielle que V'^, entre les deux racines a et ^'^ de 
V', = o, il devra se trouver une racine p< de V< = o, ce qui 
démontre notre proposition. 

314. Les considérations précédentes permettent de fixer 
dans une certaine mesure le nombre et la position des ra- 
cines de l'équation V= o comprises entre o et X, V dési- 
gnant une solution de l'équation différentielle 

dx dx 

Soient, en effet, k^, g^ et k^ , ^2 les plus grandes et les plus 
petites valeurs de K et de G dans cet intervalle. Considérons 
les équations auxiliaires 



d j dW, .. _ , d^y, 

d^^'Tûc ^^'^'''-^'-Tx^ 



(55) or=.-^^^k,-,^-^g,y,.^-k,--J-,-g,Y, 



,.., d j dW, ^. . d'Y, ^. 

Yi et V2 étant des intégrales quelconques de ces deux 
équations, deux racines de V=o comprendront entre elles 
au moins une racine de V, = o, et deux racines de Vo = o 
comprendront entre elles au moins une racine de V=:= o. 



4I2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Or, si g^ est positif, les iatégrales de (55) seront de la 
forme 

Vi — c sin i /|^ t -h c'cos \/ jr t. 

L'équation Vi ^^ o a une infinité de racines équidistantes et 
dont la différence est tt^ / -^. On peut d'ailleurs déterminer 

le rapport des constantes c, c' de telle sorte que Vi s'annule 
pour une valeur a arbitrairement choisie. Si donc on prend, 

entre o etX, un intervalle quelconque d'amplitude << "^l/ — ' 

on pourra déterminer Vi de telle sorte qu'elle n'ait aucune 
racine dans cet intervalle; donc V ne saurait en avoir plus 
d'une. Donc la distance de deux racines consécutives de 

V -- o sera au moins égale à '^1/ — • Le nombre total de 

ces racines entre o et X aura clone pour limite supérieure 
l'entier immédiatement supérieur au quotient de X par 

/T 



Wj.- 



Si gt est négatif, on aura 

L'équation Y^ z:= o n'a aucune racine, si c et c' ont le 
même signe. Donc V := o ne peut en avoir plus d'une entre 
o et X. 

Considérons maintenant l'équalion (56). Si ^o est positif, 
Vo^^o aura une infinité de racines équidistantes, dont la 

différence estrci/— ,et l'on peut choisir les conslantes 

V ^2 ^ 

d'intégration de telle sorte que Va s'annule en un point arbi- 
traire a. Donc entre o et X la distance de deux racines con- 

r, 
I \r /''"" 1 

secutives de V ;:i:: o ne pourra pas surpasser ~i/ "? et le 

V o 2 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉKS PARTIELLES. 4l3 

nombre total de ces racines aura pour limite inférieure le 
pins grand entier contenu dans le quotient de X par '^1/ ~ ' 

315. Revenons maintenant à Téquation 

Désignons par V(^, r) une de ses solutions qui satisfasse 
à la relation 

k —- — A V = o pour X -=.0. 

On a vu que, si r = o, cette fonction et sa dérivée ne s'an- 
nulent pas entre o et X et ont le même signe; on aura donc 

/cf + HV 

dœ ^ 
>> o pour ^ = A, r r— o. 

Si donc r varie de o à une valeur positive R, gr — / crois- 
sant constamment pendant ce changement, le nombre des 
racines de l'équation 

dY 

o^=:-u^{r) ^= k-j h HV pour^izrX, 

comprises dans cet intervalle, sera égal à A ou A -|- i , A dési- 
gnant l'excès du nombre des racines de l'équation 

V(^, R)=:0 

sur celui des racines de V(^, o)=:o dans l'intervalle de o àX. 

Cette dernière équation n'ayant pas de racines, A sera le 
nombre des racines de V(^, R) = o. 

D'après l'analyse précédente, il a pour limite inférieure 
le plus grand entier E contenu dans le quotient de X par 

-Tti /■ — Yv~ — F' ^^2; h désignant les plus grandes valeurs de 
A", /, et g.2 la plus petite valeur de g dans l'intervalle de o à X. 



4l4 TROISIÈME PAUTIIÎ. — CHAPITRE III. 

Or il est manifeste que E croît indéfiniment avec R. Donc 
l'équation m{7^)=: o admet bien une infinité de racines. 

316. Gela posé, nous avons vu (305) que le problème du 
refroidissement de la barre revient à choisir les coefficients A;;^, 
de telle sorte qu'on ait 

2A„,V,„ = /(^) de ^0 à X. 

En admettant la possibilité d'une solution, il sera aisé de 
déterminer ces coefficients; multiplions, en effet, cette équa- 
tion par ^V„ et intégrons de o àX. En vertu des relations (40? 
tous les termes de la série où m^n donneront une intégrale 
nulle, et l'on aura simplement 

A, r gyidœ^f gy,f{x)dx. 

Substituant les valeurs ainsi trouvées pour les coefficients, 
nous obtiendrons la série 

f g\,f{œ)dx 

" f g\ldœ 

Si cette série est convergente et a bien pour somme /(^) 
dans tout l'intervalle de o à X, le problème sera résolu; mais, 
pour s'en assurer, il serait nécessaire de sommer directe- 
ment la série. Ce résultat n'a encore été atteint que dans 
quelques cas particuliers. 

317. Équilibre de température dhine sphère homogène. 
— En désignant par r le rayon de la sphère, nous aurons 
l'équation aux dérivées partielles 

(^^U d''\} (^-U 
ox- oy- ôz- 



ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉES PAlîTIELLIîS. qlS 

avec la condition à la surface 

l]--¥{^,y,z) pour x^^y^-\- z^-=r^. 
Posons 

^ =ir p sin6 cost];, j-- rr= p sin 6 sin 4», 2 = p cosO. 

Nous avons vu (t. II, n^ 236) qu'on satisfait à l'équation 
aux dérivées partielles par la solution simple 

Y„ désignant une fonction de Laplace, c'est-à-dire un poly- 
nôme homogène et de degré n en sinO costj;, sinQ sin^j;, cosô, 
satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles 

d^^ sm-0 O^-" oO 

Le polynôme Y^ ainsi déterminé contient d'ailleurs 2/z-h i 
constantes arbitraires dont il dépend linéairement. 

En combinant ces solutions simples, on obtiendra comme 
nouvelle solution la série 



A la surface de la sphère, où p = r, cette série se réduira à 

Vy„. 



Il reste à déterminer les constantes qui figurent dans les Yn-, 
de telle sorte que cette valeur soit égale à l'expression 

F(r sin6 cos4', /•sinôsin^', a'cosO), 

que nous représenterons, pour abréger, par /(9, ^). 

Or nous avons vu (t. II, n°^ 243 et suiv.) qu'on arrive à ce 
résultat en prenant pour les Y^ les valeurs particulières sui- 



4t6 troisième partie. — CHAPITRE Kï. 

vanles 

où 

P,, ■— X,, (cosy) = X,, [cosO cosO' -t- sin6 sinO' cos('J; — <]/')], 

X;^ désignant la fonction de Legendre. 

318. Cette solution peut se mettre sous une forme plus 
élégante. 

Remarquons, à cet effet, que la fonction générale Y„ est 
une somme de termes de la forme 

Aa- sin^'tj; cos'^'<]; sin''-t-'^8 cos"-''"'^ô. 

D'ailleurs le produit sin^ J; cos^tj; s'exprime linéairement au 

moyen des sinus et cosinus des arcs (i-^/-c)à, {i-j-k — 2)'li, 

Parla substitution de ces expressions, Y^ prendra évidem- 
ment la forme 

m = n 

OÙ 

0;„„ =: sin^^OV, e;,^ = sin^'OV", 

y et V étant des polynômes en cos8 etsin^ô, qui se trans- 
formeront en polynômes en cos8 si l'on y remplace sin-0 par 
I — cos-Q. 

Substituons le développement précédent de Y,; dans l'équa- 
tion aux dérivées partielles qui définit cette fonction, et chas- 
sons les dénominateurs ; il viendra 

n 

o =y I sin^O ^^ -h sin6 cos6 ^^ -i- [/z(/z + 1) sin^O- m^]e',^„ l cosm<l> 

9 
n 

-f-V I sin28 ^^^^ -f- sinO COS.Ô ^^ + [n(n -+- 1) sin^O - m^]e"„,n j sinm^^. 



Pour que cette expression s'annule identiquement, il faut 






ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4*7 

évidemment que les termes qui contiennent le sinus et le 
cosinus de chaque multiple de J; s'annulent séparément. 
Donc chacun des termes de Y/^, pris à part, sera une solution 
de Téquation, et 0,,^/^, 6/,^,^ seront des solutions de l'équation 
linéaire 

d^Q d& 

sin^ -7— -\- sin 6 ces 6 — - -^i- ï n ( n -\- 1) sin^ ô — mM © := o. 

Posons 

0-= Vsin'«e; 

nous obtiendrons une transformée en V 

sin- 6-;—- + (2m -H i) sinÔ cosO— ^ 

-I- [n{n -^ i) — m{ m H- i )] sin^ 6 V m o, 

à laquelle satisferont V et V'^ 

Prenons enfin cosô = p. pour nouvelle variable indépen- 
dante; nous aurons une dernière transformée 

(57) I ^A-J- ^P" 

( H- [ai(/i H- i) — m(m + 1)] V = o. 
Cette équation se lie intimement à l'équation connue 

(58) (l-[i.2)--^-2[X-^— + 7Z(/Z + I)X = 0, 

à laquelle satisfait le polynôme de Legendre X„([a). 

En effet, différentions m fois cette dernière équation; on 

obtiendra, pour déterminer —r-^-^ une équation identique a 

(S^). Les intégrales de (5^) sont donc les dérivées ^ï'-n^es ^^^ 
intégrales de (58). Or le seul polynôme qui satisfasse à cette 
dernière (sauf un facteur constant qui reste arbitraire) est le 
polynôme de Legendre X„([ji). 

Les polynômes V, V", qui satisfont à (5^), se réduiront 

1 1 > r > ^ d"'X„(ll) 

donc chacun, a un tacteur constant près, a • — -,—— ^ et les 
j. — Cours, III. 27 



4l8 TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE III. 

fonctions 

0;,, = v^sin'«e, e';,„ = Vsin-o 

seront égales, à des facteurs constants près, à l'expression 

m 



in-\-ii 



^^ ^ ■ dix'" 2'^I .1. . .n d\x 

que nous désignerons par P^"(p.). 

319. Cherchons la valeur de l'intégrale 

J_^ d\x."' dix'" 

Supposons, pour fixer les idées, n'^ n. L'intégration par 
parties donnera 

car les termes tout intégrés, contenant i — u.^ en facteur, 
s'annulent aux deux limites. 

Le multiplicateur de X,i'(jji) sous l'intégrale est un poly- 
nôme de degré n; donc l'intégrale sera nulle si n'^n. Si 
n'= n et qu'on désigne par C |ji" le premier terme de X„ ( [x), 
ce poljnôme aura pour premier terme 

( /i-i- m ) ! 



V ^ V ^ V / ^ ^ » (^ /i — m ) ! 

Il sera donc égal à 

R étant un reste de degré <; n, qui est sans influence sur la 
valeur de l'intégrale; on aura donc 






( n + 771 ) ! 2_^ 

m)l 2 n 4- I 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4*9 

320. Gela posé, nous aurons 



(^9) 






et il restera à déterminer les constantes A et B, de telle sorte 
qu'on ait 

^^ ^n=S y'p;f([x)[A,„„cosm^-4-B^„sinm4;]=:/(ô,4;). 

Multiplions cette équation par cosfii^ d^, et intégrons 
de o à 271; en remarquant qu'on a 

I cos m <\i sin m' <\> d'\i =r: o , 

do 

^27u / o, si m 5 m' 

/ CCS m <\i CCS m' 'i^ d<\) =. ' u, si m r=z m' >- o, 



TU / o, si m ^ m', 

r' 

" [ 2 7r, si /?Z 1= /?l' zn: o, 



viendra 



\ni étant égal, en général, à i , et à 2 si m = o. 

Multiplions cette dernière équation par VJ^ {^) d\k et inté- 
grons de — I à i, en remarquant que 



P+\ l o, SI /i > n'y 

J-i j ^ '- , SI n =: n\ 



{n -^ m)l 2 /^ -M 
il viendra 

On trouvera de même 



420 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Substituons ces valeurs des coefficients A et B dans l'ex- 
pression (09) de Y fi et réunissons tous les termes sous un 
seul signe d'intégration, après avoir changé les variables 
d'intégration 0, (J;, m. en 8', ^' , ^' pour éviter toute confu- 
sion ; il viendra 

X P;" (,».) P;f ( [).') cos/n(^ — >!,') dij' d^. 
Mais nous avons précédemment trouvé cette autre valeur 

Y„= ^^-|- f^ffi^'' V) P« si"»' dO' d^', 

OU, en prenant cosO'= ^' pour nouvelle variable d'intégra- 
tion, 

La comparaison de cette valeur avec la précédente donne 
J'égalité 

j^o n -h ml K,^ 



qui permet d'exprimer la fonction 

P„=:X„ (cosy) -^X„[[.ix' 4- v^i - [x^ s/T-lT^ cos(^ - -y )] 

par une somme de produits de trois facteurs, dont chacun 
ne dépend que de l'une des variables jj., \)J ^ ^ — ^j;'. 

321. 11 est aisé de vérifier directement cette formule. En 
effet, P„, considéré comme fonction de et (L — ^j>', est une 
fonction de l'espèce Y,, ; elle pourra donc se mettre sous la 
forme 

P.-::^^P;r(H^)[A,„„cosm(4;-f) + B,,„sinm(J.-4'')], 
où les coefficients A^mn-) B^« ne dépendent plus que de \tJ. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 421 

D'ailleurs P« est une fonction paire de ^ — '\'] donc les 
coefficients B,„;^ seront tous nuls. De plus, P„ est symétrique 
en [X et pi'. Donc A,;^,^ sera égal à CrJ'n^l^')^ ^^ désignanl 
une constante. 

Nous trouvons ainsi 



iGo) 



p.=^^.. p,?(i^) p;r(:^') ces m (6 - y) 



et il ne reste plus qu'à déterminer les constantes Cm- 

A cet effet, nous égalerons les valeurs principales des deux 
membres lorsque l'on y pose [ji— [a'= ^; faisant, pour abré- 
ger, h — (j/'^ o, la quantité 

0057— {XJJ.'-;- \ll—]y\l\— IJ.'^ COScp 

se réduira sensiblement à 

[i.- ( I — ces cp ) — 2 sin- -- cp . a' , 

et 



X„(cosy) 



d'^ 



1'^ n\ dcos^ 

9.n{2n —- 1). . .(/i -^ i) 



~'i"ii\ 



- (cos^^-i)'^ 

cos'^ Y 



aura pour valeur principale 



ijiiin — i)...(^-4-i) . 2. I 2/2 
n\ 2 ^ ' 

Mais 

/ 1 1 .\2« 

( 2 iY"- sin-'' - o =: U 2 ^ — e ^ ) 



COS/l 



in 



© — — cos(/i — i)cp H- 



I in{in — i)...{n^\y\ 

- (— i)" j— ~ 

^ ' 1 n\ I 



D'autre part, 

^^_^^,|-2.(2.-0...(.-^-^.. 



422 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

La comparaison des termes en ix'^ cosmo dans les deux 
membres de l'équation (60) donnera donc, en posant Xn—~ 2 



si m>o, Irr,— 



j '^m 



SI m = o. 



2n{2n — i)...(n-^T) i 2 , , 2 n(2n — i) . . . {n -h m -^ 1} 

ni {2if"' X,„ ^ ^ (/i — nij. 

d'où 

{n — m)\ 2 

322. Equilibre de température de T ellipsoïde. — Nous 
devons satisfaire à l'équation 

dx\ dx\ dxl 
et à la condition aux limites 

(62) U--=F(^i,^2, ^3) pour Â^ "^ ât' "^ A" ~^* 



Posons 



Aj Aq -<?1, A2 -— Aq ■ ^2, A;} — Aq (?3, 

^1+ é?2-4- ^3=0. 



L'équation de l'ellipsoïde deviendra 



œ'I œ\ 



Kq — e^ Ao — ^2 ^0 — ^3 
Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait 

Par chaque point de l'espace passent trois surfaces du 
second degré liomofocales 



2 
A — ec, A — e-^ 



— ^1 



(t. I, n° 533), orthogonales entre elles; leurs paramètres \^ 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 423 

)v2i ^3 satisfont aux inégalités 

e2< X2< e3< X3< ei< Xj. 

Réciproquement, à chaque système de valeurs de ces para- 
mètres satisfaisant à ces inégalités, correspondent huit points 
réels, ayant pour coordonnées 



t. I, n« 536). 
323. On lèvera cette ambiguïté en posant 

X,"PW1, >^2^=P«2, X3=P«'3' 

On a, en effet, d'après les notations adoptées dans la 
théorie des fonctions elliptiques (t. Il, n°^ 367 et 371). 



\/pU-~ eoL=^OL0Ui Ua— 4- 



d'où 

(63) ^a^-'^^l^aol^i'^aolh'^aofh (a=:i,2,3). 

Si dans ces formules, qui donnent les trois coordonnées, 
nous convenons de prendre partout le signe -f-, à chaque 
système de valeurs de «<<, 112, 113 correspondra un seul point 

Cherchons comment on devra faire varier ?/,, 112, ih pour 
obtenir une fois chaque point réel de l'espace. 
Posons, pour abréger^, 

{'k~e,){l-e,){l-~e,) =/{!). 

La première période 



sera réelle et positive, et la seconde période 20)0 sera pure- 



^'if\ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Si Al varie de e^ a <?3, 

dll,:=:^ -r-= 

sera réel, et w, (ou du moins l'une de ses valeurs) variera 
en ligne droite de Wo à ojo -f- ^i- 

Si Xo varie de e^ à et, diu sera purement imaginaire, et 
l'une des valeurs de «o variera en ligne droite de CO3 à 

Enfin, si A3 varie de 00 à e<, du^i sera réel, et l'une des 
valeurs de W3 variera de o à o)^. 

On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs admis- 
sibles pour X,, Xo; ^3 et, pour chacun d'eux, un seul des 
huit points ^<, ^o? -^3 qui lui correspondent, en faisant va- 
rier, en ligne droite ^ 

Ui de Wg à W2 -+- ^i-< 
u^ de W3 à 0)3-4- CO2, 
W3 de o à co]. 

Les autres points se déduiraient de celui-là en changeant 
les signes de ses coordonnées. 

On les obtiendra tous et chacun deux fois, en faisant varier 
u^ de 0)2 à 032 + 4^1 et u^ de 033 à (1)3 4-4^0. 

En effet, les relations 

(t. II, n° t371) montrent que l'on a 



si u' -\- u ou u' ~ u est une période. Or, à chaque valeur u^ 
de M, comprise entre Wg et Wo + w^ , correspondent, dans l'in- 
tervalle de W2 à (1)2 + 4^n ^ï'ois autres valeurs de ce genre. 



A chaque valeur U2 comprise entre 033 et (O3 -[- tt>2 corres- 
pondent de même dans l'intervalle de 0^3 à (1)3 4- /\ix)2 les trois 



ÉQUATIONS ALX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^^Ô 

valeurs associées 

Les i6 points 

auront au signe près les mêmes coordonnées zhx^^ —^21 
zb^';{. On vérifie aisément que chacune des combinaisons de 
signes est reproduite deux fois. Ainsi («, U2U2) représentera 
le même point de l'espace que (u\ u^u-i), {u^ u-^u^) le même 
point que {u\ u^ 11^)^ etc. 

324. Ces préliminaires posés, prenons u^^ u^-, u^ pour 
variables indépendantes, et cherchons la transformée de 
l'équation difTérentielle (61); on a 






^ d'il du/r dui V^ f?U d-ii;, 
d'où 

Zda-àxl " Zjk à (il ZuaKàXa) 

^k,i àuk àui ^ja àxy_ dxa ' ^k àuj. Zua. (^^l 
Reste à calculer les sommes 



^rj^\dxa.J Là^ox^ dx^ ^^ 



ia àxi 
Or on a 

duk _ du,, d\k I 0\k 



à xi 4 (yx^.)l \àx^} i\Jf\k ^-^a 



426 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

d'où 



ÔJ^c 



V^ duj; dui 1 V^ d^k à'k/ 

^a àj^a à^oL ~~ [^\Jfk,c s/fki Zà^ ^-^a ^-^'a' 

2ja àx^ ' 2v//Xa: L 2 /À/, Zjrx \àxj Zu^ àxl I 

Or^ les surfaces X;^ = const., a^ =^ const. se coupant à 
angle droit, on a 

V ^2^ ^ — o 



<a OX^ Ôx^ 
D'autre part, en dérivant par rapport à x^i l'équation 



(64) 



kk — e^ Ayt — (?2 f'k " ^3 
et posant pour abréger 



S 



s, 



f(>^/. — ^z)' 



il viendra 



IXrjL r. àlk 






>^yt — ^a ' dXa 



O 



d'où 

(65) 



(66) 



D'ailleurs si, dans l'expression de S/f, on remplace cha- 
cune des quantités x^ par sa valeur 

(Xt— ea)(X,— ga)(X3— gg) 

(e^ — ea)(ey — ea) 
il vient 

g ^ Y { h-ea){K,- ea) ^ (X,-X,0 (X,,-X,.) ^ 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4'' 7 

d'après la formule connue de la décomposition en fractions 
simples (/, m désignent les deux indices de la suite i, 2, 3 
qui diffèrent de k). 
On aura donc 



s. 



/ ^ Y __ _T_ ^ ^ I 



Enfin l'équation ( 64) dérivée deux fois de suite par rapport 
à x^ donnera, en posant pour abréger 



— 2 



ix^ dlk /'^'^/A't- ^'^ 



Mt^ T,- VfS, 



^k — ^Oi C^/C — 6ot.y dXo(. \OXrj^J ' ^^1 

8^i I , ,/^Yt,^.--^-!^S.. 



>^/c — ^a (A/r — ^a)^ S;t \dXo,J dxl 

Sommant par rapport à a, il vient, d'après (66) et (67), 

O — > :— ■ — b/,. > -5-v 

f^k " ^a ^^à 

Comparant cette équation à la précédente, 



à'kkY_ 4 



[âXoiJ S;t' 



il vient 



' 2 Jlk 2joL\àxo,J ' Zuxàxl 



et, par suite, 

L'équation différentielle transformée sera donc 

k 

ou, en chassant les dénominateur et remplaçant )^,, X^^ A3 



428 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

par jjwi, pu.2, pu-i, 

(68) {pu2—pih)-^, -.-{pu^—pa,)-j^^--\'{pu,-^piu)--^ — o. 

325. Quant à l'équalion à la surface, il est aisé de la 
former. Soit u la racine de l'équation 

p a — Xo, 

comprise entre o et toi ; on obtiendra les points de la surface 
de l'ellipsoïde, chacun deux fois, en posant ^^3 = u et faisant 
varier ii^ de ojo à W2 + ^^^^o '^2 de 0)3 à 033 + 4^^^2- La tem- 
pérature en chaque point de Ja surface étant donnée, on 
aura, pour u^z=z\)^ 

(69) JJ =z^{u,, IL,), 

^ étant une fonction arbitrairement donnée de Ui = 0)3 à 
u^ c=r Wo -H 4ti><7 et de U2 = W3 à u.2= ^3 -j- 4^2- (Elle devra 
d'ailleurs reprendre la même valeur pour les deux systèmes 
de valeurs de Ui, 112 qui représentent le même point.) 

326. On peut aisément trouver des solutions simples de 
l'équation aux dérivées partielles (68). Nous aurons vu, en 
effet (231), que pour chaque valeur de l'entier positif n on 
peut déterminer 2/2 + 1 valeurs de la constante h telles que^ 
pour chacune d'elles, l'équation de Lamé 

^^ —ln{n-\-i)pu^/i\x^o 

admette une solution particulière 

M(«)=rNP 

qui possède les deux périodes 4^4 et 4^.t 
Posons, j)our abréger, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 429 

Le produit MiMoMa satisfera à l'équalion aux dérivées 
partielles; carie résultat de la substitution sera 

MiMaMgN [/i(/z + i)j3Wa + /0(P"? — P«y)' 

quantité identiquement nulle. 

Cette solution simple, exprimée en fonction de ^, , x^-, x^ 
sera un polynôme entier; car N étant un produit de facteurs 
de la forme o'aoW, NiNoNg sera un produit de facteurs tels 
que 

D'autre part, P<PoP3 sera un polynôme entier et symé- 
trique par rapport aux quantités j3Wi, ^i^i-ii p^^3- Or celles-ci 
sont les racines de l'équation du troisième degré 



dont les coefficients sont des polynômes entiers en x^^ 

Xo j X^ . 

327. En associant les solutions simples qui précèdent, 
nous obtiendrons une série 



1 



""c^-Mf M'/^Mf 



qui résoudra le problème proposé si les coefficients Ck peu- 
vent être déterminés de manière à satisfaire à l'équation de 
la surface 

(70) Vc^.MfM^/'m^/) = *(«,, u,), 

m^^^ représentant la valeur de M'.j'^' pour a^ =^ u. 

328. En admettant provisoirement que la fonction <E> soit 
susceptible d'un développement de la forme (70), il sera aisé 
d'en déterminer les coefficients. 



43o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Multiplions, en effet, l'égalité (70) parM^/' M'^' (pUi — pwo) 
et intégrons par rapport à Ui de (O2 à Wo -h 4^i5 et par rap- 
port à U2 de CO3 à (03 + 4 Wo ; l'intégrale double 

Q Mf M'/'M^^ M^"' {pa, - pii^)duidu., 

qui multiplie Ckm[^\ est le déterminant des quatre intégrales 
simples 

\, ^^ Al^^'' M['''pu, du,, 12==/ M^^'^ Mf pW2^«2, 

Ji= Al'/' M'/' Ji^i, J2= / M'/^ Mf «?a2, 

Ce déterminant est nul si i^k. 

En effet, M^'\ M^^^ sont solutions de deux équations de 
Lamé différentes, telles que 



da'- 

d-M(^'^ 
du- 

On en déduit 



[n {n -i-i)j3w4-A]M(^)=:o, 
[,i'{n'-ri)pU'.-/i']M^'^-^ = o. 



[n{n-A- 1) - n'{n' 4- i)]M^^)M(^^> pu -h {h - /i') M^^'JM^''^-^ 
~_- M(^^'^ —7-^ M(^^ - , , 

du L du du J 

Intégrons de cl>2 à 102 + 4^1 • l^es fonctions M admettant la 
période 4^i, l'intégrale du second membre sera nulle, et il 

viendra 

[n{n -f- 1) — n'{n' -i- 1)] Ij -f- {h -- A') J, == o. 

Intégrant de tog à (1)3 + 4f»^2 on trouverait de même 

[n{n -t- i) — n'{n' 4- i)] I2 + (A — h')J^ — o, 
d'où 

I1J2 — I2J1 — o, 

à moins qu'on n'ait à la fois n = n', h — //, d'où i — /c. 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. /^Sl 

Calculons ce même déterminant dans l'hypothèse où i =^ k. 
Les fonctions M^^^W'^pu, M^^^M^^^ admettent les périodes 
2C0i, 20)2; elle sont paires et n'ont de pôle que pour u=^o. 
Décomposées en éléments simples, elles seront donc de la 
forme 

^{k) ^{k) pi^ — a^k „ ajpw 4- af p" «-{-..., 

M(^)M(^^ = p^^--r- Pjp« -i- ?tp"u-h. . . . 
Intégrant de co^ à 0)2 -t- 4^n i^ viendra 

En intégrant de 033 à 0)3 h 4 ^21 on aurait de même 

I2 — Aa^Wa — 4aJ-/]i, 5^ — l^^^^' oi^ — 4Pjri2, 

et, par suite, 

On aura donc, pour déterminer c/(, la formule 
8 TT /(a/^- [3 J - a J p/^- ) m'/^' c, :.. ^ * Mf M^^^' (pu, -pu,) du, du,. 

329. Il reste toutefois à établir que la fonction arbitraire 
<I>(;/i, ^^2) admet effectivement un développement de la 
forme (70). jNous y parviendrons par les considérations sui- 
vantes : 

Soient ^4, ^27 ^3 et r, w,, Uo deux systèmes de variables 
liés par les relations 



X -/•U^o' u c! u -ri /(P^^ -^°^)^y^^^-^«) 



On en déduit aisément 






- — z= O, 

1 ^a 



« 

^ 



P«2 — ^a 



432 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ilï. 

Ces équations représentent une sphère et deux cônes ho- 
mofocaux, qui se coupent à angle droit. 

A chaque point réelxi, Xo, ^3, correspondent: i'^ une 
seule valeur de /*; 1^ deux racines de Féquation 



o, 



dont la première, X, =^pu^^ sera comprise entre e^ et e^ ; et 
la seconde "k^ = pif2 entre 63 et e^ ; 3" deux systèmes de va- 
leurs de Ui, U2 tels que Ui soit compris entre CO2 et 
(1)2 + 4^1, et U2 entre 0)3 et 0)3 -}- 4 Wo. 

Réciproquement, si le point (?^,, U2) parcourt le domaine 
ainsi défini, le point (^i, ^o? «^s) décrira deux fois la sphère 
de rayon r qui a l'origine pour centre. 

330. Si l'on prend r, w<, U2 pour variables indépendantes, 
l'équation du potentiel 

V — -o 
se transformera en 
^^U Y / Or Y ^ ^ Y l^^illY , ^ V /^^^2 Y 

dr du^ Zuàx^ dxy. 



Les termes de la seconde ligne disparaissent, car les sur- 
faces r = const., «, = const., W2 = const. étant orthogo- 
nales, on a 

V^ dr âui _ 

^ dxa. âxa, ' ' * * ' 
L'équation 



œi --= f' 



x^ — r-^ 
d'où 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 433 

donne, d'autre part, 

D'autre part, les équations 
donneront, comme au n° 324, 

en posant, pour abréger, 

. f\ ~- (X - e,){l - e,){l - c), S, :=:y TY-^Vr ' 

Aj (Xi — ea)' 

(X 

Or on a ici 



d'où 

C ^2 \^ A2 gg ^ A^^ Al 

^" Z^ (^p— ^a)(eY — ea)(>^i — ^a) ~' 7>^i 
On a donc finalement 

diii \- I I 



On trouvera de même, 

ZjXàJ^-aJ ~ rMp«i— (P"2)' ii"^"^* 

L'équation du potentiel aura donc pour transformée la 
suivante : 



âr' ' r^(pu2 — piii)\àul dul) r dr 
J. — Cours, III. 28 



434 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

OU 

Cela posé, on sait (t. II, n° 236) que pour chaque valeur 
de l'entier positif n il existe 2n-[-i fonctions Y,^ linéai- 
rement distinctes et définies par cette double propriété : 

i" Les fonctions r^Yn, (où r = \/x' -i-y^ -i- z-) sont des 
polynômes homogènes d'ordre /i en ^4, x^, x^; 2" ces poly- 
nômes satisfont à l'équation du potentiel. 

Mais nous venons de voir qu'à cette même valeur de n 
correspondent 2n + i valeurs de h pour lesquelles l'équa- 
tion de Lamé 

admet une intégrale doublement périodique de la forme 

M=:NP. 

Les produits correspondants 

MiM2 = N,N2PiP2 

seront précisément les 2/i--r-i fonctions Yn exprimées au 
moyen des variables ?/<, 112- 

En effet, soit /rie degré du polynôme P; Ni N2 sera un pro- 
duit de n — k facteurs tels que 

, . _ I ^a 

uâ / 

D'autre part, Pi P2 sera un polynôme en pUi, pu^ symé- 
trique et de degré /i par rapport à ces deux quantités; ce sera 
donc un polynôme d'ordre n en pii^ pu2 et pu^ -^ pu^» 
Mais les équations 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 435 

permettent d'exprimer les quantités 

puipii^, pui-i-pui, I 
en fonction linéaire et homogène des trois quantités -^• 

Donc la fonction r^M^Mg^U sera bien un polynôme 
homogène et de degré n en Xi^ X2j 0O3. Il reste à s'assurer 
qu'elle satisfait à l'équation (71). 

Cette vérification est immédiate, car on a 

^— - — [/i ( /i -+- j )p«i + A] U, 

—:ï = ['^ ('^ ~" ^^ J^"2 + h\ u, 



du 



/■- -T— ,- + 2 /• -T— -:=-- n ( Jl — i)UH-2/zU = /z(/2 + i)U. 

ôr^ Or ^ ' 

Le développement de la fonction arbitraire ^ en une série 
de termes M,, M2 sera donc possible, aux mêmes condition,^ 
que le développement en série de fonctions Y„ ; ces deux 
développements, identiques au fond, ne diffèrent l'un de 
l'autre que par le choix des variables indépendantes. 

331. Refroidissement d une sphère homogène. — Soit r 
le rayon de la sphère; nous aurons l'équation aux dérivées 
partielles 

— 772 I _(_ . _U ) , 

dt ~ \ôx^ ^ ày' ' âz-'J' 
avec la condition initiale 

U — / pour ^ = 0. ^2 _^ ^,2 _^ ^2 ^ ^5 . 

/étant une fonction donnée de ^, y, z, et la condition à la 
surface 

-K— cosa-h-r— cos(i4--^coSY+riU — o pour ^- H- y^ _4_ ^2 __ ,.2 



436 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

a, |3, y étant les cosinus des angles formés par la normale 
extérieure avec les axes coordonnés. 

Remplaçons ^, y, z par des coordonnées polaires p, 8, ^. 
L'équation aux dérivées partielles deviendra (t. I, n*^ 139). 

(?U „/f)-U I d^U I (^2u 2 ^u cote (?U\ 



(72) ^^ ^\àf "^p^sin-ô (^f^"^p2 (^0^ ' ^ ô^ ' f à^ j 

La condition initiale prendra la forme 

(78) U -r^/ pour ^r=:o, p < A-, 

et la condition à la surface deviendra, en remarquant que 
l'on a 

àx . dy dz 

cosaz=— —, cosp=~? cosy = -rr-> 

ùo dp ' dp 

(74) -j hHU = o pour pzizr. 

6/p 

332. Pour déterminer une solution simple qui satisfasse 
aux équations (72) et (74)? posons 

p désignant une constante, Y„ une fonction de Laplace et R 
une fonction de p. Ces équations deviendront, après qu'on 
aura chassé les dénominateurs et supprimé les facteurs com- 
muns. 



(-75) 






(76) -1 hIiR = o pour p = /\ 

L'équation (70) rentre dans la catégorie de celles que 
nous avons ramenées à l'équation de Bessel (191). Elle 
admet, comme solution particulière l'expression 

_i 

ip?) ^^„Ap?) 
2 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^7 

que nous désignerons par F/j(/?p). Cette fonction est le pro- 
duit de p"p^ par une série, procédant suivant les puissances 
entières de />^p^. 

Il reste à satisfaire à l'équation aux limites (76). Il faut 
pour cela que p soit une racine de l'équation transcendante 

Le premier membre de cette équation est évidemment une 
fonction entière de p^ si n=o; une semblable fonction, 
multipliée parp", si /2>>o; supprimant, dans ce dernier cas, 
la racine parasite yo = o, qui ne fournirait qu'une solution 
identiquement nulle, nous obtiendrons dans tous les cas une 
équation de la forme 

(77) tîT„(/?2)=0. 

La fonction F,i{pçi) s'annule évidemment pour p := o 
si/i>>o; et, sin = o^ sa dérivée s'annule; on aura donc, 
dans tous les cas, en désignant par p et q deux valeurs quel- 
conques du paramètre/?. 

et la même relation aura lieu pour p = /-, si p et q sont 
racines de l'équation (77). 

L'équation (76) est d'ailleurs un cas particulier de l'équa- 
tion (36) considérée aux n"^ 306 et suivants, dont elle se 
déduit en remplaçant V, x^ /', X par R, p, p"^^ • et donnant 
kk^ g^ l les valeurs particulières p^, p^, n{n~\-i). On en 
conclut : 

i*^ Que les valeurs de p^ qui satisfont à l'équation 
GT/j (/)2) =: o sont toutes réelles, positives, inégales et en 
nombre infini; 

2" Qu'en désignant par p^, ^-, . . . ces racines, l'intégrale 






f 9'^n{p?)F,{qp)dp, 



438 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITHE lU. 

sera nulle, si p^ diffère de q-\ soit, au contraire, q ^=zp] or» 



aura 



'"'" L (^P' àr ^ ''^^' ^ ~ô77)p' J 

- ^ \ à¥n{pr) àF^ipr) __ d'FApr)'] 

~'2pl dp Or 'nKpn ^,.^^^ J- 

333. Posons, d'autre part, comme au n° 318, 

m 

cosu-fx, r„(H-)- ^.,,^, ^^„,^„ 

On a vu que PJJ^([j.) cosmd;, PJJ^([jl) sinwi^ sont des fonc- 
tions Y,i\ on satisfera donc à la fois à l'équation aux dé- 
rivées partielles et à la condition à la surface par les solu- 
tions simples 

c-«^/'''P;'/([i.)cosm4;F,(/;p), 

e-«V^P;r(^)sin77zi;F,(/?p), 

et plus généralement par la série 

222e-V^^P;f([j.)(A,,,^cosm-J;-hB,„„^sinm6)F„(/?p), 

où les A, B sont des constantes arbitraires, et les sommations 
s'étendnnt : 

i" Celle par rapporta /z, à toutes les valeurs entières de 
G àoo; 2° celle par rapport à m, aux valeurs entières de o 
k n\ 3° celle par rapport h p, k toutes les racines positives 
p de l'équation Tn,i{p-) ~-= o. 

334. Glierchons à déterminer les constantes A, B, de telle 
sorte que la série satisfasse à la condition initiale 

(78) 22SP^((x) A,„„^ cosm^ + B„,„p sin 7nà) F„(/?p) =^ , 

pour tous les points intérieurs de la sphère, c'est-à-dire 
pourpJo<]r, [ji^ — i^i, ^^o^2iz. 

Soit m', /i', p' un des systèmes de valeurs associées des 
paramètres m, n^ p. Pour déterminer Km'a'p'i multiplions 
l'équation (78) par cosrn'^'^^^ et intégrons de o à 271. Tous 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 439 

les termes du premier membre donnent une intégrale nulle, 
sauf ceux qui contiennent cos/n'^j;. On a, pour ceux-ci, 

r'^'^ , _( I, si m'>o, 

il viendra donc 

Multiplions cette égalité par Pf (p-)^p. et intégrons de 
— I à — I. Tous les termes du second membre donneront 
une intégrale nulle (319), sauf ceux où /^ = n', pour lesquels 
on a 

il viendra donc 

/ / /C0Sm'4;P'„'^'(!J.) d^ dix — ^Kn'n'pXn''^yi^'n'^{P9), 

d —\ Jq 

la sommation ne s'é tendant plus qu'aux valeurs de p corres- 
pondant à la valeur n! de l'entier n. 

Multiplions enfin par p^F(/?'p)c/p et intégrons de o à r; 
tous les termes du second membre donneront une intégrale 
nulle, sauf celui où/? =/?', et l'on aura finalement, pour dé- 
terminer Am'n'p', l'équation 

ff f f cos m' ^V';^:{ix)p^-¥{p'p)d^ dix dp 

m' n' p' f^ m' ~ '-n'n' i^p'p'' 

On trouvera, par le même procédé, pour déterminer 
^m'n'p', l'équation analogue 

nf fs\nm''\>P';;\\ix)p'^F{p'p)d'^dixdp 
1 do 

ni'ji'p' ^m'^ *-n'n' ^^p'p' 



440 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IIF. 

Substituons, dans la série (78), les valeurs que nous ve- 
nons de trouver pour les coefficients, et accentuons les va- 
riables d'intégration, afin de pouvoir faire rentrer sans ambi- 
guïté sous les signes d'intégration les facteurs qui leur sont 
extérieurs; nous obtiendrons comme valeur initiale de U 
l'expression 






(79) { ^uZjlii L, i 

>cp''F^{pp)¥,,{pp')dydi.'dp'. 

335. Mais il reste à prouver que, en additionnant les 
termes de cette série triple dans un ordre convenable, on 
trouvera bien pour somme /((}, a, o). 

Laissons d'abord n et m constants, et bornons-nous à faire 
varier p de manière à lui faire prendre successivement pour 
valeurs les diverses racines positives de l'équation 

supposées rangées par ordre de grandeur croissante. Nous 
aurons à déterminer la valeur de la somme 

(80) '^J''f^ï^ll}^'^F„ipp)F,.{pp')d?', 

pour les valeurs de p comprises entre o et r. Nous verrons 
qu'elle est égale ày*(tj;', |Ji', p) [pourvu que cette expression, 
considérée comme fonction de 0, soit continue et ait une va- 
riation limitée dans l'intervalle de o à /', quels que soient ^f 
et [jl']. 

La somme (79) se réduira dès lors à la somme double 



4-1 ^271 



111 f. 






P;r([^)P^"(P-')cosm(^-f)^<];'^p.', 



qu'on sait être égale ày((|;, |jl, p) [320]. 

Tout revient donc à établir ce que nous avons annoncé 
pour la somme de la série (80). 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 44^ 

336. En cessant, pour plus de simplicité, de mettre en 
évidence les quantités tj>', jj.', n qui conservent une valeur 
constante dans toute cette recherche, cette expression peut 
s'écrire ainsi : 



(80)' 



jr7(P')P'^<o'2^-^- 



La fonction F(/?p) satisfait à l'équation différenlielle 

^P'^7^ -^ [/'V'" «(« + •)] F(/>P) = 0, 
et, comme elle est symétrique en p et/?, on aura aussi 

On a de même • 

En combinant ces deux équations, on trouve 

en posant, pour abréger, 

= p'[pFipf')F'{pp)-.f'F{pp)F'(pp')]. 
on aura, par suite, 

(8.) F^p,)F(p,') = ^^-. 

Nous avons trouvé d'autre part 



2/? |_ dp ôr 



lipill 
hdp J 



or -! 



44^ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Pour transformer cette expression, nous remarquerons 
qu'on a 

or i ^-r ^ j. ^p 

ce qui permet de mettre ^pp sous la forme 

et de donner à l'équation à la surface 



i___^L_^ _l_HF(/?/-)=:o, 



la forme suivante 



(84) p^l^^^\\rY{pr)^o. 

Désignons par ^(/?) le premier membre de cette équation ; 
l'identité 

(85) p'^l^Pll+\\r^^^pr)^ii{p), 
étant différentiée, donnera 

Enfin, pour p = a-, l'équation (8i) peut se mettre sous la 

forme 

( d dF{pr) dF{pr) 

87) l^dp^ dp ^ dp 

{ +[/?V--'^— /z(/z4-i)]F(/?r)=zo. 

Tirons des équations (84), (86), (87) les valeurs de 

F(nr), ^^-^-^, -f.;,^!^pour les substituer dans (83), 
^^ ' dp ôp^ dp ^ 

il viendra 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. l\^^ 

en posant, pour abréger, 

On aura_, par suite, 

Fipp)¥{pp' ) ^ 2Q{p)^'( p) 

337. Il est aisé de voir que cette expression est le résidu, 
pour le pôle z = j?, de la fonction 

x(--)- ''^'''^''^ 



En effet, posons z ^ p -f- A; on aura 



Q(-) = Q(/>)^- 


hQ'ip)^..., 




cp(^) — 9(/?)4-/i o\p^-y..,^ 




Y \ [ lh \ 








I 






~'^"{p) 




Le résidu cherché sera donc 




2Q(p)9'(/?) 




,-(p'2_p^)/>-^yH/^) 




, 2cp(p) 

' '• P"--p')P'r'{P)l 


^'C""-«''"- 


p _ 



Or la quantité entre parenthèses est nulle. En effet, les équa- 

/Q^\ /Qa\ . /Q \ ' ^ . - ^ dF{pr) 
lions (o3), (oo) et (07), résolues par rapport a -y-p — ^ ? 

— ^^^ — -) F(/?r), donnent 

V(^r)- {i -llr)^(p)~^~p^'{p) 

^^^" " Qip) 



444 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Substituons cette expression et sa dérivée dans l'équa- 
tion (84)- Il viendra, en tenant compte de ce que '^{p) est 
nul, 

_ n [ i^-^^rWip)-'-^'iP)-^PV{p) _ P¥iP)Q'iP) ~] 

^L Qip) Q-'ip) J 

}lr p^'{p) _ 

Qip) ~ ' 
^j . ,. • p^'ip) 

ou, en réduisant et divisant par ^^,., ^ ' ^ 

V (P) 

f (/>) ^ ^"^^ p 

338. On remarquera d'ailleurs que, pour z = o, la fonc- 
tion y^{z) n'est pas infinie, car <o{z) contient le facteur z^ 
qui figure au dénominateur. Donc x(^) ^'^ d'autres pôles 
que les racines/?, et l'intégrale 



^^.fyM)d., 



prise suivant un contour fermé quelconque situé à droite de 
Taxe des y, sera égale à la somme 

bornée à celles des racines p qui sont contenues dans ce 
contour. 

Les termes correspondants de la somme (8o)' donneront 
l'intégrale double 

(88) ff(?')?"dp'^^-^^.j'x(z)dz. 

339. Prenons pour contour d'intégration {fig. 9) le rec- 
tangle MNPQ qui a pour sommets les points Bf, Ah-B^ 
A — Bi, — Bi, A étant une quantité réelle de la forme 



(-:-'■)' 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



145 



où k est nn entier, etB une autre quantité réelle, très grande 
par rapport à A. En faisant croître indéfiniment l'entier /r, 
ce rectangle contiendra un nombre de racines de plus en 
plus grand; on obtiendra donc la somme (80)' en cherchant 
la limite de l'expression (88) pour k ^= 00, 

Pour établir que cette expression a pour limite /(p), il 
nous suffira de faire voir : i" que l'intégrale 



(89) 






où b est une quantité variable entre o et r, reste constam- 
ment inférieure à une limite finie ; 2" qu'elle tend uniformé- 
ment vers ^lorsque k croît indéfiniment, tant que b restera 



Fig- 9- 



Y 








M 


A 


N 




£ 









Q 


■ 


K 


X 




P 





inférieure p — s ou supérieur à p -h s, e étant une constante 
quelconque. 

En effet, l'intégrale ( 88)' étant décomposée en deux autres, 
où l'intégration relative à p' s'étend respectivement de o à p 
et de p à r, ces intégrales partielles auront respectivement 
pour valeur (t. II, n« 221) 

i/(p-o) et i-/(pH-o). 



446 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

Leur somme sera donc égale à /(p), puisque cette fonction 
est supposée continue. 

Nous remarquerons d'abord que y(^) étant une fonction 

impaire, les éléments de 1 intégrale / ^ — ~ prise sur le 

côté MQ se détruisent deux à deux. En outre, y^{z) prenant 
des valeurs imaginaires conjuguées en deux points symé- 
triques par rapport à l'axe des x, le reste de la ligne d'inté- 
gration relative à z pourra être borné à sa moitié supérieure 
KNM, à la condition de doubler la partie réelle et de sup- 
primer la partie imaginaire du résultat obtenu. 

340. Posons pour abréger 

_i 
nous aurons (217) pour V(^z)=iZ "J ^{z) une expression 

2 

de la forme 

(90) F(2) = î!^-^^\a+0) + sin(=-X)0„ 

0, 8< étant des polynômes en — • La dérivation donnera pour 

F'(z), F'^(;:;) des expressions analogues 

(90 F(^)r=- !lI^_lA)(a-i-G,) -. cos(^-X)03, 

(92) ¥"{z)-^- ^^'^"1"^^ (a 4- 0,) -H sin(^ - X)0„ 

z 

O2, ...,05 étant encore des polynômes en — • 

Z" 

So\i z=^ u-\- ti^ t étant positif ou nul. Le module des 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^7 

quantités 

COS {z — X ) = 



sin(5 — X) =: 
sera compris entre 



2 

Q—t-\-(u—'k)i. Qt—{ii—\)i 



2 i 



et 



e' 



et, par suite, moindre que e^ En particulier, si t est très 
s^rand, il se réduira sensiblement à 4e^. 

D'ailleurs, si le module \/ u- -\- 1^ de ^ est >> i, les mo- 
dules des polynômes B, ...,05 seront limités ; et si \z\ est 

très grand, ils seront du même ordre de grandeur que p— ^• 

Les modules des quantités F(^), F'(^), F''(^) seront 
donc, si t est très grand, sensiblement égaux à 



et seront, dans tous les cas, moindres que 



/ désignant une constante. 

Ce dernier résultat, que nous venons d'établir en suppo- 
sant 1^1 >i, subsiste évidemment encore si |^|^i; car, 

et 
dans cette hypothèse, ■ — r est au moins égal à i, et, d'autre 

part, les modules des fonctions entières F(s), V\z)^ F''(^) 
restent inférieures à une limite fixe. 

341. Il est maintenant aisé de trouver, soit la valeur ap- 
prochée, soit une limite supérieure du module de chacun 



448 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

des facteurs de la quantité 

qui figure dans l'intégrale (89), lorsque |^| est très grand, 

ce qui a lieu sur toute la ligne d'intégration. 

20' 
On a tout d'abord ~ << 2. En second lieu, 

q(z) — r^z^—n{n-hi) — Rr{i — l{r), 

a son module sensiblement égal à /•- | ^ |-. 
On a, d'autre part, 

^{z)=:z^^^ -hH/'F(rz) 
(Jz 

z=rzF'{rz)-^llrF{rz). 

Sur le côté horizontal du rectangle, où z = u -{- Bi, u va- 
riant de o à A et B étant très grand, les modules de F(/'^), 

a e'"'* 
¥' (rz^ seront sensiblement éeraiix à ■ — , et l'on aura sen- 

^ ^ *^ 1 r\z\ 

siblement 

i-K = )!="e'-'=. 

Sur le côté vertical, où ^ = A 4- ti^ t variant de o à B, on 
aura, en remplaçant A et X par leurs valeurs, 

rz — X = r A — X ~\- rti:=i {ik — \)t. -^^ rti, 
d'où 

sin(r^ — X) -:=:: — cos rti, cos {rz — X) -— s'mrti, 
et, par suite, 

+ iir\^-^^[<x+ e(rs)] - cos rti(l,(rz)\. 

( ï' Z ] 

On en déduit 

(98) '\>\z) — 0.^008"^ rti (i -i-M-hM'tangr^/ + ]VrtangV^Oi 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES TARTIELLÉS. 449 

M, M', ]VF, M"' étant des poljnômes formés avec les puis- 
sances négatives de A + ^/; A étant très grand, ces poly- 
nômes ont leurs modules tr(''s petits; d'autre part, lorsqne 
t varie de o à oo, tang/'^i varie régulièrement de o à « ; donc 
on aura sensiblement 

\Y~{^) | = a2cosV^/= l.(^e''^-he-''^y> ^e^'"'. 
4 4 

Considérons enfin le dernier facteur, 

P'?(^) _^ ,r pF(,o's)F'(p^)-p'F(p4;)F'(p':;) -l 

Il peut se mettre sous la forme 






2 p'+p 



Or on a 

P p'-p -p'-pjp M--)^^^^, 

expression dont le module a pour limite supérieure 

pVl^i, 

[X désignant une limite supérieure du module de F'Çxz); or 
ce dernier module est moindre que 

Y^\^pp'\z\' 

car 0?, variant entre p et p', qui sont eux-mêmes compris 

pp' 
entre o et r, sera << /', mais >> ^• 

On a donc pour limite supérieure du module cherché 
l'expression 

rle''^ 

P 
J. -- Cours, [II. 29 



45o TROISIÊMK PARTIE. — CIIAPITIIE III. 

Le même procédé, appliqué à l'expression 

,F'(p'-^) -F'(p^) 
P P' --^ ' 

donnera pour son module la même limite. 

Substituant pour ces quantités, ainsi que pour F(p^), 
F'(pz), . . . , les limites de leurs modules, il viendra 



D'ailleurs, p' étant ^r et j^j étant très grand, le second 
terme de cette expression sera négligeable par rapport au 
premier. 

342. Il résulte des évaluations qui précèdent que, sur le 
côté horizontal du rectangle où ^ = B, et où | ;s | est sen- 
siblement égal à B, l'intégrale (89) s'annule pour B =00; 
car on aura 

,b ^A 



If ITZ l 



^Â^ 



[Ji désignant le maximum du module de p'^y(z), lequel, 
d'après ce qui précède, ne peut surpasser sensiblement la 
quantité 

4 /2re(r+p)C 



2/-2B- 



a«e2'B p^B 



qui s'annule pour B = oo, car elle contient en dénominateur 
l'exponentielle e^^~P^^\ 

Considérons maintenant l'intégrale suivant le côté vertical, 
laquelle, pour B = 00, se réduit à 

^ f r 9"x{h.-\'ti)dtdp', 

Elle a une valeur limitée, car son module est au plus égal à 
'-— -^ / vdt< — ^dt, 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^1 

|x désignant une limite supérieure du module de p'-y^(A-{- ti). 
Or \z\ étant ici égal à y/A- -H ^'^ [f- ne peut surpasser sensi- 
blement l'expression 

laquelle donne une intégrale finie, à cause de la présence du 
facteur e^^~P^^ au dénominateur. 

Nous allons enfin démontrer que l'intégrale, suivant le côté 
vertical, tend uniformément vers | pour A = oo, quelle que 
soit la valeur constante ou variable assignée à b. 

A cet effet, nous remarquerons d^abord que l'on peut sup- 
poser ^> ir- En effet, si b était << .-5 on pourrait décomposer 
le champ d'intégration relatif à ^' en deux autres, s'étendant 
l'un de p à yj Pautre de - à b. Le module de l'intégrale re- 
lative à cette seconde partie du champ est au plus égal à 

€t a fortiori à -r- / [a dt^ quantité indépendante de 6, et qui 

s'annule pour A ^=: co. On n'aura donc à considérer que la 
première partie du champ. 

343. Supposons donc by -r-* Ponr déterminer dans ce cas 
la valeur limite de l'intégrale, il ne suffira plus d'assigner 
comme on l'a fait jusqu'à présent, une limite supérieure à 
son module; mais il faudra analyser avec plus de précision la 
nature des facteurs de x(-^)- 

Considérons d'abord le facteur 

Substituons aux fonctions F(p^), ... leurs valeurs 

V{^z) = -^"i^f^H^^ [a -f- 6(p^)] + sin(pc - X)G,(p^), 



4-52 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

il viendra 

"^^"^ pp'\ -r- sin(p'5 — X) sin(p5-^-X)D" 

( -hcos(p':; — X)cos(pi; — X)D"' j 

chacune des quantités D, D', D'', D"' étant une somme de 
fractions simples, de la forme 

c 

pi^p'^^F--t^v+î * 

En faisant usage des formules 

• // ,N / >x sin[(p -l-p')5 — 2X]H-sin(p' — p)^ 
sm (p' z—1) CCS {pz — X) — — -^ ^-^ ~ -^- y 

on peut mettre cette expression sous la forme 
( sin(p'-^p).[.^(^-e)+E] 



pp -f-si 



n[(p'^p)^-2X][a^(^^:-^) + E'] 

4- cos(p'— p) s E" 4- cos[(p' -^p)z — 2X]E"' ) 

E, E', . . . étant de la même forme que D, D', .... 

D'ailleurs, pour p' = p, ^{:-) s'annule identiquement; donc 

E', E'^, E"^ s'annulent. Si donc une de ces fonctions contient 

la fraction simple 

c 

^V/^ ^"ïï -i-v-f-l ' 

elle contiendra son associée 

c 



pVp'p-sf^'+^-^i 

Cette fraction, ajoutée à la précédente, donnera un résultat 
de la forme 

(p'— p)> » , '^ ' où Y + 3= |X-hV — I. 

^^pfip'T^[^'^-v+l ^ ■ ^ 

On aura donc 

E'=.. (p'- p)F', E" =--. (p'- p)F^ E'''r= (p'- p)¥\ 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^3 

F', F'^, F'" étant des sommes de fractions simples, de la forme 



p'rz^+T+2 



Substituons, dans les arguments des lignes trigonométri- 
ques, la valeur z = Pi.-^ ti et séparons la partie réelle de la 
partie imaginaire au moyen des formules d'addition. Remar- 
quons enfin que 2X ne diffère de irK que par un nombre 
impair de demi-circonférences ; il viendra 

, , ^ r sin(p' — p)Acos(p' — p)^nr^^/ / X T^ I 

^^ ^(^) = U cosî;'- p) A sin(p'- l)a\ l.-. (? + P) "- ^J 

^ r— CCS (2/- — p — pO A. sin(p'-T-p)^n__/a2 
"" L sin(2/' — p — pOAcos(p'+p)^/J^^ '\''2 

, r cos(p'— p)Acos(p'— p)^n 
~^\_- sin(p'— p)A sin(p'— p)^/J^P ^' 



[: 



cos(2r — p — p') A cos(p'-T- ^)ti 
sin(2r — p — p') A sin(p'-h p)ti 



344. Chacune des fractions simples qui figurent dans E. 
F', F'^, F^^', considérée comme fonction de p' et de t^ est de 

la forme 

c 

—, ^—7— ) ou V ■> [X. 

p'l^(A-r-^0^ 

Elle peut s'écrire 

V ^ — ^ (— i)'" 



p/[x(A2-h^-)^ Za p'i^(A--h^-)^ 

Chacun des termes de cette somme est le produit d'une 
puissance de « par une fonction de p', A, t^ continue, réelle et 
positive dans tout le champ d'intégration. Cette fonction sera 
croissante de p' = p à p' = 6, si 6 -< p. Si 6 >> 0, on pourra 
la décomposer dans la différence des deux fonctions partielles 

I c' K''-"^t'"- / I I \ c'A^-"^^'« 

pf^ (Â^T~^ ^^ v^ ~" yv-j (A2-t-^r^)^' 

également continues et positives, dont la première ne varie 
pas avec p', tandis que la seconde est croissante de p à ^. 



454 TROISIÈME PARTIE. -— CHAPITRE III. 

D'ailleurs A et ^ étant au plus égaux à y/À- -h t^ et p' au 
moins égal à -r- dans tout le champ d'intégration, le module 
de la fonction considérée aura pour limite supérieure 






et, si ^ > p, les modules des deux fonctions partielles dans 
lesquelles on la décompose seront moindres que 



Ces diverses fonctions tendent donc uniformément ver& 
o pour A = 00, quels que soient p' et t. 
D'autre part, la fonction 

Qifi - ^2_ ^(^ + + Hr( i - Hr) 

est de même égale à r-, plus la somme de quatre termes, 
dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonc- 
lionpositive de ^etde A, qui tend uniformément vers o pour 
A = 00, quel que soit t. 
On a enfin 

<];2(^) — a2 cos'^rti{i + M 4- M' tang/'^i + M" tangV^i)- 

Chacune des fonctions M, M', . . ., étant une somme de 

termes de la forme 

c 



s'exprimera par une somme de termes dont chacun est le 
produit d'une puissance de i par une fonction continue et 
positive de t et de A, qui tend uniformément vers o pour 

A=::=GO. 

D'ailleurs, lâng/Ui est le produit de i par une quantité 
comprise entre o et i . On aura donc 

i-h M + M' tangr^i -h M" tangV^^ = i -h P + P'i — P"— P"i; 

P, P', P'', P''^ étant des fonctions continues et positives qui 



ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^5 

tendent uniformément vers o pour A = oc, l'expression 



n-M4-M'tangA^f + M"tangV^j"~(i-+-P — P")2+(P'— P"'^) 
sera évidemment une fonction de même forme. 

345. Réunissant les résultats précédents, on trouve pour 
l'intégrale cherchée 

l'expression suivante 

,0 



r sinÇp:-^) A />= 



cos(p' — p)ti , 



cos^ rti 



[J 



// / \ A j / r" sin(p'— p)^/ , fi 
ces (p' — p ) A do' / 7-—^^- -V — ■ 9 - 

-/ sin {2 r — p — p') A dp' I 

^p ^0 



-^1 



dt 
dt 



, r*cos(p'4- p)^£ -t + R, 



p' —, dt 



(94) 



[ — / cos(2r— p — p')A«?p' / — 



(p'-^o)n ,31+R, 



cos^r^i 



dt 



irp I 



cos{p'—p)tî Ro ^^^ 

p'-h p 



«^0 «^0 



cos,^ rti 



?'-^P 



dt 



-f. 



nr\<!.(2r — p 



p[)kdp' f 



C0s(p'-4- o)^i , R3 



dt 



cos- rtl ' p'-h- p 

/• / i\ K j r r'" sin(p'+ p)ti , Rt 
sin (2 r — p — p') A <^p' / ■ ^—--^^l— p' -^-1- dt 
^ ^ \J, cos' rti : p'-i-p 

R, Ri, R2, R3 étant une somme de termes dont chacun est le 
produit d'une puissance de i par une fonction de p^, ^, A, 
continue, positive et bornée, laquelle croît (ou tout au moins 
ne décroît pas) lorsque p^ varie de p à 6, mais tend unifor- 
mément vers zéro quel que soit p pour A = oo. 



456 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III. 

D'ailleurs p' et -7-^ — sont des fonctions de p^ finies et con- 

tinues; elles sont croissantes de p à 6, si è "> 0; dans le cas 
contraire, elles sont la différence de deux fonctions finies, 
continues et non décroissantes 



P + P' 



(P-P'), 

p + p7 



/ 



„ ^ , ^ . , , X . .sin(p' — p)t:i 

Enfin, les fonctions cos(p'— p)/«, — i — ^, '-^— sont 

P— P 
croissantes de p à 6. 

Donc chacune des intégrales relatives à f, qui figurent 
dans la formule précédente, porte sur une somme de termes 
dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonc- 
tion de p', A, t positive, bornée et continue, laquelle ne dé- 
croît pas lorsque p' varie de p à ^, mais tend uniformément 
vers o pour A:=oo (à moins qu'elle ne soit indépendante 
de A, ce qui arrivera pour les termes des quatre premières 
intégrales qui ne proviennent pas de R et de Rj). 

L'intégrale de chacun de ces termes, prise par rapport 
à f, sera manifestement le produit d'une puissance de i par 
une fonction de même forme, que nous désignerons par 
/(P'-A). 

346. D'autre part, les intégrales 

^sin(p'— p)Ar/p' 



— , 






sin (p'— p)Adp' 



I — cos{b — p) A. 






/ / K K ^ I sin(è — p)A 

COS ( p' — p ) A <ip' ==: ^— 

p 






* . ,^. ,, cos(2r— p — è)A— cos(2r — 2p)A 
sm ( 2 /• — p — p ) A dp' -= T ' 



i 



,^.,, sin(2r — p — ô)A— sin(2r — 2p)A 
ces {2r — p — p')A.dp'^^ ^^ V- 



ÉQUATIONS AUX DÉHIVfiFS PARTIELLES. 4^7 

sont limitées et, pour A = oo, tendent uniformément vers les 



,. . .71 

limites respectives -y o, o, o, o. 
Soient 



l'une quelconque de ces cinq intégrales; G la limite vers 
laquelle elle tend. Il sera aisé de trouver la limite de l'inté- 
grale 

/ cp(p',A)/(p;,A)^p' 

par la méthode employée au tome II, n° 221. 
On a, en effet, \ désignant une constante, 

/ -/ 4-/ . 

Appliquons à la seconde intégrale le second théorème de 
la moyenne; il viendra 

r 'f(p',A)/(p',A)^p' 

= /(p-i-X,A)r cp(p',A)^p'4-/(6,A) r cp(p',A)^p'. 

Pour A=^GC, les deux intégrales ci-dessus tendent uni- 
formément vers zéro (pour plus de détails, voir l'endroit 
cité); et leurs multiplicateurs tendent également vers zéro 
(ou tout au moins restent fixes, si /ne dépend pas de A). 

Reste la première intégrale 



.P-+-X 



r cp(p',A)/(p',A)./p' 

--/(P,A) r cp(p',A)<o'+ r [/(p',A)-/(p,A)]cp(p',A)^/. 
Le premier terme tend, pour A ^^^ oo, vers Glim/(p,A). 



458 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE HT. 

Appliquons à l'autre le second théorème de la moyenne; 
elle devient 

U(9 + ^, A) -/(p, k)]J^" o(p', A) df', 

Ç étant compris entre p et p -|- \. 

L'intégrale qui figure ici reste finie; son multiplicateur 
tend d'ailleurs vers zéro pour A = oc, s'il dépend de A; 
sinon, on pourra le rendre aussi petit qu'on voudra en fai- 
sant décroître \. 

Nous obtenons donc pour la limite cherchée 

Glim/(p, A). 

347. Tous les termes des intégrales (g4) pouvant être trai- 
tés de même, et G étant d'ailleurs nul, sauf pour la pre- 

mière d'entre elles, pour laquelle il est égal à -? la limite 

cherchée sera, en désignant par Rq ce que devient R pour 



p-p. 


r t:,. r dt (i Ro\ 
hm / , . p + 




.. p rdt f Ro 



Mais, lorsque A tend vers ce, Rq tend uniformément vers 
zéro. L'intégrale se réduit donc à son premier terme 



/■ 



rdt 



Posons 6'"'= w; cette intégrale se transforme en 

Doublant ce résultat d'après le n" 339, on obtiendra -j 
ainsi qu'il fallait l'établir. 



TROISIÈME PARTIE. - CHAP. IV. — CALCUL DES VARIATIO^S. ^^g 



CHAPITRE IV. 

CALCUL DES VARIATIONS. 



I. — Première variation des intégrales simples. 

348. Soit cp(:c, 7, y, ....y'^'-'^z.z^, . . .,s«, ...)une fonc- 
tion de la variable indépendante x^ des variables dépen- 
dantes r, z^ . . . et des dérivées de ces dernières jusqu'aux 
ordres m, n^ . . . respectivement. 

Si nous changeons y^ z^ ... en jk H- £Vi, 5 -h £?, • • • ('^i, 
î:^, . . . désignant de nouvelles fonctions de ^ et s une con- 
stante infiniment petite ) jk^, 3^, . . . seront changés en jK^-f- zr^'% 
_3/<r_i_ z'Q^ . . . , et cp en 

*(^, e) -" cp(^, y -Hsï], j'+ ST)', . . ., ^ -i- £^5 . . .). 

Cette expression, développée par la formule de Taylor sui- 
vant les puissances de s, prendra la forme 

£2 
1.2 , ,^. 

en posant, pour abréger, 



Les quantités ecp,, e^cs^, ... se nomment les variations 



46o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

première^ seconde, etc. de la fonction cp, et se représentent 
par les sj'mboles Sep, S^cp, .... 
On a, d'après cette définition, 

ly —ET,, 8j' — er/, ..., hz z=-^zt, ..,; 

8-J/ rrr O, S^J^' =r O, ..., O^^rr-O, .... 

Il est clair, d'ailleurs, que cp<, cpo, ... ne sont autre chose 
que les dérivées partielles -^j "XT' ' ' " P^^^i' ^^ valeur par- 
ticulière £ =: o. Or on a généralement 
^i ^k^ ^ ^k ^i^ 

^k^ . I -, d^ d^^ 

Pour £r= o, -^—r se réduira à C5/^ = -— o^o et —-r -^; — r à 

-^ô* -7-^- Substituant ces valeurs dans l'équation précédente 
et multipliant par la constante £^, il viendra 

Cette équation montre que les deux opérations de la déri- 
vation et de la variation peuvent être transposées. 

3i9. Les équations (i), respectivement multipliées par e, 
£-, . . . , pourront s'écrire 

à y ' à y -^ dz 

dy^ ^ dy'^ -^ dz- ày ây' -^ -^ 



Si les fonctions r, z, . . . , au lieu d'être données immédia- 
tement en fonction de .r, étaient exprimées au moyen de x^ 
t, t', ... ; «, u'j ... ; . . . , où t, II, ... désignent des fonc- 
tions de œ, le changement de ces dernières fonctions en ^-h £t, 
w -f- £U, ... transformerait y, z, . . . en y -+- oy H- ^ S-jr-f-..., 



CALCUL DES VARIATIONS. ^6] 

I ^'Z -I- . . , , . . . , et, par suite, cp en 



■(p(^,/-r-87-hi82^4-..., j'-4-Sj^'+|-o2/-i-..., z-i-oz-i-il^z-^- .., ..) 



cp -T- 8cp H- -| 0^ ( 



ou 

>C0 



"f=d^^^ + #°^ +■- ^°= +••■• 

âf -^ df' "^ (^:^ 



Ainsi 8cp conserve la même forme que si y, z étaient donnés 
directement en fonction de x] mais les variations suivantes 
seront modifiées par l'adjonction de nouveaux termes en S^j', 

sy, .... 

350. Proposons-nous maintenant de déterminer les varia- 
tions successives d'une intégrale définie 

Changeons y^ z en jk + ^y-, z-\-^z, . . . ; cp sera transformé 

en 

<î> (^, s) = cp -f- 8cp 4- I 0- cp 4- . . . 



et I en 



f (cp -I- ocp + -|o2cp -{-...) <i^. 

Séparant les termes affectés des diverses puissances de s, il 
viendra 



81 



'^Xç, '^Xo 



Ce résultat suppose toutefois que les limites ^q, Xy de l'in- 
tégration sont des constantes fixes. Si nous admettons qu'en 



462 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

même temps qu'on altère les fonctions jk, ^, . . . on accroisse 
^05 ^^ de quantités infiniment petites ^^o = ^^oj ^^\ = ^ii > 
I subira de ce fait une nouvelle altération A'I, égale à 

Gliacun des termes de cette expression peut se développer 
sans peine suivant les puissances de e. En effet, considérons, 
par exemple, le terme 



X 



jcj -h ùx, 

8^ CD dsc. 

I . 2 . . /C 



La formule de Tavlor donne 

[5*cp],, . . . représentant les valeurs de 8^cp et de ses dérivées 
pour X =^ Xi (jK, Jk'i . . . , s, ... étant en même temps rem- 
placés par les valeurs jko Jk'^ , • • • ; ^i , • • • qu'ils prennent pour 
x = Xi). 

Multipliant par r et intéerrant de Xi à ^i + 8^,, il 

^ ^ 1 .2. . .A: ^ 

viendra, pour valeur du terme considéré, 

Chaque termede l'expression (4) étant développé de même, 
on obtiendra, en réunissant ensemble les termes de même 
ordre en e, 



Réunissant ces termes à l'autre partie de la variation déjà 
obtenue précédemment, il viendra, pour la variation première 



CALCUL DES VARIATIONS. 4^3 

del. 



pour la variation seconde, 



331. On peut arriver au même résultat d'une autre ma- 
nière, en transformant l'intég'rale 






Al=z / <ï> 



{x, e) dx 



L ^^ -"-^ 



par un changement de variable, de manière qu'elle ait les 
mêmes limites Xq, x^ que l'intégrale primitive. 
Posons, en effet, 

3^ étant une fonction arbitraire de t^ affectée du coefficient e et 
assujettie seulement à se réduire respectivement à ùXq et 8^i 
pour t'-=^XQ Ql t =zx^\ on aura 

ou, en écrivant x au lieu de ^, 

— / <i> -^ __. S^ _l s^2 ^ _ . Udx -hdùx) 

=rz / ci>cix ~\- d ^ùx-^~ h . . . 

^ L àx 2 J 

r^ . r)^I> ^.t'- "1 ' r^' , 



m 



TROISIÈME PARTIE. 



CHAPITRE IV. 



mais on a 



<î> r=: cp -h 0'^ -i- -| 8- cp -t- . . . , 

d^ <icp d^'ji I <iS-cp 

do) dx ' dx ' 2 dx 



Substituons ces valeurs dans l'expression de I-I-AI, et sé- 
parons les termes de même ordre en e; on trouvera, pour 81, 
û^I, ..., les mêmes expressions que tout à l'heure. 

352. Nous venons de nous trouver conduits à faire varier 
non seulement l'expression de r, ^, ... en fonction de la 
variable indépendante x^ mais cette variable indépendante 
elle-même. Cette considération nouvelle peut devenir néces 
saire, lors même que les limites jto, x^ restent fixes. 

Considérons, par exemple, l'aire comprise entre l'axe des x 







Fig. 


10. 




ï 














>- 




^\ 




1 
\ 


\ 




; 
1 







Xo 




Xi 



et la courbe figurée en ligne pleine par la fig, lo. Elle sera 
représentée par l'intégrale 



/ 



ydx, 



OVL l'on donnera à ^ la série des valeurs successives qu'il 
prend lorsqu'il décrit la courbe, y désignant l'ordonnée cor- 
respondante. 

Considérons une seconde courbe infiniment voisine de la 
première et ayant les mêmes extrémités, par exemple celle 



CALCUL DES VAllIATIONS. 4^5 

que la figure représente en pointillé, et proposons-nous d'éva- 
luer raccroissement de l'aire lorsqu'on passe de la première 
courbe à la seconde. Pour opérer ce changement, il ne suffira 
pas de faire varier l'ordonnée de chaque point de la première 
courbe en laissant l'abscisse constante; car il y a sur la se- 
conde courbe des points auxquels ne correspond, sur la 
courbe primitive, aucun point ayant la même abscisse. On 
pourra, au contraire, passer aisément de la première courbe 
à la seconde, en altérant un peu les abscisses en même temps 
que les ordonnées. 

3o3. Cela posé, l'objet principal du calcul des variations 
est la solution de la question suivante : 

Les fonctions y^ s, . . . , qui figurent dans l'intégrale I, et 
les limites Xq^ x^ étant indéterminées en tout ou en partie, 
achever de les définir, de telle sorte que la valeur de l'inté- 
grale I soit maximum ou minimum. 

D'après cet énoncé, si l'on donne ky, z, . . ., Xq, x^ un 
système quelconque de variations infiniment petites S/, 
8s, ..., 8^0, û.r< compatible avec les conditions imposées par 
l'énoncé du problème, l'accroissement 

qui en résulte pour la valeur de l'intégrale devra conserver 
constamment le même signe (positif ou négatif suivant qu'il 
s'agit d'un minimum ou d'un maximum). 

Or, £ étant infiniment petit, l'ensemble 81 des termes du 
premier degré sera prépondérant et donnera son signe au 
résultat. Si d'ailleurs on admet (ce qui aura lieu très générale- 
ment) qu'à chaque système de variations ùy^ 8s, . . ., 8^07 ^-^i 
compatible avec les conditions du problème, correspond un 
second système de variations — 8jk, — 8s, ..., — ^8x0, — 8^^ 
jouissant de la même propriété, ce nouveau système de va- 
riations donnera à I l'accroissement 

-SI 4-18-1-..., 

J. — Cours, III. 3c 



f\66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY. 

qui sera de signe contraire au précédent, à moins qu'on 
n'ait SI -.= o. 

Nous obtenons donc cette première condition pour l'exis- 
tence d'un maximum ou d'un minimum : 

La variation première ol doit s'annuler pour tout sys- 
tème de variations 8/, 8^, ..., ^Xq, ^x^ compatible avec 
les conditions du problème. 

354. Cette condition détermine, en général, ainsi que nous 
le verrons, ce qui reste d'arbitraire dans la définition des 
fonctions j^, 5, ... et des limites Xq^ x^. Mais elle n'est pas 
suffisante. Il faudra en effet s'assurer que, après avoir ainsi 
déterminé ces quantités inconnues, l'accroissement de I pour 
une variation infiniment petite (compatible avec les condi- 
tions du problème) conservera toujours le même signe; 
d'ailleurs, 81 étant nul, cet accroissement se réduit à 

iin-'-.... 

Le terme prépondérant de ce développement, ^8-1, ne 
devra donc pas changer de signe, quel que soit le système 
de variations que l'on adopte parmi ceux qui sont admis- 
sibles. Cette seconde condition sera évidemment suffisante 
si 1^8-1 est toujours différent de zéro. Mais, s'il existait un 
système de variations qui annulât 8^1, il n'y aurait ni maxi- 
mum, ni minimum, à moins que ô ^^ I> 4"i ^st d'oidre 

impair, ne s'annulât en même temps, auquel cas il resterait 
à discuter le signe de 8''I, etc. 

Nous nous bornerons, dans cette Section, à tirer les consé- 
quences de la première condition 

355. Posons, pour abréger l'écriture, 

do f)o do r> ^^ T> 



CALCUL DES VARÎATIOxNS. 4^7 

Nous aurons, d'après la formule (3), 

ocp = A. 8j + <\, 8/ -h ... -h A^ oy^ -f- B 8^ H- . . . , 

valeur qu'il faudra substituer dans l'intégrale / 80 dx. 

L'intégration par parties permet de transformer cette ex- 
pression en faisant disparaître sous le signe / les variations 
des dérivées y, . . . , 7"*, 5', . . . , 5«, . . . . En effet, considé- 
rons, par exemple, le terme 



r 



A/, 8j^ dœ. 



Nous savons que Sy est la dérivée /c*'^"^^ de Zy; on aura 
donc 



X 



A;tSy^^=^[A;i.8y-i — A/,;8y-2-i-...4-(-i)'^-^Ai:-» 8j]J. 
(-i)^-A|8j^^. 



/ 



opérons de même sur chaque terme de 8cp et posons, 
pour abréger, 

A -a; + ...-!- (-0- A- r.-.M, 

Al - - a; -h ... + (- 1)—' A;r ^ = G, 
A,- A'3 + . . .4- (- 1)— ^ A;;r- ==GS 



(5) ^ B -B;+...+ (-i)'^ B« rrzN, 

B,-B;-f-...-f-(-i)«-iBr^ -:D, 



B, :::r:D«-S 



468 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

il viendra 



SI 



-h D S^ -+- D» 8^' -i- . . . -f- D'^-^ S:j'^-^ 

Cette expression doit être nulle pour tous les systèmes de 
valeurs admissibles des variations ùy, ùz^ . . . , 8^05 8^<- 

356. Supposons d'abord que ces variations puissent être 
choisies d'une manière entièrement arbitraire. 
On pourra poser, en particulier, 

è^o —- S-^i : - O, 8j ~ £62 M, §5 - - £02 N, 

9 étant une fonction quelconque de x, qui s'annule pour 
x^^Xq et pour x = Xi^ ainsi que ses dérivées successives, 
jusqu'à un ordre égal au plus grand des nombres m — i, 

n — I, Pour ce système de variations, les termes tout 

intégrés de 81 s'évanouiront, et l'on aura 









Cette intégrale, dont tous les éléments sont positifs, ne 
pourra s'évanouir que si l'on a 

M — o, N=:o, ..., 

ce qui réduira l'expression de 81 à la partie tout intégrée 

r G8j4-G^ a/-4-.,.-hG'«-iSj'"-n^' 

-hDS^ H-D^S^'+...-hD«-^ S^"~i j H-[cp,]S^,-[c?]o8.^o 



n-\ 



--= G, §7, -^- Ci -oy\ H . . . -H 0"^' ^^yT' "" D. S^, + . . . -^- B'r oz'^ 

-GoS7o--C5 8j;-...-Gr^ojr^--DoS--o-..--DrUVr^- 

-|-[cp]i8^i— [cp]o8^0 5 

que nous désignerons par H. 

Les diverses variations qui figurent dans cette expression 



CALCUL DES VARIATIONS. 4^9 

sont évidemment des arbitraires indépendantes. Donc, pour 
• que 81 s'annule identiquement, il faudra qu'on ait encore 







Les équations 




( =: M = A - a; -1- . 


.-hC-O'^A-, 


<7) o=rN=. B — B;-+-. 


• •+(-t)'^b;;, 



sont des équations différentielles entre x et les fonctions in- 
connues r, z. 

Lapremière contient les dérivées de j^', Zj ...jusqu'à l'ordre 
'2nij n-\~m^ ... respectivement. La seconde les contient 
jusqu'à l'ordre m-\-n, 2/z, . , ,; et de même pour les sui- 
vantes si le nombre des fonctions jk, ^, ... surpasse 2. Ces 
équations forment donc un système d'ordre im -\- in ~i- ... 
en général, et donneront y, z^ ... en fonction de x et de 
im-\- 2n-\- ... constantes arbitraires a^ , «21 * • • • 

En substituant ces valeurs dans les 2 -h 2/^ H- 2/1 H- . . . 
équations aux limites (6), on aura le nombre d'équations né- 
cessaires pour déterminer les constantes d'intégration et les 
limites o-'o, x^. Le problème est donc en général déterminé. 

357. Jacobi a montré que le système des équations diffé- 
rentielles (7) peut être ramené à un système de 2/n-}- 2 Ai-r ... 
équations du premier o»^dre ayant la forme canonique. 

Supposons, en effet, pour fixer les idées, qu'on ait deux 
fonctions inconnues y, z. Prenons pour inconnues auxi- 
liaires les quantités y' ., . . ., jk'"~', z' .^ . . . , ^"~', 0, G\ . . ., 
(yri-\^ D, D^, . . . , D'^~' ; on aura, par définition, 



(S) 



-— — v' . ... -^ — V' 



l dx 




fy]0 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

D'autre part, la difTérentialioii des équations (5) donne 
immédiatement (en remarquant que M =r: N = o) 

, ^ \ dœ-"^' •••' dx -'^' ^ ' 

(o) i 

l dx '^' •••' dx ^^' ' 

et, si l'on tire des équations 

(lO) A,,rr=G— S B,=.D-^ 

les valeurs de y"^, z'^ pour les substituer dans les équations 
(8) et (g), on obtiendra, entre x et les nouvelles variables j^, 
/, ..,JK— ';^, ...,^"-^ G, ..., G--', D, ..., D«-S un 
système d'équations du premier ordre, équivalent aux deux 
équations primitives. 

Ge nouveau système est canonique. Gonsidérons en effet 
la fonction 

Sa différentiation donnera 

d\} r^ Il dx -I- A c/j + ( Al - G ) ^j' -4- . . . -4- ( A,„ - G'«-^ ) ^//"' 
-I- Bdz h (Bi - Yy)dz' 4- . . . -h (B„ - D«-» ) dz''- 

— y' dC — y" dO~...-~ y"' dC""-' 

— z' dY) — z" ^D» - ... — z'^ ^/D'^-J. 

D'ailleurs les coefficients de dy"'- et de dz'^ dans cette ex- 
pression sont nuls. On voit donc que, si l'on exprime U en 
fonction de x, y, . . . , jk'"~^ ; ^, • • . , z"~^ ; G, . . . , G'""* ; 
D, . . ., D«~"', en éliminant jk'", z'^ au moyen des équations 
(lo), on aura 

A,-G _--., ..., B_ -^^, ...> 
ce qui établit notre proposition. 



/= 




Ar= 





CALCUL DES VARIATIONS. 4?^ 

358v Réciproquement, soit V une fonction quelconque 
de X et d'un nombre quelconque de couples de variables jr, 
'/]] Zj Ç; ...; supposons ces dernières quantités fonctions 
de JO, et cherchons la variation de l'intégrale 



X 



(U -h7)j'-f-U'H-...)^-^, 



en supposant qu'on les fasse varier. La portion de la variation 
qui restera sous le signe / , après l'intégration par parties, sera 

.CT(S-')''*(S*'-)"--]"- 

et, en exprimant qu'elle est constamment nulle, on aura les 
équations canoniques 

On voit donc que le problème d'annuler la première varia- 
lion d'une intégrale et celui d'intégrer les systèmes d'équa- 
tions canoniques sont entièrement équivalents. 

359. Les résultats que nous venons de trouver subissent 
quelques modifications, lorsque les fonctions jk, -Z, ... et les 
limites Xq, x^ ne sont pas entièrement arbitraires. Nous 
allons passer en revue les principaux cas que l'on rencontre 
dans les problèmes usuels. 

i" Les fonctions y, z^ ... sont encore arbitraires dans 
l'intérieur du champ d'intégration; mais il existe entre les 
limites Xq, x^ et les val( 

mites les quantités jk, y' 
ou plusieurs relations 

On aura encore, dans ce cas, M -- o, N i- o, ... ; mais les 
variations ^Xq, 8^,, 8jro, ••• qui figurent dans la partie tout 
intégrée de 81 ne seront plus indépendantes les unes des 



rs 


y 


o,/o^ 




m-\ 

•' y 


; iJo, •■• 




, . . . , 


zr 


-K 




q' 


Lie prennent p 


our 


ces li- 


r 




•,r" 


1 . 




. ..,s«- 




. . une 



[\'J1 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

autres, et chacune des équations (ii) fournira une relation 
linéaire entre ces variations. 

En effet, changeons y^ z, . . . en y -r- S.>', z 4- ôs, puis Xq^ 
x^en x^-^r^^Q, Xi-^Zx^. Soient jKo + A/q, j'o-^ ^f'^^ ••• 
ce que sont devenus j'o, y'^^^ ... par cette variation. Ces 
nouvelles valeurs, associées aux nouvelles limites x^^-^Zxq^ 
Xi -+- 8:^4, devront encore satisfaire aux équations aux limites 
fil = o, y= o^ .... On aura donc, en développant par la série 
de Taylor et s'arrêtant aux termes du premier ordre, 

Il ne reste plus, pour obtenir les relations cherchées, qu'à 
trouver l'expression de A/o? Aj'o^ • • • en fonction de hxo, 8^<, 
oyo, ^y'^^J .... On l'obtient aisément comme il suit. 
On a, par définition, 

— Lr^']x=x,^èx,-^ [b'^']x^-x,+ox,, 

= /o -^A^' °^-o4- . . • 4- S/o" + • • • • 
On aura donc, en négligeant les termes du second ordre, 
comme nous le faisons dans toute cette recherche. 

Nous avons ainsi obtenu autant d'équations linéaires entre 
les variations Sj^o? ^-^i > ^J^oy ••• qu'il existe d'équations de 
condition tj>r==:o, -^ = 0, .... Soit/? ce nombre. On pourra, 
au moyen de ces relations, éliminer p variations de l'équa- 
tion 



II 



-h Ciô/i-h., 


••+ Gf-^5/f ' 


— Go ô/o — . 


..-c'r'oyr' 


-i-D, 8^1 4-., 


. .-t- D';-i ^z'I-' 


— Do o.-o — . 


..-Dr's.r^ 



CALCUL DES VARIATIONS. 4"^ 

Les 2 -!- im -\- in -^- . . . —• p variations restantes étant entiè- 
rement indépendantes, on devra égaler leurs coefficients à 
zéro, ce qui donnera autant d'équations de condition non- 
velles, qui, jointes aux équations ^:=i o^ -^ r= o, . . ., déter- 
mineront encore ^o? ^k et les constantes d'intégration. 

On peut d'ailleurs opérer d'une manière plus symé- 
trique en ajoutant à l'équation précédente les équations 
7yh rzz: o, 5y = o, multipUécs par des indéterminées 1, [jl, . . . , 
et égalant à zéro les coefficients de chaque variation. Les 
1 -\~ 1 m -^ in -^r • • • équations ainsi obtenues seront les 
mêmes que celles qu'on obtiendrait en annulant la variation de 
I -f- X'^^ -\- ]xrj^ -!-•••■, X et tjL désignant des quantités invariables. 
En les joignant aux équations données <]> :=^ o, y= o^ . . ., on 
pourra déterminer toutes les inconnues du problème, y com- 
pris les inconnues auxiliaires )^, jx, . . . . 

360. 2' Les fonctions j^, s, ... ne sont plus indépendantes, 
mais sont liées par des équations difî"érentielles 

(i2) ^ = o, X-^o, 

Soit p le nombre de ces équations_, dans lesquelles pour- 
ront d'ailleurs figurer, outre les fonctions inconnues j', z, ... 
el leurs dérivées, d'autres inconnues auxiliaires u, ... et 
leurs dérivées. (Le nombre de ces nouvelles inconnues devra 
toutefois être inférieur à celui des équations de condition.) 

Les équations «j; = o, y^ ^=3 o, ... feront connaître p des in- 
connues y, z, . . ., iij . . . , par exemple ^, ... en fonction des 
autres z, . . . , z^, . . ., qui resteront indéterminées. 

Cela posé, désignons par X,, ..., X^, des fonctions arbi- 
traires de X, que nous nous réserverons de déterminer. On 
aura évidemment, pour tout système de variations de j^, 5, ..., 
u, ...; ûCoy x^ compatible avec les équations ^ = o^ '^^= o, ..., 

' ^dœ~^i (cp -h Xit|> + XaXH-- • .) <^"^; 



474 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

()x, '^ H- Tvo'/ -f-...) dx étant identiquement 

nulle, sa variation l'est aussi. 
La variation de l'intégrale 

traitée à la manière ordinaire (sans faire varier les fonc- 
tions X), pourra se mettre sous la forme 



8K 



H' -h r (M' Sj -f- N' 0^ + . . . -;- V'U-^...) dx, 



IF désignant la partie tout intégrée et M', W des expressions 
formées avec y^z,...^u, ...,).,,..., 1^ et leurs dérivées. 
Déterminons les fonctions arbitraires ).,, ..., \p par la 
condition d'annuler les coefficients des variations 8y, . . . des 
variables dépendantes y, . . .; ôK. se réduira à 

H' -h r \wiz-\-... -h P' lu H- ...)dx, 

et, comme les variations '^z, ow, ... sont arbitraires dans tout 
le champ d'intégration, on aura séparément 

H'==0, JN'^rrO, ..., P^^rO, 

Nous aurons donc, pour déterminer y, z et les fonctions 
auxiliaires X,, ..., \p^ les équations différentielles simulta- 
nées 

M' = o, N'--.:o, ...; P' = o, 

Les constantes d'intégration et les limites ^o? ^\ se dédui- 
ront de la condition PL = o. Celle-ci se décompose d'ailleurs 
en autant d'équations distinctes qu'il reste de variations in- 
dépendantes parmi celles qui figurent dans H', lorsqu'on a 



CALCUL DES VAIUATIONS. [\']0 

tenu compte des équations aux limites 



J4'-:o, 


d^\ 
dœ-^-"' ■ 


pour œ —-. Xq et ^--^,; 


(■3) ( 

1 x~^". 


à - °' • 


. , » ^ " ^0 et ^ - :: x^ ; 
» 



qui sont des conséquences des équations ^ == o, y= o, les- 
quelles ont lieu identiquement pour toute valeur de x» 

La série de ces équations aux limites devra d'ailleurs être 
arrêtée au moment où apparaîtraient, dans les dérivées suc- 
cessives de t|;, y, . . . , des dérivées de y, z, . . .\ u, . . . d'ordre 
supérieur à celles que contient H'. 

On obtiendra donc la solution du problème proposé en 
égalant identiquement à zéro la variation de l'expression 



/ 



(if-t-\,ii + X^X + ...)dx 



sxo^^-<|)---;x.H-v|(|)_ 



Les équations ainsi obtenues, jointes aux équations 



et à celles-ci : 






déterminent toutes les inconnues du problème, y compris les 
multiplicateurs X, p., v. 



4;^ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

361. 3*^ Les quantités inconnues X, ^, • . ., ^oi ^\ sont 
assujetties à varier de telle sorte qu'une intégrale définie 






^(•^)7^y^ -••;-,-',.• ■)dx, 



prise entre les mêmes limites que I, conserve une valeur 
constante c. 

Ce cas se ramène immédiatement auK précédents. Prenons, 
en effet, comme inconnue auxiliaire, la quantité 



M — : 1 tj; dx. 



Cette équation, qui définit w, équivaut évidemment aux 
deux suivantes : 

W'zrzt^, 11==. O pour œ^r-OCQ. 

D'ailleurs, pour ^ -— ^, , j^ devient égal à c; on doit donc avoir 
11=. c pour Xzrz oCy^. 

D'après le numéro précédent, nous aurons donc à annuler 
identiquement la variation de l'expression 

/^■^\ 
I ['f H-^(^ — "')] dx -^ [x^Wo-h p-i(Wi— c) 

Xq 

/■^ V d\ \ 

io -hX<]; -\- j- u\ dx-\- ([J.o4- Xo)wo-r- (f^i — ^>i) ("i— ^)» 

Ao et Xj étant les valeurs de \ aux deux limites .ro et ^< . 

Les termes qui, dans la variation de cette expression, dé- 
pendent de ùiL^ Smq, oi^i, seront 

r^^ d\ 

j — ùudx H- ((Jt-o-H ^o) SwoH- (jJ-i— Xi) OM,. 
On aura donc les équations 

— — o, |j.o -1- Xo — o, |Xj — Xi == ; 



CALCUL DES VARIATIONS. Zj77 

donc "k est une constante, et la quantité dont on doit annuler 
la variation se réduit à 



r 



(cp -H X'I) dur. 



Les équations qui expriment que cette variation est nulle 
détermineront les inconnues ^o? ^o y-) -, • • • en fonction de 
la constante inconnue X. Ces valeurs, substituées dans l'inté- 
grale K, en feront une fonction de "k, telle que fÇk) ; il ne 
restera plus qu'à résoudre l'équation 

f{l) = c. 

On peut retrouver ce même résultat par les considérations 
suivantes. 

La variation de l'intégrale I doit s'annuler pour tous les 
systèmes de variations 5y, 8^, . . ., qui annulent la variation 
de K. 

Gela posé, soient S'^o? S'^i , B'y, ù' z^ ...; o^^o, o"x^, S'^y, 
ù" z, . . . deux systèmes quelconques de variations de Xo, x^^ 
Yj z, . - .; et soient 8^1, ô'K; o"ï, ^"K les variations qui en 
résultent respectivement pour les intégrales I, K. Donnons 
à Xq, Xi, y^ z, ... 'de nouvelles variations égales à 

8"KS'y— o'K8"j, ^ni.^'z — ^'K^"z, .... 
La variation correspondante de K sera 

8"KS'K-S'Ka"K = o. 

Celle de 1, qui est égale à o"K 8'I — 8'K8''I, devra s'annuler 
également. On en déduit 

Le rapport des variations de I et de K sera donc constant 
pour tout système de variations de y, z, .... Soit — 1 la 



478 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

valeur de ce rapport. La variation de l'intégrale 






dx 



sera identiquement nulle. Cette condition déterminera ^o? 
x^^y^ z^ ... en fonction de \^ qu'on obtiendra, comme tout 
à l'heure, par l'équation R -.= c. 

On voit que, dans les divers cas que nous venons d'exa- 
miner, la solution du problème revient toujours dans sa partie 
essentielle à annuler la variation d'une intégrale où toutes les 
variations sont supposées indépendantes. 

362. Nous allons éclaircir ces théories générales par quel- 
ques exemples. 

Cherchons quelles conditions doivent être remplies pour 
que l'expression 

soit la dérivée exacte d'une fonction ^ de x^ y, y', . . . , JK"*~' 5 

On a identiquement, par hypothèse, 

d^ 

On aura donc, quelles que soient les variations 8^05 ^-^i? 

O --zr 8 r Tç> - "^ I dx :r : H - - [8-j;]J; -f- T ' (M Sj 4- N oz) dx, 

H, M, N ayant la même signification que précédemment. 
On aura, par suite, 



( o -.:: M 



do d d'^ d^ do 

()y dx dy' dx^ ôy" 



{^-^ ~ ôz' dx âz' ~^' dx'- dz" 



CALCUL DES VARIATIONS. 479 

les séries du second membre étant prolongées jusqu'au 
point où elles s'arrêtent d'elles-mêmes. 

363. Ces deux conditions, dont nous venons d'établir la 
nécessité, sont en même temps suffisantes. Cette proposition 
est évidente si m = o, /z = o ; car les deux conditions se ré- 

duisant dans ce cas a ~ = o, -r-^ == o, cp sera une lonction 

dy oz ^ * 

de X seul, que l'on peut intégrer. 

Nous allons montrer d'ailleurs que ces conditions seront 
suffisantes pour des valeurs quelconques de m et de ii si elles 
le sont pour m — i, n. 

Nous remarquerons tout d'abord que le développement 
des divers termes de M ne fournit que des dérivées àe y et 

de z d'ordre inférieur respectivement à im et n -f- m, sauf 

d'il ^,^ 

le dernier terme ( — i)'"-, ;;-^ dont le déNcloppemenl 

^ dx'"- dy'"' ^^ 

contient les deux termes 

d-o â^o 



Ces termes ne pouvant se réduire avec aucun autre, M ne 
pourra s'annuler identiquemen! que si l'on a 

{dy"')' ~^' dy'"âz" ~^' 
ce qui montre que f est nécessairement de la forme 

cp=:Pj--hQ, 

P ne contenant plus y'" ni z", et Q ne contenant plusj^'"- 
Posons 

ym-\ seul étant traité comme variable dans cette intégra- 



48o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

tion; U sera une fonction de x, y, ... , y"^^* î -S? • " i ^''"S 
dont la dérivée partielle par rapport à yf^~* sera P, et l'on 
aura, par suite, 



r/U 
clx 


- dx 


d\5 , 

-Tyy 




= Pj-- 


hR, 



Pi ne contenant plus j^' 
Si donc on pose 



djc 



-^-?i> 



la fonction cp, -- Q — R ne contiendra plus y^^K D'ailleurs 
elle satisfera évidemment aux équations (i4); ^^^^ 9 Y satis- 
fait par hypothèse, et -y- étant une dérivée exacte y satisfait 

aussi nécessairement. Donc, le théorème étant supposé vrai 
pour m — i, /?, cp, est une dérivée exacte, et il en sera de 
même pour es. 

364. Proposons-nous, comme seconde application, la 
transformation des équations de la Dynamique. 

Considérons un svstème de n points /?i, ..., pa^ de 
masses m^.^ . . ., m„, et dont les coordonnées ^'< , jr» , ^n • • • ? 
•^'«j y II, ^-11 soient liées par r équations de condition 

(i5) ?i---o, ..., 'f,.~o. 

Soient X<, Yi, Zi ; ...; X„, Y,;, Z/^ les composantes des 

forces qui sollicitent ces divers points, et admettons, ce qui 

a lieu dans des cas très étendus, que ces composantes soient 

, ., . , . „ dV> d\} d\} à\} ^U ^U 

les dérivées partielles - — > -r — > -— -; •••" -:, — ? -^^^ — ? -3 — 

^ dx^ dfi dzi' ôxn dyn àz„ 

d'une même fonction U des coordonnées x, y, z et du 

temps t. D'après les principes généraux de la Mécanique, 

on obtiendra les équations du mouvement en joignant aux 



CALCUL DES VARIATIONS. 

relations (i 5) les suivantes : 

rriiO^i -4- Al V 1-----H A,. ^; — ■ — o, 



4SI 






\ d\] „ . do, , , d^r 



,...,«). 



>H, ..., V étant des inconnues auxiliaires représentant les 
tensions qui existent dans le système. 

Représentons, pour abréger, par T la demi-force vive 






et considérons l'intégrale 






(Uh-T)^^ 



Les équations (i5) et (i6) sont précisément celles qui ex- 
priment que la variation de cette intégrale est nulle lorsque 
l'on suppose que les limites t^ et t^ restent constantes, ainsi 
que les valeurs initiales et finales des diverses coordonnées 
Xi^yt, Zi, et que d'ailleurs ces coordonnées restent assujetties, 
dans le cours de leur variation, aux équations de condi- 
tion (i5). 

Gela posé, les relations (i5) permettent d'exprimer les 3/i 
coordonnées x, y, z en fonction de 3^ — /' d'entre elles ou, 
plus généralement, en fonction de 3^ — r nouvelles variables 
entièrement indépendantes q^^ q.^^ .... Substituons ces va- 
leurs dans l'intégrale. On aura 



dxj 
àqi 



dX; 



-'''+3^,?^ 



et, par suite, T se transformera en une fonction de ^i, 
^2j ..• etde leurs dérivées q\, q\^ ..., homogène et du second 
J. — Cours, III. 3i 



482 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

degré par rapport à ces dernières quantités; quanta U, il 
deviendra une fonction de g^, (72? • • •• 

Les nouvelles variables q^, q^-, • • • ne sont plus assujetties 
à aucune équation de condition; leurs variations sont donc 
arbitraires dans tout le champ d'intégration; elles doivent 
seulement s'annuler aux limites. Pour que la variation de 
rintégrale 

s'annule, il est donc nécessaire et suffisant que l'on ait 

dqt dt dqi \ y y J 

Ce sont les équations transformées que nous voulions ob- 
tenir. On peut d'ailleurs les remplacer par un système cano- 
nique en prenant pour inconnues auxiliaires les quantités 

-3-7- C'est un cas particulier de la proposition plus générale 

démontrée au n" 3a7. 

36r^. Brachistochrone. — Proposons-nous de déterminer 
le chemin que doit suivre sous l'action de la gravité un point 
animé de la vitesse initiale Vq pour se rendre d'un point 
^oJKo^o à un autre point x^y^ z^ dans le temps le plus court 
possible. 

Prenons z pour variable indépendante. La différentielle de 
l'arc de la courbe cherchée sera y i -h x'^-\-y''^ ; la vitesse v, 
à un instant quelconque, sera y/'V^ — "^S^^' — -^o)» enfin la 
durée du trajet sera donnée par l'intégrale 



-r?=/ 






CALCUL DES VARIATIONS. 483 

C'est cette expression qu'il s'agit de rendre minimum. 
On a 



œ'- -H y^ 



2 o" ( ^ ^0 ) J 






dz 



= II 4- r ' [M S^ H- N 8j] dz, 
en posant, pour abréger, 

p^ -4_ ^'(8.x, _^ ^' Sg) +/(Sy -4-y 8^)1 1 






dz ^i^^r'^-^y"^^vl-2g{z-z,) 



N^-^ 



Les deux équations différentielles de la courbe cherchée 
M rzr o, N z= c 

donnent immédiatement 

ce' 



y 

sJ,^jo'^^y^sJvl-2g{z-z,) '' 

et, par suite, 

y' z=. — x'y y =z —a; -{- d. 

c -^ c 

c, c<, Co étant des constantes. 

On voit ainsi que la courbe cherchée est située dans un 
plan vertical. Pour mieux reconnaître sa nature, choisissons 



484 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

ce plan pour plan des xz\ on aura, dans ce cas, y = o, et 
l'équation différentielle de la courbe se réduira à 



V/i -H ^'2 sjvl~ig{z-z,) 
d'où 



— c. 



en posant, pour abréger, 



(^■", I v\ 



^,2 

'O ~i — ^> :> — -^0 — ^^— ^« 

1g igc' 1g 



Posons 



a — b a ^ b 

(17) z ■= ces t ; 



il viendra 



dx a-\-b . , a-{- b . 

—r- == sm;.^'= SI 

at 1 1 



\ — cos? 

n ^ i / 

V H-cos^ 



, , . „ , a ^ b ^ 

^^ {a-\~ b) ^ixv' \tr^ ^[i — cos^], 



d'où 



(18) X — [^ — sin^] + A-, 

k étant une constante. 

Les équations (17) et (18) peuvent s'écrire 

I- CL-^ b . . 

z -\- br= (l — COS^), 

, a-\- b , . . 

X — A" = ( t — sin t ) 



et représentent une cycloïde dont la droite directrice est diri- 
gée suivant l'axe des x. 

Si les points Xq, y^, z^; ^,, y^, z^ sont supposés fixes, 
Sj^o, SjKoj S-^oj 0-^4 j SjKm 0^1 seront nuls, de sorte que H s'éva- 
vanouira de lui-même. Mais les quatre constantes introduites 



CALCUL DES VARIATIONS. 4^^ 

par l'intégration des équations M -- o, N = o se détermine- 
ront en exprimant que la courbe passe par les deux points 
donnés. 

Supposons, au contraire, que, le point (^o^JKoj^o) étant fixe, 
la position du point (^^,y^, z^) ne soit pas donnée d'avance, 
mais qu'il soit seulement assujetti à se trouver sur une surface 

On aura encore 8^0 = ^JKo == ^^o = o ; quant à ^x^, SjKi , 
^Zi, ils seront liés par l'équation de condition 

Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quan- 
tité H, qui se réduit à 

Bz^ + .x\ ( g^,, H- ^; s^i ) + 7i ( oyi + y\ ^^1 ) ^ 

devra s'annuler; on aura donc les équations de condition 

fl^\ f^\ fÊÏ\ 

qui, jointes à ^ = et aux équations qui expriment que la 
courbe passe par cCq, y^^ Zq et par x^^ y^, z^^ détermineront 
les constantes d'intégration et les coordonnées finales x^^ 

Les équations (19) expriment évidemment que la tangente 
à la courbe cherchée au point [x^^y^^ z^) est normale à la 
surface ^ = o. 

Supposons encore que, (^o? J^oj ^0) étant fixe, (^i, jK< 5 Z\) 
soit assujetti à se trouver sur la courbe 

t]> =: o, X = o. 



486 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

Les variations 8xi , 8y^ , 8^, seront liées par les deux équa- 



tions 



^'l'j/^^^'^^'^^^'^'^V^y ' (^/i-^7i^-i)=o, 



et toutes les (bis que ces conditions seront remplies, l'expres- 
r.ion devra s'annuler, ce qui donne l'équation de condition 









(à-i 


i 


x\ 



dy 
dx), \dyji 



o, 



qui, jointe aux équations <]> =r o, y =: o et à celles qui expri- 
ment que (^07^01 ^o) et (J7^,y^, z^) sont sur la courbe, dé- 
terminera encore toutes les inconnues du problème. Cette 
équation exprime que la courbe cherchée est normale à la 
courbe ^ =^ o, y =: o. 

Le cas où (^o? JKo? ^o) serait lui-même variable se traiterait 
de la même manière. 

366. Ligne de longueur minimum entre deux points. 
— Soient Xoj JKo? ^o et x^^ y^, Zi les deux extrémités de la 
ligne cherchée. Nous supposerons, pour plus de symétrie, 
les coordonnées x^ y, z exprimées en fonction d'un para- 
mètre t. On pourra évidemment passer de la ligne cherchée 
à toute autre ligne infiniment voisine en faisant varier l'ex- 
pression de x^ y^ z en fonction de ^, sans altérer les valeurs 
initiale et finale ^o et t^ de ce paramètre. Nous aurons donc 
à annuler la variation de l'intégrale 



1=/ ds—\ sJx'-' + y'^-^z'-' 



dty 

oix les limites ^o> ^i restent fixes. 



CALCUL DES VARIATIONS. 4^7 

On a 

où 

Les équations M = o, N=:o, P = o donneront, par l'in- 
tégration, 

const., ..., 



— — : const. 

y/^'2_^y2_^y2 


Sjx'^^ y'-'-^-z'-' 


d'où 




^' = const., 


y — const., z'-'Ci 


et enfin 




(20) x--=zat-\- ^^ 


y = bt-\-^, zzzzct 



const., 



équations d'une droite. 

Si les points Xq^ ya, Zq; x^, yt, z^ sont donnés, la condi- 
tion de passer par ces deux points achèvera de déterminer 
la droite; il restera encore deux constantes indéterminées 
dans les équations (20); mais cela doit être, car on peut 
changer dans ces équations t en mt-+-n^ m et n étant deux 
arbitraires, sans altérer leur forme et sans qu'elles cessent de 
représenter la même droite. 

Supposons que, le point {xo,yo, Zq) étant fixe, (x^,y^, Zi) 
soit inconnu, mais assujetti à se trouver sur la surface 

^{x,y,z)^o. 

On aura, entre les variations ^x^, SjKi, 854, la relation 



488 TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE IV. 

et, SOUS celte condition, l'expression 



]I 



\/<'+yi'+-i 



^'2 



doit s'annuler, ce qui donne, pour achever de déterminer la 
droite et les coordonnées ^i, y^, ^i, les deux équations 

d^ d^ à^ 

dx^ djx dzi 

lesquelles expriment que la droite est normale à la surface (J;. 
Si {Xi, jKi, Zi) était sur une courbe 

^r:zO, X==0' 

on trouverait de même Féquation de condition 

j d^i dyi âzi 

I /^X ix _^ =o. 
1 d^j (^/i ^^1 

i x\ y\ z\ 

qui exprime que la droite rencontre la courbe donnée norma- 
lement. 

367. Lignes géodésiques. — Supposons que la ligne de 
longueur minimum à mener entre les points {xq^ y^, Zq) et 
(^1,^1? ^0' ^^ 1^^^^ d'être située d'une manière quelconque 
dans l'espace, soit assujettie à être tracée sur une surface 
donnée 

Nous avons à rendre minimum l'intégrale / dsy x, y, z 

étant astreints à la condition ^=:o. Il faudra, pour cela, cher- 
cher le minimum de l'intégrale 



X'. 

^0 



X^) dt. 



UJNlVJiJjRSXXir ) 



CALCUL DES VARIATIONS. 4^9 



On aura 



.K=.H.jr"[(M-.>,g)a..(N..|)a,,.-(p..g)a.].. 

H, M, N, P ayant les mêmes valeurs que dans le problème 
précédent. Les écjuations différentielles à joindre à l'équation 
<!^ = o pour déterminer la courbe cherchée et l'inconnue auxi- 
liaire X seront donc les suivantes : 



d x' 


d y 




dt y/^/2_^^/2_^^/2 

dx 


ày 


.=:-X 



(21) 



Or V-? V- ' -T^ sont proportionnels aux cosinus direc- 
ôx ay az ^ ^ 

leurs de la normale à la surface ^; mais, d'autre part, 

d x' . . 
— , . . . sont respectivement proportionnels 

"^ \Jx''^-\-y''^-^- z'^ 

aux cosinus directeurs de la normale principale à la courbe 
cherchée (t. I, n^ 483). Les équations (21) expriment donc 
cette propriété géométrique de la courbe cherchée, que sa 
normale principale se confond avec la normale à la surface 
sur laquelle elle est tracée. 

Les lignes définies par cette propriété se nomment lignes 
géodésiques. 

368. Il est généralement avantageux, dans l'étude des li- 
gnes géodésiques, de représenter la surface considérée non 
plus par une équation entre x^ jk, z, mais par un système de 
trois équations, donnant œ, y, z en fonction de deux para- 
mètres u^v. On aura, dans ce cas, pour ds^ une expression de 
la forree 

ds — v/M da'^-\- 2 N du dv^V dv'^ . 

Une ligne tracée sur la surface sera définie en joignant aux 




^gO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

équations de la surface une nouvelle relation donnant u en 
fonction de p. 

Si l'on fait varier la fonction u sans changer les extrémités 
Uq^ Poî ^n ^i de cette ligne, on aura, pour la variation de 
l'arc, l'expression 

~ dii^-^ 1 -~- du dv -\- ^- dv"- \la 4- 2 (M du -h N dv\ dlu 
ou au ou J 

2 ds 

Intégrant par parties le terme en d^ii et égalant à zéro ce 
qui restera sous l'intégrale, on obtiendra l'équation différen- 
tielle des lignes géodésiques sous la forme 

, ^ dM.^ d^ . . ^P,, , ,Udu-\-^dv 

( 22 ) -;-- du^ -i- 2 -r— du dv -h -^^ dv^ :::=-- 1 ds d , • 

ou ou ou as 

Cette équation du second ordre peut être remplacée par un 
système de deux équations simultanées du premier ordre 
entre u^ v et l'angle 9 formé par la tangente à la ligne géo- 
désique en chacun de ses points avec la tangente à celle des 
lignes V = const. qui passe par ce même point. 

A cet effet, considérons le triangle infiniment petit formé 
parles points A, B, G, dont les coordonnées sont respective- 
ment w, V] u^ v^dv\ u-\-du^ v-\-dv\ on aura sensiblement 

AGB=:6, ABC -u — to; 

w désignant l'angle des deux lignes u ^l v qui se croisent au 
point A. 

On aura, par suite, en appliquant les formules connues de 
la Trigonométrie, 

ds'^ — M du"^ -\- P dv'^ 4- 2 v/MP du dv ces w, 

d'où 

N . v/MP — N2 

ces CD r= —=z= , Sin 0) r=r ■ ; 

v/MP \/MP 



CALCUL DES VARIATIONS. 49' 

puis _ 

ds __\/)c^d{>^ 
sino) sinô ^ 

d'où 

et enfin, en projetant le triangle sur BG, 

,— , /- , M du 4- N <i(^ 
(24) <^5cos6 = v/M rti^ -H V/P "^ cosw =z — 

La division membre à membre des deux dernières formules 

donnera 

Mdu-{-^dv 
(20) cot6 



V/MP — iN-2^(^ 

Il ne reste plus qu'à transformer l'équation (22). On aura 

, , M du + N ûfç' 

idsd 7 ■ 

ds 

z=z 2 ds d\/Mcos^ 

-r— du + -^- dç =;, 2 i/M ds sin 6 d<î^ 

du dv /y/M 

Remplaçons dscos^ et <:/5sinQ par leurs valeurs, substituons 
dans (22) et réduisons ; il viendra 

/ cm ^ ^P, dU , 

\ i-r— du -! — — - dç :—- du 

\ au ou o^ 

Les équations (25) et (26) sont les deux équations diffé- 
rentielles cherchées. 

- 369. Lorsque les lignes u et (^ sont orthogonales, on a 
N = o, et les formules (23) à (26) prennent la forme plus 



492 


TROISIÈME PARTIE. 


— CHAPITRE IV, 


simple 


/ ds sinO = 


:v/P^^^ 


(27) 


dscos^ — 
cote = 


-sjMdu, 

/M du 
\/ ¥ d/' 



(28) ^^dv — ^du-^iJmvd^-^-o. 

^ ^ du d<^ 

370. Appliquons ces formules à l'ellipsoïde 

^2 ^2 £ _ 

A "^ B "^ G -'' 

en prenant pour lignes m et (^ le système de ses lignes de 
courbure. 

Nous avons trouvé (t. I, n° 538) la valeur du carré ds"^ de 
l'élément de longueur dans l'espace rapporté à un système de 
coordonnées elliptiques X<, À2, X3. En chaque point de l'el- 
lipsoïde considéré, on aura X, =0; les coordonnées de ces 
points ne dépendront donc plus que des deux paramètres >.2 
et I3, que nous désignerons par u et v. On sait d'ailleurs (t. I, 
n° 540) que les courbes w = const., (^ = const. seront les 
lignes de courbure de l'ellipsoïde. 

Posant donc 7^ = o, \2^=u, \ = v dans les valeurs de x^, 
y'^^ z^^ ds^y il viendra 



1/2 - 




-B)(A-G)' 

+ «)(B + (') 


-.2 


- (B 


-A)(B-C)' 
+ «) (C + c) 


I 


-^(C 


-A)(C- 
u{u — ç) 


-B)' 


4( 

I 


A + «; 


ç{i^ — u) 


C-]-u) 



ds^. ^ ^ ., . ^-^ -^:x___ du- 

^ dçK 

4 {A-^v){B^i')){G-hi>) 



CALCUL DES VARIATIONS, 493 

On aura donc ici 

I u{u — v) 





^'- — 4 (A + «)(B-h?0(G-f-w)' 






N =0, 






p __ I v{v — u) 






4 (A+r)(B + r) (C 4- (0 




et, par suite, 






âP 


I V 


P 


du ~ 


4 (A.-+-ç^)(B + ç^)(G + ^) " 


(^— ^i 


dU 


M 




dv ~ 


u — V 





Substituant ces valeurs dans l'équation (28), il viendra 

M ^« + P rtV + 2 ( w — (^) v/MP ^/O — o 

ou, en remplaçant M et P par leurs valeurs tirées des équa- 
tions (27), 

cos^6 dç + sin-0 du-h i{u — c^) sinOcosO <iO = o. 

Cette équation s'intègre immédiatement et donne 

(29) w sin^ 6 + (^ cos^ ô =zr c, 

c désignant une constante. 
L'équation (2g) peut s'écrire 

{u — c) sin-6 -h ((^ — c) cos-Ô z=i o 

ou, en remplaçant sinO et cosO par leurs valeurs, 

{u--c)P dv"- + ( (^ — c)M du"- = o. 

Substituant enfin, pour M et P, leurs valeurs et séparant 
les variables, on aura l'équation 



v/ 



/ i^ 


(A-t-(^)(B-f-ç^) (G + ^)(ç^- 


-0) 


/ 



dv 



\J /A , ..N.r> , ■■^ .0 , ..x/.. TT ^^". 



(A4-«)(B + w) {0-\-u){u—c) 
dont l'intégration se ramène aux quadratures. 



494 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV, 

L'arc de la courbe s'obtient également par des quadra- 
tures. On a, en effet, 






)- 



u{u — vY '^"^ 



(A H- iO (B -r- w) (G + iO ( " — c) 



usJudiL vsjvdv 



371 . Les lignes géodésiques de l'ellipsoïde jouissent de pro- 
priétés remarquables, qu'on peut déduire de Téqualion (29). 

Remarquons tout d'abord qu'en tous les points d'une ligne 
de courbure u = const. on a 

6=11-7 d'où i^ sin-0 -1- p 008^6 =:?< = const. 

2 

Le long d'une ligne du second système v -^ const., on aura 
6 = et i^ sin^6 -t- (^cos^6 1= c^m const. 

Les lignes de courbure satisfont donc à l'équation (29) des 
lignes géodésiques. 

Cherchons les points où la ligne géodésique 

u siii^ -1- (^ ces- 6 m c 

est tangente à une ligne de courbure. 
On aura, au point de contact, 

errzo ou Ozzii- 

2 
et, par suite, 

W =: C ou Vzrz: C. 

Chaque ligne géodésique est donc tangente à deux lignes 
de courbure, une de chaque système, et l'on voit qu'à deux 
lignes géodésiques tangentes à une même ligne de courbure 



CALCUL DES VARIATIONS. 49^ 

u^^c correspond la même valeur c de la constante d'inté- 
gration. 

Il en est de même pour le système des lignes géodésiques 
qui passent par les ombilics. 

On a, en effet, pour les quatre ombilics réels (t. I, n°525), 

La condition r^ r= o donne 

(B-t-t0(BM-^)"O; 

donc u o\x V est égal à — B. Soit, par exemple, w = — B; on 
aura 

•'' "^A- G' 

donc V sera aussi égal à — B. 

Pour une ligne géodésique qui passe par un ombilic, on 
aura donc, en substituant ces valeurs dans l'équation (2g), 

— Br:=C, 

ce qui détermine la valeur de la constante c. 

Considérons une ligne de courbure quelconque m= const. 
Soit (l^, v) un point quelconque de cette ligne; joignons-le à 
deux ombilics O et O' par des lignes géodésiques L, U, elles 
auront pour équation différentielle 

u cos^O -H V sin-6 ■=:. — B, 

MC0S26'+ (^sin^O'rrr— B. 

En retranchant ces deux équations l'une de l'autre, il 

viendra 

= «^(cos^O — cos^G') 4- (^(sin^O — sin^e') 

= (r— w) (sin^Ô — sin^ô'). 

Donc sin^ô = sin^G', et les lignes L, U auront pour bis- 
sectrices les lignes de courbure du point m, ^>. 

Soit [u, v^) un point de la ligne de courbure considérée 



496 TR0ISIÈ3IE PARTIE. — CHAPITRE IV. 

situé à une distance infiniment petite ds du point (z/, v) pri- 
mitivement choisi. Joignons-le à O, O' par de nouvelles 
lignes géodésiques Lj, L'^ . 

Projetons Li et Télénient ds sur L ; on aura évidemment 

L = proj . Li -I- proj . ds. 

Or chacun des éléments de L,, ne faisant qu'un angle in- 
finiment petit avec sa projection, lui est égal en négligeant 
le produit de sa longueur par une quantité du second 
ordre ; on aura donc, au second ordre près, 





proj.Li^irLi. 


D'ailleurs 






proj. ds z=z ds sin^ ] 


donc 






L:=Li4- ds sinO. 


On a de même 






L'zr-L; + t/5sinO'. 


Mais on a 





sinO :==; zh sinô', 

égalité où l'on doit évidemment prendre le signe -h ou le 
gjgne — suivant que les ombilics O et O' sont situés de côtés 
différents de la ligne u ou du même côté. Dans le premier cas 
on aura 

JL — JL - — JLj — J-jj , 

et, dans le second, 

lh-l'=Li-+-l;. 

Ces égalités étant démontrées, au second ordre près, 
lorsque le point [u, v^) est infiniment voisin du point [u, (^), 
on en conclut par le raisonnement connu (t. I, n^ 462) qu'elles 
sont vraies en toute rigueur, quelle que soit la position du 
point (a, ^4) sur la ligne de courbure u. 

On voit ainsi que les ombilics jouissent, par rapport aux 
lignes de courbure, de propriétés toutes semblables à celles 
des foyers des sections coniques. 



CALCUL DES VARIATIONS. 497 

372. Problème des isopérimètres. — Proposons-nous de 
déterminer, parmi toutes les courbes de longueur 2 l ayant 
leurs extrémités en deux points A et B, celle pour laquelle 
l'aire comprise entre la corde AB et la courbe est maximum. 

Prenons pour axe des x la droite AB, pour origine le mi- 
lieu de cette droite : soit ia la longueur de celle-ci. Nous 
aurons à rendre maximum l'intégrale 

/ y dx^ 

J—a 

sachant que l'intégrale 

pli /^a 

/ ds r-zz / v/l-i-y2 ^^ 

a pour valeur 2 /. 

D'après la méthode générale, nous aurons à poser 

/« 

{y~\~l\/i-\-f')dx 
-a 

cl ly 



< 



^y dx. 



L'équation différentielle de la courbe cherchée sera donc 



d'où 



dx y/i ^yli 

ly' 



o; 



v/1 + 7" 



= X 



sJ\^—{x~cY 

y - c'=:~ sJW-i^x-^Y, 

équation d'un cercle de rayon \. 

Il reste à déterminer les constantes c, c^ \. 
Pour y = o, on aura ^ = ±: a; donc c = o, c^^-— \2 — ^! 
J. — Cours, m. 32 



figS TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

Il ne reste plus qu'à faire en sorte que la longueur de l'arc 
soit 2 /. 

Or, en désignant par a {Jig. 1 1) Fangle que le rayon GA 




du cercle cherclié fait avec l'axe OY, on aura 
l^zXo!., a=:Xsina. 

Éliminant a, on aura, pour déterminer )., l'équation 
transcendante 

a=zK sin -• 

L'angle a étant d'ailleurs compris entre o et tt, il faudra 
prendre pour 'k celle des racines de cette équation qui est 

En supposante infiniment petit, le problème se transforme 
en celui-ci : 

Déterminer parmi les courbes fermées de périmètre 2I 
celle qui enferme une aire maximum. 

Dans ce cas, l'équation en \ deviendra 



sin Y =0 

A 



et aura pour racine 1 = - • La solution du problème sera 
donc un cercle ayant le périmètre donné. 



CALCUL DKS VARIATIONS. • 499 

IL — Variation seconde. 
373. L'étude des variations de l'intégrale 

où (p est une fonction de x^ des variables dépendantes y^, 
^2, • • • et de leurs dérivées successives, ces variables pou- 
vant d'ailleurs être liées entre elles par un système d'équa- 
tions différentielles 

se ramène immédiatement au cas où cp, ^^^ ... ne contien- 
nent, avec les fonctions inconnues, que leurs dérivées pre- 
mières. 

Supposons, en effet;, que jKo par exemple, figure dans ces 
expressions avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre n. 
Nous pourrons introduire comme inconnues auxiliaires les 
dérivées j^'^ , ...,y"~^, pourvu qu'on joigne au système des 
équations ^^ 



r=0, ^2 = 0, . 


. . celles-ci : 




^yy - y' 

dx -y'' 


dx 





y'I étant d'ailleurs la dérivée première de y^~\ on voit que 
la fonction cp et les équations de condition ne contiendront 
plus que les fonctions inconnues et leurs dérivées premières. 
Supposons donc que nous ayons m fonctions inconnues 
y^^ ...^y„i) que ces fonctions, leurs dérivées premières et 
la variable indépendante x figurent seules dans l'intégrale 



f. 



cp dx 



et dans les équations de condition 

^i — o, ..., ^p=o. 



500 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

Désignons par p le nombre de ces dernières équations. 
Admettons enfin, pour plus de simplicité, que les limites x^^ 
Xk de l'intégrale et les valeurs correspondantes des fonc- 
tions^ soient des quantités fixes données. Gela posé, cher- 
chons à rendre l'intécrrale maximum ou minimum. 



374. Nous déterminerons les fonctions inconnues, comme 
on l'a vu plus haut, en annulant la variation première de 
l'intégrale 

(cp 4-Xi^l-h. . .-HX^4^p)<i^=::i / Vdx, 

ce qui fournit les équations différentielles suivantes 

d¥ d dV 

(i) -— -— =10 (f^i, 2, . . .,m) 

àji dx dyt 

que nous combinerons avec les équations de condition 
(2) -^.=z^i—o (/ = i, 2, ...,/?). 

L'intégration de ce système donnera en général les in- 
connues jK et )^ en fonction de ^ et de 2/72 constantes arbi- 
traires. 

En effet, remplaçons les équations ^i=:^o par leurs dé- 
rivées -p- = o. Le nouveau système obtenu 
dx -^ 

dyi dx dy'i ' dx 

contient les dérivées de j^,, ...^y^ jusqu'au second ordre, 
celles de X,, ..., \p jusqu'au premier ordre. Il sera donc 
d'ordre im-\- p et fournira les inconnues y et X en fonction 
de x et de im-\-p constantes arbitraires. Ces valeurs, 
substituées dans les expressions ^/, les réduiront à des con- 
stantes ( puisqu'elles annulent identiquement -^ \ • En écri- 
vant que ces constantes sont nulles, on obtiendra des équa- 



CALCUL DES VARIATIONS. 5oi 

lions de condition qui déterminent ;? constantes d'intégration 
en fonction des autres. 

Les im constantes qui restent seront déterminées à leur 
tour par la condition que y^^ . . ., ym prennent pour chacune 
des deux limites Xq et x^ les valeurs qui leur sont assignées. 

Le problème d'annuler la variation première de l'inté- 
grale est donc en général possible et déterminé. 

On doit toutefois remarquer que l'ordre du système (3), 
et, par suite, celui du système primitif, s'abaisseraient si Ton 
pouvait éliminer les dérivées y\^ . . ., y"„^^ '}^^ , . . ., X^ entre 
les équations (3). Or, ces dérivées y entrent linéairement, et 
le déterminant de leurs coefficients n'est autre chose que le 

jacobien J des fonctions -^—^ ^i par rapport aux quantités jk^ 

et X. Si donc ce jacobien était identiquement nul, il serait en 
général impossible d'annuler la variation première de l'inté- 
grale, car les constantes d'intégration seraient en moindre 
nombre que les équations aux limites auxquelles elles 
doivent satisfaire. 

375. Nous admettrons donc que J n'est pas nul. Il est 

aisé, dans ce cas, de ramener le système (i), (2) à un sys- 
tème canonique. (Ce résultat est une généralisation de celui 
du n* 357. ) 

Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les quantités 



W.^^' 



dF 

Les équations 

(4) ;)V'=^^" '^^~-='^ 

permettront d'exprimer les quantités y\ \ en fonction des 
variables jK, p- 

Posons, d'autre part. 



H=j_/,y;-F. 



TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 



On aura 



dH =y^^ [- l^rfr, + (p,- g) dy[ +y,dp, - ^,d\ij. 

Mais les termes en dj''-^ d\i disparaissent en vertu des 
équations (4)- On aura donc, en supposant qu'on exprime 
H au moyen des variables jk et/>, 

m __ ^ m_, 

D'ailleurs, les équations (i) peuvent s'écrire 

On aura donc, pour déterminer les variables y, p, les équa- 
tions canoniques 

... ■ , ,m , dB. 

376. Ces équations étant supposées intégrées, on sait (260) 
que leur intégrale générale pourra se mettre sous la forme 

(6) dvi^^'' 'd^i'^^' {1^1,2, ..., m), 

V étant une fonction des variables x, yt et de m constantes 
d'intégration a, , . . . , aL,n et les quantités [^i , . . . , ^m étant les 
autres constantes d'intégration. 

La résolution des équations précédentes donnera les va- 
leurs des y, p en fonction de x et des constantes a, [5. Les 
équations (4) donneront ensuite les quantités y' ^ \] enfin 
les conditions aux limites détermineront les valeurs des con- 
stantes a, j3. 

377. Mais, pour être assuré de l'existence effective d'un 
maximum ou d'un minimum, il est nécessaire d'étudier la 
variation seconde S^L Si celle-ci ne peut s'annuler pour au- 
cun système de valeurs admissible des variations 8/, elle con- 



CALCUL DES VARIATIONS. 5o3 

servera toujours le même signe, et il y aura minimum ou 
maximum, suivant qu'elle sera positive ou négative. Si, au 
contraire, elle peut s'annuler, il n'y aura en général ni maxi- 
mum, ni minimum, la variation troisième changeant de signe 
avec les variations Sy; il ne pourrait y avoir incertitude que 
dans le cas exceptionnel où elle s'annulerait en même temps 
que la variation seconde. 

Laissant de côté ce cas singulier, nous sommes amenés à 
rechercher si 8^1 est ou non susceptible de s'annuler. 

378. Posons, pour abréger, 

d^F d^F , d^F 



àytàyu âftâf, '"' Oy-df 



Les quantités a/A-, b/k, c/^, d^^ eu seront des fonctions con- 
nues de x; nous les supposerons continues, ainsi que leurs 
dérivées partielles, entre Xq et Xi ; cette hypothèse est évi- 
demment nécessaire pour qu'on puisse appliquer la série 
de Taylor au développement des accroissements des fonc- 
tions F, ^i. 

Posons encore, pour simplifier l'écriture, 

ces quantités seront assujetties aux relations 

(7) 0=:^r-\(dilZi-r■CilZ'i) {1 = 1, ...,p). 

On aura_, d'autre part, 

82 F _ \ \ [■ ^ .^ ^ . ;3^ _|_ 2 bikZi Z\ + Ciu z\ z\ ] 

et 

2 ]Xi l^i ) dx, 



i~ r *82F^^~ r Ys^F+y : 



Oo4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

les multiplicateurs [jl/ étant des fonctions quelconques de x, 
finies entre Xq et X\ . 
L'expression 



2Û:^--82F + 



y 2 ]Xi l^i 



étant homogène et du second degré par rapport aux quantités 



5, z' ^ \K, on aura 



Substituant cette valeur dans l'expression de S-I et remar- 
quant que les équations de condition (7) ne sont autres que 
les suivantes 

(e) — o, 

il viendra 

Intégrant par parties les seconds termes et remarquant que Zi 
s'annule aux deux limites Xq et x^, il viendra 

On pourra donc annuler S^I si l'on peut déterminer les 
quantités ^, |a, de manière à satisfaire aux équations 

. ^ ÔQ d dQ 

^9) ^ -r- i— = o, 

ozi dx ÔZi 

ainsi qu'aux équations de condition (8), en assignant aux Zt 



CALCUL DES VARIATIONS. 



5o5 



des valeurs qui ne soient pas constamment nulles entre ^'o 
et ^4, mais qui s'annulent aux. deux limites. 

379. Les relations (8) et (9) constituent un système d'é- 
quations différentielles entre les variables z, p. tout à fait 
analogue au système (i), (2). Il sera également d'ordre 2m, 
pourvu que le jacobien J< des expressions 

do^ do. 

par rapport aux quantités z\^ [a/ ne soit pas identiquement 
nul. Or, d'après l'expression de 0, on voit que les éléments 
de ce déterminant ne sont autre chose que ceux de J, où l'on 
a substitué, pour les quantités y^ leurs valeurs en fonction 
de X. Nous admettrons que, même après cette substitution, 
le déterminant ne s'annule pas identiquement et que, en par- 
ticulier, il n'est pas nul pour x =^ X\. 

Prenons alors pour inconnues auxiliaires les quantités 

(10) "/==;p- 

Les équations (8) et (10) permettront d'exprimer les quan- 
tités z' et [JL en fonction linéaire des quantités z et a. Ces 
valeurs, substituées dans l'expression 



Yi,r^r^SuiZ\~Q, 



la transformeront en une fonction homogène et du second 
degré des quantités z, u] et l'on aura, pour déterminer ces 
quantités, les équations canoniques * 

dont les seconds membres sont linéaires et homogènes par 
rapport aux inconnues z, u. 



5o6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

380. Les équations différentielles linéaires 



(.2) 


da 
OR 






~2,. i^ii^i -^enz'i], 


(i3) 




- Ui 




= > [à/d zu -\- Cui z,^ 4- > en [x/ — m, 

Luk Lai 


(i4) 




d dQ 
dx dz'i 


~ /^ {aïkZk-^ hikZj, ■+- du [x/] — u'i, 



auxquelles nous venons d'arriver, sont intimement liées aux 
équations 

dV àV 

dont l'intégration nous a fourni les valeurs des quantités y^ \ 
en fonction de x et des constantes a^ , . . . , a;^^ ; ^i , . . . , ^j^- 
En effet, substituons ces valeurs dans ces dernières équa- 
tions ; elles se réduiront à des identités, quelles que soient 
les constantes a et p. On pourra donc les différentier par 
rapport à l'une quelconque c de ces constantes. Effectuant 
cette différentiation et posant 

àyt _ , ày'i _ ^, dpi _ dli __ 

1^ - ^^■' 'de -^ "'■' ^ " ""'' ^ - ^'' 

on obtiendra précisément les équations (12), (i3), (i4)- 

Prenant successivement pour c chacune des 2 m constantes 
a, p, nous aurons donc 2. m solutions particulières de ces 
équations. On en déduit, en désignant par A/i elB/^ des con- 
stantes arbitraires, la solution plus générale 

(.5) ,,^y (A,Êp.^B,^ 

(16) "^'"'X 

(18) fX,^_^^^ 



A àpi , dpi 

d^k à^k 

dh d\r 

^'d^^-^^'Wl 



CALCUL DES VARIATIONS. Soj 

Les équations (ii), qui se déduisent de la combinaison des 
équations (12) à (i4), admettront donc comme solution les 
valeurs de zt, ut données par les formules (i5) et (16). 

381. Nous admettrons : 1° que les diverses dérivées par- 

. 1, dyt dfi dli . r. ^ j 1 

tielles -^; — ? -^V ? •••? -ttt-^ qui lio^urent dans les expressions 

précédentes, restent continues entre Xq et Xi ; 2° que les se- 
conds membres des équations (i5) ne peuvent devenir à la 
fois identiquement nuls, de quelque manière qu'on choisisse 
les constantes A, B, à moins qu'elles ne soient toutes nulles 

Cette dernière hypothèse entraîne manifestement comme 
conséquence que les 2m solutions particulières obtenues 
pour les équations (11) sont linéairement indépendantes. La 
solution générale des équations (11) sera donc donnée par les 
formules (i5) et (16), et celle des équations (12), (i3), (i4) 
par les formules (i5) à (18). 

Nos 2 m solutions particulières étant indépendantes, le dé- 
terminant 

! àfi dfi dy, dy, 



D 



d^. 


dy-ni 


à?, 


à'^,n 


dym 






dym 


àpi 


dpx 

dy-m 


dp. 


àpi 


dpm 


dp,n 


dpm 


dpm 



ne pourra être identiquement nul. 

Ce déterminant peut d'ailleurs se mettre sous la forme d'un 
produit de deux autres déterminants. En effet, les équations 



intégrales 



(où V ne contient ni les p ni les p), différentiées par rap- 



5o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

port aux constantes a^t et [5;;, donnent 
dpi V ^-V dyn 



dit 



i "^2 






d'Y 



hàfidfh â^k 



Substituant ces valeurs dans D et retranchant des m der- 
nières lignes du déterminant les m premières, multipliées 
par des facteurs convenables, il viendra 



Dzz 



d'Y 
en posant 











d'Y 





dym 



-O'^D.D, 



d'Y 



dym d:L, 



D.rr: 



i d}\ 
I dh 

dym 

dh 



dy\ 
dym 

d^m 



d'Y 



D. 



dvi d'^ 



d'Y 
dym dcci 



dvi doL, 

d^Y 
dym d:^ 



A.ucun des deux déterminants Di , D2 ne peut donc être 
identiquement nul. 

382. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer 
les conditions nécessaires et suffisantes pour que 8*1 ne puisse 
s'annuler. 

On voit tout d'abord que 8^1 sera susceptible de s'annuler 
si l'on peut déterminer les rapports des constantes A;^, B^, de 
telle sorte que les valeurs des zi fournies par les équations (i 5) 



CALCUL DKS VARIATIONS. SoQ 

s'annulent toutes à la fois pour deux valeurs distinctes Çq, ^i 
de la variable x^ comprises entre Xq et x^. 

En effet, posons S/^ = £^/ entre ?o et 5,, et S/^ ^^ o dans 
le reste de l'intervalle XqX^. 

Les variations ainsi définies ne sont pas identiquement 
nulles dans tout l'intervalle entre Xq et x^ ; elles satisfont 
aux équations de condition (12); enfin entre Eq et ^4, seule 
partie de l'intervalle où elles ne soient pas nulles, elles sa- 
tisfont aux équations (i3) et (i4)i équivalentes aux équa- 
tions (9); elles annulent donc tous les éléments de l'inté- 
grale 8^1. 

Pour que les rapports des constantes A;^, B^ puissent être 
déterminés comme il est indiqué ci-dessus, il faut et il 
suffît que le déterminant 



M^cli) 






(dyjn\ 






ày>n \ 

àfA 



dy,. 
dcc. 



àrni \ 
à?i A. 



an 

dv 



d.Vm\ 



fdy,n\ 



soit égal à zéro. 

Donc, pour que 8^1 ne puisse s'annuler, il faut tout 
d'abord qu'on ait 

A(^o,Çi)?o 

de quelque manière qu'on choisisse ?o et J^ entre Xq et X|. 
Posant en particulier ?o==«^o? on devra avoir 

(19) à{xo,x)lo 

pour toute valeur de ^ >> X(, et ^ ^^ . 



383. Pour déterminer les autres conditions qui, jointes 



OIO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

à (19), sont nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un 
maximum ou d'un minimum, il nous faut transformer l'ex- 
pression de 8^1 de manière à faciliter la discussion de son 
signe. Cette transformation repose sur deux propriétés de 
nos équations différentielles, que nous allons établir : 

1° Les équations différentielles qui déterminent les quan- 
tités jKj P ont pour intégrale générale les équations 

Prenons la différentielle totale des équations de droite en 
traitant x comme une constante; il viendra 

^^yi^ -^ A — r~ "^^ = ^i^'- 



Substituons cette valeur de d'^i dans l'expression de la 
différentielle totale de dyk 



^--KÈ^^-t*) 



elle deviendra 



^^*=I,- £ ''="-+S,S. {Sy-n "''-^ M ''^ 






et, comme les équations (20) n'établissent entre les y et 
les a aucune relation indépendante des quantités p et [3, les 
coefficients de chaque différentielle devront être égaux dans 
les deux membres. On aura donc, en particulier, en égalant 
à zéro le coefficient de dy.i (après avoir permuté dans la 
somme double les indices de sommation h et t ), 

Substituons la valeur de -~- tirée de cette formule dans 

OH 
l'expression 

V ^ ^^• 



CALCUL DU§ VARIATIONS. 5X1 

elle deviendra 



2 Y ^^V ày,' dy. 



et ne changera pas si l'on permute k et A'; car cela revient 
évidemment à permuter les deux indices de sommation i 
et 11. Nous obtenons donc cette première relation 



(21) 



Zui\d'M dh doit dh) 



384. 2° Les quantités y, p satisfont (375) aux équations 
canoniques 

Prenons la dérivée de ces équations par rapport à l'une 

quelconque c des constantes a, p. Il viendra, en désignant, 

1 . art àpi 

pour abréger, -^ par 3„ ^ par «,, 



("^--I 



k -t- -^i , U/c 



k\dyidyk dytdpk [ 

Ces équations linéaires, admettant les 2 m solutions parti- 
culières 

fdy^ dpj\ , fdyt^ dp A 

auront pour intégrale générale les expressions (i5) et (16), 
de sorte que le système (22) ne sera qu'une autre forme du 
système (i i). 

Le système (22) a pour adjoint le suivant : 

Luk\àpidpk dykdpi 



5l2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ÏV. 

qui n'en diffère que par le changement de 5, w en — U, Z. 
Si donc 

Ï52= ( . . . , -S^/2? • • • > ^^«2) • • • ) 

sont deux solutions particulières quelconques des équa- 
tions (22), 

(. . . , Un, . . . ^ -Sii, . . .) 

sera une solution du système adjoint; et, d'après les pro- 
priétés connues de ce système (115), l'expression 



(S1S2) ==N (f^n-/2— ^/i«î2) 



sera une constante. 

385. On a évidemment, d'après la définition précédente 
du symbole (S, S2), la relation 

En outre, si 

O2 "- ( • . ■ , -2/2 5 • ' ' 1 ^^i2y ' ' • ): 
b,}!^ ( . . -, Z12, . . . , W/3, - . .)> 



sont des solutions particulières, l'expression 

= {..,, m^ ^,-2 -H ^3 -3/3 H- ... , . . . , 7?Z2 Ui2 + /^3 i^J3 "f" •. • • , • • • ) 

sera encore une solution, et l'on aura 

(Si, ^2824- m3S3 + . . .) V- m2(SiS2) -^ m3(SiS3) -j- 

386. Toutes les solutions de nos équations s'expriment 



CALCUL DES VARIATIONS. 5t3 

linéairement en fonction des im solutions particulières 



s,^.^ 


dyi 


dpi 




s„=(-- 




dpi 

• -7 -, 1 • 


..). 


T,=(.. 


ày> 

'àfr • 


dp, 


\ 


T ■■(.. 




dpi 


..). 



Proposons-nous de déterminer les valeurs des constantes 
particulières 

(S;,S/,), (T;,S;,), (T.-T;,). 

Il faudra, pour cela, chercher la valeur de l'expression 



àpi âyt dyt dp, 



de de' 



de de' 



c et c' désignant deux quelconques des constantes a, [3. 
A cet effet, recourons encore aux équations intégrales 



dj 

dyt 



=^Pi 



£=^ 



En dérivant les premières par rapport à c, il viendra 

d-y , y d^y dyk _ dpj 

dyt de ^ Zjk dyt dyk de ~ de 

On aura, par suite, 

Zuidc de' Zuidc'dyide ' 2ui2ukdyidyk de de'' 

La somme double ne change pas si l'on permute c et c', 
car cela équivaut à permuter les indices de sommation i 
i. — Cours, III. 33 



àfi ^'Y_ __ il àY __ â^y 
de "' de' de de de' 



5l4 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE IV. 

et k. On aura donc 

V f^Pj ^ll __ ^li ^Pi\ -rrV (^^J ^^ - -•^'' ^^^~ V 

2ji\de de' de de' ) ' Zii\de' dyide de dytde' ) 
On a d'ailleurs 

Sdj^ d^ 
ide' dfi 

en désignant par j-, -c- la dérivée complète de ^ par rap- 
port à c'j en tenant compte de ce que les/ sont des fonctions 
des constantes c. On a de même 

S dfi d^y^ _ il ^ __ ^iX_ 
i de dfi de' " de de' de de' 

et, par suite, 

V' fdpi dy^dj^ dpi\ _ _^ ^Y __ ^ ^. 



\de de' de de' J de' de de de' 

Gela posé, V ne contenant pas explicitement les constantes p, 
on aura, si c — ^/c et c' = ^a, 

dV dY 

de de' 

d'où 

(T^T;,)=.o. 

Si c := ajt et c' ■- -- a^, on aura, en vertu des équations (20), 
àY __dY 

d'où 

^ (^V d 

de de dv-h 
On a de même 

et, par suite, 

(SytS/,)=rO. 



CALCUL DES VATIIATIONS. 5l5 

Enfin, si c = ^k et c' :^ cf.h, on aura 



dY dY 

~dc " ""' de' '' 
d'où 


-P., 


d dY d dY d 

de de' de' de " d^k ^^ " 


l o si h> k, 
( I si hz=zk. 


Nous trouvons donc 





(Si-S„) :-:0, (T,,T„)==0, 

( I SI hs-zk. 
387. Considérons maintenant deux solutions quelconques 

On aura, d'après les formules précédentes, 

— \ (B/,pA/,<y— A^pB^-cr). 

Assignons aux coefficients Ay^p, B^p; A^^y, B^jy les valeurs 
particulières 

».,=(t), ".^^m^ 

où ? désigne une constante quelconque; il viendra 

<-' <«.«.'=L[(fe).(Ê)r(S).(Sî).]=- 

car le second membre de cette expression, se déduisant de 
celui de l'équation (21) quand on y change i, X*, k' en k, a-, p 



5il3 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE IV. 

et qu'on attribue à ^ la valeur particulière i, est identique- 
ment nu). 

En posant successivement p = i, 2, 
drons un système de m solutions 

Kj rz: ( . . . , îJjj, . . . , Ui\, 



m, nous obtien- 



tel que l'on ait généralement 

(RpR^):^0. 

388. Calculons, d'autre part, la valeur du déterminant G, 
formé avec les quantités 



Pour l'obtenir, formons le produit du déterminant 



A(^,r 



I à^, 

I 

! (dy,n\ 



par le déterminant 






dcL, 



àym 



(àym\ (àyrn\ 



àyt 
àym 

(dy^\ 



D,-- 



dy^ 

ày,n 







ày. 




3?. 


an 






d?,n 




àïm 


.... 


— 


<??■ 


àym 







à^m 








àyx 

dym 
o 



àyx 
âcti 

àym 



dyx 
d<x.m 

dym 



CALCUL DES YABIATIONS. 

Il viendra, en tenant compte des équations (21) et (24), 



517 



D,A{.x,^) = 



— z, 



à.n 


d.n 


d.Ym 


àrm 


'àyA 




ày,n\ 





D,G, 



et, comme Di n'est pas nul, on en déduira 

Nous admettrons provisoirement qu'on ait pu déterminer la 
constante ?, de telle sorte que l'on ait 

dans tout l'intervalle de jTo à ^,. 

Les quantités z^p^ . . -, Zmp] Uip, • - •, Ump, associées aux 
valeurs correspondantes lk^p, . . ., |i.^p des quantités [i., fourni- 
ront pour chacune des valeurs p = i, . . . , m un système de 
solutions des équations (12) à (i4)» 

389. Posons maintenant 

(25) Z'ip =\ y/ciZkp, 

(26) Uip=\ ^kiZjcpy 

(27) f^/p~y ^klZkp- 

Les quantités y/f/, 8^/, M/^;, déterminées par ces équations 
linéaires, seront des fonctions de x^ finies et continues entre 
Xq et x^ en vertu de nos hypothèses, puisque le déterminant G 
des quantités Zkp ne s'annule pas dans cet intervalle. 



5l8 TROISIÈME PARTIE. -- CHAPITRE IV. 

Eq difierenliant les équations (26'), on trouvera 

"Ip — y ( Kci^kç, -î- ^ki^'kp ) 

ou, en remplaçant les z' par leurs valeurs déduites de (aS). 

(28) u'ipz=z\ h'^.^\ S/,,- Y/-/, j ^^p. 

Substituons, d'autre part, les valeurs des quantités iiip, Ui^ 
déduites des équations (26) dans les équations 

elles deviendront 

LAiLUk 

OU, en permutant les deux indices de sommation dans le 
second terme, 



y y (ô/.' 



/ / ... ô,-^-)-/r?-/(7 — o, (p — I, . . ., m; a = i, . . ., m). 

ÂmÀiLjk 

Le déterminant des quantités zi^ n'étant pas nul, ces équa- 
tions entraînent les suivantes 



y (5a;/— 5,7,)^^-prr:0 (p = 



., m), 



et le déterminant des z^^ n'étant pas nul, on en déduira 

^ki = ^ik- 

Les équations (12), (i3), (i4) sont d'ailleurs satisfaites par 
les valeurs 

Faisons cette substitution, remplaçons les quantités ?', w, 



CALCUL DES VARIATIONS. Ôig 

[JL, u! par leurs valeurs (26) à (28) et changeons, lorsque 
cela est nécessaire, la dénomination des indices de somma- 
tion; il viendra 

o = \ ( aa -H \ ^//i T/cA + \ ^^// M/,/ — 1',^ — \ §/„• yaa j -ytp- 

Ces équations ayant lieu pour p :^^^^ i, . . . , m, et le déter- 
minant des quantités Zj^^ n'étant pas nul, on aura pour 

(29) oz^dki-V-S enriku, 

(30) — hki-'r-\ C/.ra-A-nN eti^ki— ^kh 

(3i) o~a/A-+-\ ^/ATA:/i-+-/^ ^^//^1/t/— S;,.,.--\ Of.i^f,^. 

On peut déduire de ces équations les valeurs des quan- 
tités a, 6, (i en fonction des c, e, y, 0, M. Elles donnent en 
effet 

(32) <^/,;--— \ ehi^kji, 
puis 

OU, en permutant t et A" et remarquant que ^hi'-^ ^ikf 

(33) bik--.B/ci — \ Chkyi/i — \ek/Mif. 

Les valeurs précédentes des 6, <i étant substituées dans 



520 TROISIÈME l'ARTIE. — CHAPITRE IV, 

l'ëqualion (3i), elle donnera 

(34) / — ^^Ta-a(oa. — \ C/,v,Y,7i'— y e/,/M, 

Substituons les valeurs ci-dessus des quantités a, 6, d 
dans l'expression de la variation seconde 

^' ^ ~ / Aji ^A- ^ ^'^' ^^' ^-^'^ ~^~ ^ ^'^ ^•^' ^-^^ ~^~ ^''' ^^'' ^^''' ^ ^^ 

et dans les équations de condition 

(35) 0:=^-^lr=\{dilùyi-\~ euoy'i) (/rrzl, 



p). 



qui existent entre les variations. 
Si nous posons, pour abréger, 



(36) 



r'i~^vuh> 



(37) y.y 5,vjj,-sj^r-^p, 

(38) ^^^'^^'^y^ ="*'' 

on trouvera aisément que les équations (35) deviennent 
(39) \eitVi—o 

et que S'^I prend la forme suivante : 

Le dernier terme de cette expression disparaît en vertu 



CALCUL DES VARIATIONS. 521 

des relations (39). D'autre part, 



r 



rfp . /v Y 



<^-''""HZ,A/"^^"-^H,^''' 



car les variations oyi, Sjka s'annulent aux limites. On aura 
donc plus simplement 



390. Les conditions (35) ne sont pas les seules auxquelles 
soient assujetties les variations Sy/. Il faut, en outre : i°que 
ces variations soient infiniment petites, ainsi que leurs dé- 
rivées, entre Xq et ^< ; 2" qu'elles s'annulent à ces deux 
limites, sans s'annuler identiquement dans tout l'inter- 
valle XoXi. 

Il résulte de là que les quantités ç>i doivent être infiniment 
petites, mais qu'on ne peut les supposer identiquement 
nulles entre Xq et a:^. En effet, si tous les (^ étaient nuls, les 
équations (36) donneraient 



(4o) ^/^• — \ ^{ài 



^yh'-^ 



En vertu des relations (aa), ces équations seraient satis- 
faites en posant 

p ayant l'une quelconque des valeurs i , . . . ^ m. 

Par hypothèse, le déterminant des quantités Zip non seule- 
ment n'est pas identiquement nul, mais ne s'annule en aucun 
point de l'intervalle Xq x^ . Les équations linéaires (4o ) auront 
donc pour intégrale générale 



«/'■=S 



— > Cp^/p, 



les G étant des constantes arbitraires. 

Les hyi devant d'ailleurs s'annuler pour x = Xq et le 



TJNIVERSITY 



522 TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE IV. 

déterminant des zt^ n'étant pas nul en ce point, les con- 
stantes Cp devront être toutes nulles^ mais alors les 8// se- 
raient nuls identiquement. 

391. Cela posé, si la fonction 

conserve constamment le même signe pour tous les systèmes 
de valeurs des fonctions Vt qui ne sont pas identiquement 
nulles et qui satisfont aux relations (39), l'intégrale 



i 



cp dx 



jouira de la même propriété. Il en sera de même, à plus forte 
raison, si Ton se borne à assigner aux arbitraires Vi les sys- 
tèmes de valeurs auxquels correspondent des valeurs admis- 
sibles des ^yi. Il y aura donc maximum ou minimum. 

La fonction cd pourrait d'ailleurs s'annuler pour certaines 
valeurs particulières de x sans que ce résultat fût troublé. 

Cette condition suffisante est en même temps nécessaire. 
En effet, s'il existait un système de fonctions çi satisfaisant 
aux équations (Sq) et tel que la fonction o fût positive dans 
une partie de l'intervalle ^z^o^i et négative dans l'autre, nous 
allons voir qu'on pourrait rendre 8^1 positif ou négatif à vo- 
lonté dans cet intervalle. 

Soient, en effet^ Xi , . . . , ^2n+i des fonctions quelconques 
de X, linéairement indépendantes^ et finies entre Xq et Xi ; 
c, . . ., C'2/i+i des paramètres infiniment petits. Posons 
Cl, . . ., C2u-i^i des constantes infiniment petites. Posons 

le multiplicateur K étant égal à zéro dans la partie de l'inter- 
valle où cp est négatif et égal à 

dans la partie où il est positif. Les fonctions V/ satisferont 



CALCUL DES VARIATIONS. 523 

encore aux équations (^c)), et l'expression 

nulle dans la première portion de Fintervalle, sera positive 
dans la seconde. L'intégrale 



£> 



dx 



sera donc positive. 

Les valeurs correspondantes des S/^- sont les intégrales des 
équations linéaires 

(40 ô// — y Ta/ o/a -— V,-. 

Pour les obtenir, intégrons d'abord les équations sans se- 
cond membre; il viendra, comme tout à l'heure, 



(42) 



ly, ==^ Cp.,p. 



Prenant les Cp pour nouvelles variables, d'après la méthode 
de la variation des constantes, on obtiendra les équations 
transformées 

^p ÔX "^ 

Les ^/p étant continus entre x^ et x^ et leur déterminant 
ne s'annulant pas, on pourra résoudre cette équation parrap- 

dx 



port aux dérivées -v-?. Le résultat obtenu sera de la forme 



ÔX 



:2^.E,pV,, 



les E/p étant des fonctions finies. 



Ces équations admettent la solution particulière 



JL-t 



524 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

qui est infiniment petite, les V, étant infiniment petits. Les 
valeurs correspondantes des Sy^ seront elles-mêmes infini- 
ment petites. Il est clair d'ailleurs qu'elles seront linéaires 
et homogènes par rapport aux constantes c,, . - ., C2m+i, et 
l'on pourra déterminer les rapports de ces constantes de ma- 
nière à faire en sorte que les oyi s'annulent pour Xq et jc,. 
Enfin les 8// ainsi déterminés ne s'annulent pas identique- 
ment; car les équations (40' ^^ ^^^ V/ne sont pas identique- 
ment nuls, ne pourraient être satisfaites. 

Nous obtenons donc un système de variations 8/^ satisfai- 
sant à toutes les conditions requises, et pour lequel 8^1 est 
positif. On déterminerait de même un second système de 
variations pour lequel 8^1 serait négatif. 

392. Nous avons donc réduit la question proposée à cher- 
cher les conditions pour que la fonction 



'-^'1.1'f "■■'''■ 



<'4 



conserve constamment le même signe pour toutes les valeurs 
de p qui satisfont aux relations 



(43) 2_.e,. 



l^'i-'-O. 



Comme d'ailleurs le signe de cp ne dépend que des rapports 
des quantités ç, on peut, sans restreindre la généralité du 
problème, supposer les (^ assujettis à satisfaire en outre à la 
condition 



(44) 



1" 



Pour résoudre la question ainsi posée, cherchons les 
maxima et minima de cp pour les valeurs de ç qui satisfont 
aux équations (40 ^^ (44)- Dans ce but, nous égalerons à 
zéro les dérivées partielles de la fonction 



^-M/'''~S/'E/"'''- 



CALCUL DES VARIATIONS. 

Nous obtiendrons les équations suivantes 



525 



(45) 



\ Cik C/t — P ^/ — \ et^ 



qui, jointes aux relations (/j^)? détermineront les rapports 
des quantités v et p^; quant à p, il sera déterminé par la con- 
dition que le déterminant 






I 

i ^ip 

soit nul. 

D'ailleurs les équations (45), respectivement multipliées 
par (^4, . . . , t'TO et ajoutées ensemble, donneront 

ou, en vertu des équations (43) et (44)? 



Les maxima et minima cherchés sont donc les racines de 
l'équation I -- o. 

Pour que cp reste constamment non positif (ou constamment 
non négatif) entre Xq et Xt, et cela pour tout système de va- 
leurs des ç, il est évidemment nécessaire et suffisant que ces 
racines restent toutes non positives (ou toutes non négatives) 
dans cet intervalle. 

D'ailleurS;, si cette condition est remplie, on n'a pas à 
craindre que cp soit identiquement nul entre Xq et Xi ; car il 
faudrait pour cela que l'équation en p eût une racine nulle 
pour toute valeur de x entre Xq eix^, ce qui est impossible; 
carie terme constant de l'équation en p se confond, au signe 



526 TROISIÈME PARTIE. ~ CHAPITRE IV. 

près, avec le déterminant J< qui, par hypothèse, n'est pas 
identiquement nul. 

Nous obtenons ainsi les conditions suivantes pour l'exis- 
tence d'un maximum (ou d'un minimum) : 

Dans toute V étendue de V intervalle x^x^ le déterminant 
A(^0) •^) doit être ^o {sauf pour x^= Xq), et les racines 
de V équation I =^ o doivent être non positives {ou non né- 
gatives). 

393. Nous avons toutefois admis, pour arriver à ce ré- 
sultat, qu'on pouvait déterminer une constante ^, telle que 
l'on eût 

(4(3) A(^, ^jjo de .■Tq à ^1. 

Il nous reste à nous assurer que cette condition est impli- 
citement contenue dans les précédentes. 

La condition A(^o> •^) <opour ^ ^> ^o<'^4 donne, en par- 
ticulier, pour X — - x^ , 

A(^05 ^\) 5^. 

Les éléments du déterminant A et les coefficients de I étant 
par hypothèse des fonctions continues, on pourra déterminer 
des quantités So? ^\ assez petites pour qu'on ait encore 

tant que ^oi \\ seront respectivement compris entre ^o et 
^0 + ^0 et entre x^ et x<^ -]- z^. On aura donc 

(47) A(^o,^)<o, 

tant que x sera compris entre X(^~\- £o et X\ -^ £4. 

D'autre part, les racines de l'équation I =:: o conservent un 
signe constant dans Tintervalle de .Tq à ^4 ; d'ailleurs, !< n'é- 
tant pas nul pour ^ = ^j, aucune d'elles ne sera nulle pour 
cette valeur de x\ et, comme elles varient infiniment peu 
entre x,^ et^, -|- z^ , elles conserveront encore leur signe dans 
ce nouvel intervalle. 



CALCUL DES VARIATIONS. 527 

De cette propriété et de l'équation (47), on déduit que 8^1 
ne peut s'annuler dans l'intervalle de ^o-i-^o à .r^-f-e^. 
Donc, d'après le n'' 382, 

A ( .27, ^1 -f- El ) J o pour ^r ^ .27o 4- £0 ■< ■^^i H- £j . 

D'ailleurs cette expression est également ^ o si ^ est compris 
entre Xq et Xq-^ cq. On satisfera donc à la condition (46) en 

prenant ^ = .^i -4- Gi . 

394. Nous ferons remarquer, en terminant, que nous 
avons admis dans toute cette étude, non seulement que les 
variations 8// des fonctions inconnues sont infiniment pe- 
tites, mais que leurs dérivées 87^ le sont également. Si l'on 
voulait supprimer cette dernière restriction, les conditions 
trouvées ci-dessus pour l'existence d'un maximum ou d'un 
minimum, tout en restant nécessaires, pourraient cesser d'être 
suffisantes. 

III. — Variation des intégrales multiples. 

39o. Les notions fondamentales du calcul des variations 
peuvent s'étendre sans difficulté aux fonctions qui renfer- 
ment plusieurs variables indépendantes. 

Considérons, par exemple, une fonction 

?(<^> /> ^; ", ^, . . . , «apy, t^a^y, • • • ) 

des variables indépendantes :r, r, ^, des fonctions u, v de 
ces variables et de leurs dérivées partielles 



"apY ^ 3T^Trs";iZ^ ' ^^'Pï 



Si l'on y change 11^ v en z/H-£Z/, = « + 8w, v -\-zv^z=zv-\-^v^ 
o se changera en une nouvelle fonction ^(^, jr, ^, e), qui, 
développée suivant les puissances de £, prendra la forme 

cp -4- A'^ rz: çp 4- ocp -1- l- 0- cp -h . . . . 



528 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV- 

On aura évidemment 

d'où, pour la valeur particulière £ = o, 

dx^ ' dx^ 



■j—. représentant la dérivée complète de cp par rapport à x^ en 

tenant compte de ce que w, v dépendent de cette variable. 
On trouvera de même 

dy' ^ dy' dz' ^ dz' 

La variation première 8cp, que nous considérerons spéciale- 
ment dans ce qui va suivre, aura évidemment la valeur sui- 
vante : 

cp --::: U Ùil -i- . . . -h Ua^y O'^apy 



j -^- V 8(^ -H . . . -i- Vapy S^'a[3y 

en posant, pour abréger, 



du ' ' ' dur^^y 

^'^ — V ^? 



396. Cherchons maintenant les variations de l'intégrale 
triple 

I -r V cp dx dydz, 

en admettant, pour plus de généralité, que, en même temps 
qu'on change u, v^ en u -+- Sw, v -h Si^, on fasse subir une alté- 
ration infiniment petite au champ de l'intégration. 

A chaque point ^, v;, Ç situé sur la limite de l'ancien champ 
d'intégration, on pourra faire correspondre un point infini- 



CALCUL DÏÏS VARIATIONS. 5^9 

ment voisin ^ + 8^, 7) -h 8tj, Ç + oÇ sur la limite du nouveau 
champ. Cela posé, changeons de variables indépendantes en 
posant 

x^=:x'-^ùx', y=zy'-^By, ^r=^'-l-8^', 

8^', oy\ 5s' étant des fonctions infiniment petites, assujetties 
à la condition de se réduire à 8^, St), oZ, lorsque x'= Ç, y' = 'ri, 
z'=^. L'intégrale altérée, exprimée au moyen de ces nou- 
velles variables, prendra la forme 



(2) 



l-^-M^r^Wjdx'dy'dz', 



le champ d'intégration étant redevenu le même que dans Tin- 
tégrale primitive I, J désignant le jacobien 



I + 



d o.x' 

doy' 
~d^ 
dlz' 

~d^ 



dl: 



dy' 
dW 

d'y 

d ùz' 



dy' 



-h 



dhœ' I 
~d^ ! 
d^y 
~d^'~ 
(Uz 
dz' 



enfin W étant ce que devient ^ lorsqu'on l'exprime au moyen 
des nouvelles variables x' ^ y' ^ z' . 

Le développement de cette expression, suivant les puis- 
sances de £, ne présente aucune difficulté ; nous l'arrêterons 
aux termes du premier ordre pour obtenir la variation pre- 
mière 5L Nous pourrons d'ailleurs, en le faisant, supprimer 
les accents dont sont affectées les nouvelles variables, aucune 
confusion n'étant à craindre, puisque les anciennes variables 
œ, y, z auront disparu. 

On a évidemment, avec ce degré d'approximation, 



dùx 
dx 



dy 



dh 
dz 



D'autre part 



* ^= cp H- Sep -h . . . 



Cours, III. 



53o TROISlfe:^IE PARTIE. — CHAPITRE IV. 

devient, en remplaçant x, y, z par x H- 8^, y -\- 87, ^ -h 8j3, 





W 


rrrcp-f- 


dx 




do - 

-p 8^ -h . , 
dz 


. . -f- Ôcp ■ 


4-. 


On 


aura 


donc 
















Wjrz: 


cp + 8cp 


<^co ^ do ^ 
dx dy ' 


S- 












-h — 1 

' dx 


d^y 










— 


: co + Ocp 


d ^ d ^ 

'^d-x^'^'-^d-y^'^ 





Remplaçant o-^ par sa valeur (i), substituant dans l'équa- 
tion (2) et égalant de part et d'autre les termes du premier 
ordre en e, il viendra 



U 8^^ H- . . . -h Uaj3y ^«a^y + ^^ 



ùv 



81 = Q ( d ^ d ^ d . \dxdydz. 

^\ -^dx'^^''-'-d-y^'^--dz^'' J 

397. Cette expression de ol, donnée par M. Ostrogradsky, 
peut être transformée par l'intégration par parties. 

On peut admettre, pour plus de simplicité, que la fonc- 
tion co soumise à l'intégration et les équations de condition 
qui peuvent exister, suivant la nature du problème, entre les 
variables indépendantes x, y^ ... et les fonctions inconnues 
u, ç^, . . . ne contiennent aucune dérivée partielle de ces der- 
nières fonctions d'ordre supérieur au premier; car le cas où 
figureraient des dérivées partielles d'ordre îïi se ramènerait à 
celui-là en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées 
partielles jusqu'à l'ordre m — i et ajoutant aux équations de 
condition les équations aux dérivées partielles du premier 
ordre qui définissent ces nouvelles inconnues. 

Supposons encore, pour abréger l'écriture, qu'il n'y ait 
plus que deux variables indépendantes x, y, et posons 
du du dv do ^^ do ^^ 

dx dy dx du dui 



CALCUL DES VARIATIONS. 



53l 



—^ = U27 .... On aura, d'après ce qui précède, 

ôl = ^ I d ^ cl ^ \dx dy. 



S/ U Sw + U, owi -+- U2 o«o H- V op + . 
( d ^ d ' 

dy 



_j — Q 0^ 4- -7— 9 8y 



Les termes U, 8m, , N ^ SV, , ... et -7- cp 5.r peuvent être inté- 
grés par parties par rapport à x^ et donneront 

d 



(3) 



Fo, F^ 



/ 



.-^Fo-f-F,~-F, 



dx 



cp Sjt ) dx 



■fi 






. désignant les valeurs de l'expression 

F =: U, OW H- Vi 0(^ 4- < . . + cp S^ 

aux points où la parallèle aux x le long de laquelle on intègre 
entre dans le champ et en ressort [/ig- 12). 

Fiff. 12. 




On a d'ailleurs, en désignant par NqX, N, X les angles que 
la normale extérieure à la courbe qui limite le champ fait en 
ces divers poinls avec l'axe des x positifs, et par <i^oi ds{, ... 
les arcs interceptés sur la courbe entre la droite jk et la paral- 
lèle infiniment voisine y -f- dy^ 



dy 



dso cosNoX -- dsi ces Ni X 



532 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

L'équation (3), intégrée par rapport à y, donnera donc 

si ( Ui ô«i 4- Vi S(^i -f- . . . -h -1- cp 0^ j da: dy 

— / (Ui o^^ -f-Vi S(^ + . . .4- cp 8^) cosNX6/.ç 

la première intégrale étant prise le long de la courbe limite, 
et la seconde dans tout le champ. 

On peut opérer de même sur les termes 

en les intégrant par rapport ky. On trouvera ainsi 

ol " Ç{K (J^< 4- B o(^ -f- . . . 4- D 0^ -h E 0/) ^5 

-t-Q(M ow 4- N 8p 4- . . .) J^ dy 

en posant, pour abréger, 

A = Ui CCS NX 4- Ua cosNY, 

Brr=iYi<osNX4-V2CosNY, 



D — cpcosNX, 
E =cpcosNY, 

cix dy 



dx dy 



398. Cherchons à quelles conditions on doit satisfaire pour 
que cette quantité s'annule pour tout s^'stème de valeurs de 
Zx^ 8jK, Zu) 8(^, . . . compatible avec les données du problème. 

i*' Si les limites du champ et les fonctions ?/, (^, . . . sont 



CALCUL DES VARIATIONS. 533 

entièrement arbitraires, on pourra assigner à ^x, Sjk, 5w, St», ... 
des valeurs absolument quelconques. Posant d'abord 

6 étant une quantité qui s'annule aux limites du champ, l'in- 
tégrale simple aura tous ses éléments nuls, de sorte que 81 se 
réduira à l'intégrale 



^%^ {M^-[-W -}-... )dxdf, 



qui ne peut s'annuler que si l'on a séparément 

M — O, N :=0, 

Ces équations aux dérivées partielles détermineront les 
fonctions inconnues ii, c, .... 

Les fonctions arbitraires introduites par cette intégration 
et les limites de l'intégration s'obtiendront en exprimant que 
l'intégrale simple à laquelle se réduit 81 s'annule également, 
quelles que soient les fonctions 8^, 8jk, 8m, ùv, .... En po- 
sant 



on voit qu'on devra avoir séparément 

A^r=:0, B =: O, ..., E =: O. 

•■2" Supposons que, sur la limite du champ (ou seulement 
sur une portion de cette limite), on ait une équation de con- 
dition 

ll(^, J, U, ç, ...ji-O. 

Cette relation devra subsister entre les nouvelles valeurs 
limites x -\- 8^, y + 8k, u + Aw, v + A(', D'ailleurs l'ac- 
croissement total Aw dû au changement de la fonction u en 
u H- 8m suivi du changement de ^, y en ^ -|- 8jc, y -f- 8jk est 
évidemment égal à 8m •+- u^ ^x -h U2 oy. De même 

Ap ==: Iv -1- Vi ^x -r- (^2 ^y^ • ' " 



534 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

On aura donc à la limite du champ entre les variations Sjc, 
oy, ^11, 8(^, ... la relation 



d^ 



8^ 



-r- -f- 0/ -t- -j- i^^f- -^■' "i ^^ ~''~ "2 ^y) 



dx ày du 

-\- -^ (oç -f- ('i ùx -!-- (-'o Sy) -+- ... Il- o. 

Les équations A= o, B r=^ o, . . . , E = o ne seront donc 
plus nécessaires le long de la portion de courbe considérée 
pour que l'intégrale simple s'annule, mais il suffira que Ton 
ait 

du ai' 



D r- X ( -^ -:- Wi -r-^ + (^1 



(?tl; â^ d'l> \ 

ôx du av 

\ étant une inconnue auxiliaire. 

On a donc une inconnue de plus, mais en même temps 
une équation de plus, à savoir tj; n= o. 

3° Supposons que x, y, u, ^^, ... soient liés par une 
équation aux dérivées partielles 



4.(^,7, a, Ui, U.2, V, V,, (-'5, ...) 



o. 



On aura, pour tous les systèmes de valeurs des variations 
qui laissent subsister cette équation, 

81 == V cp (i^ <ij — V (cp -f- )4) dx dy, 

"k étant une fonction arbitraire de forme invariable. 

La variation de cette dernière intégrale pourra se mettre 
sous la forme 

A A' 8^^ -f- B' 8(^ 4- . . . -f- D' 8^ 4- E' 8/ ) ds 

-+- ^ (M' 8w ^ N' S(^ H- . . . ) dx dy. 



CALCUL DES VARIATIONS. 535 

Déterminons l'auxiliaire X par l'équation M'rrt: o. L'inté- 
grale double se réduira à 



§(IN'8^4-...)rfxrfy. 



Il est clair d'ailleurs que 8(\ . . . pourront être choisis à 
volonté sans que l'équation 6 -~ o cesse d'avoir lieu. Donc 
on devra avoir N' =^7 o, . ... 

Reste l'intégrale simple, qui devra s'annuler tant que 
l'équation ^ =r^ o subsistera. Or les variables sont encore 
liées par cette équation à la limite du champ. Si cette équa- 
tion contient les dérivées partielles ?^,, i/o, ^n ^2? •••^ elle 
n'apprendra rien sur les variations 8x, 8y, ^z, 8«, de sorte 
qu'on devra avoir 

A'::.rO, ., . . , E' :r= O. 

Mais, si elle ne contient que x, y, u, i^^ . .., il suffira, 
d'après le cas précédemment examiné, de poser sur la courbe 
limite 

A'=.),'f^, B'-.-.yp^, .... 

da^ oy 

D'=rA' -1 H- «, --I hC, — ^ 

\ox au ou 

V étant une nouvelle inconnue auxiliaire. 

4" Supposons enfin que «, t^, ... et les limites soient 
astreints à varier de telle sorte qu'une intégrale donnée 

K = W di dx dy conserve une valeur constante c. On verra, 

comme au n" 361, qu'on doit avoir identiquement 

81 + l 8K --^ o, 

X désignant une constante. 

On aura donc à former les équations qui annulent la va- 
riation de l'intégrale double 



I ^- XK r:-: ^ (o -f- ÀJ;) dx dy, 



536 TROISI^.ME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

auxquelles on joindra la condition donnée K -- c, qui dé- 
terminera X. 



399. Nous allons aj3pliquer les considérations qui pré- 
cèdent à la solution du problème suivant, rencontré par 
Gauss dans la théorie de la capillarité : 

Déterminer la forme d' équilibre d'un liquide contenu 
dans un vase de forme donnée. 

Soient 

V le volume du fluide supposé donné; 
(7 l'aire de sa surface libre ; 
S celle de la paroi mouillée ; 

H la hauteur du centre de gravité du liquide au-dessus du 
plan horizontal des xy. 

On obtiendra la surface cherchée en rendant minimum 
l'expression 

a4-«S + èVH, 

où a et b sont des constantes. 
Soient 

z l'ordonnée de la surface libre; 

p^ q^ r, s, t ses dérivées partielles première et seconde; 

Z, P, Q Pordonnée de la paroi et ses dérivées partielles. 

On aura 

ff — V V^ i H- p- -t- q~ dx dy, 

2 z:=z C y/Tn^PM^Q^- dx dy, 

8-2 72 

Nous aurons donc à annuler la variation de l'intégrale 



CALCUL DES VARIATIONS. 53y 

double 

I ^ Q Ï^T^^''^^^ H- a v/ih^'P^TQ^ -i-~iz^~Z^)\dx dy 

= V cp dx dy 

avec les conditions : i° que l'intégrale V soit constante; 
2" qu'on ait aux limites du champ l'équation de condition 

Nous aurons à former la variation 



S( 



ou 



I 4- X V) r^ A A 8^ -f- D Ix + E 8/) ^5 4- Q M lu dx dy, 



A =::. ^ 0.09. NX -4- -^^ m^ NY 

\/i-^P^--{- q^ y ^ -^ p^" ,-\- g' 

D=--cpcosNX, E — cpcosNY, 



>z -\-\ 



d^ \/i-\- p' + q- ^y \j 1 4- /y- + </- 

{i-^ q^)r — 2pqs-^ {i-j- p'*')t 
{\-\-p'^q^Y 



L'équation aux dérivées partielles de la surface libre cher- 
chée sera donc 

M=:0. 

Cette équation est susceptible d'une interprétation géomé- 
trique remarquable. En effet, le dernier terme de M est égal 

à^-f-^?RetR, désignant les deux rayons de courbure 

principaux. On aura donc 

Passons à la considération de l'intégrale simple. On a, 
le long de la courbe limite, ^ ==: Z, ce qui réduit cp à ses 



538 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

deux premiers termes 

On déduit d'ailleurs de cette équation aux limites la rela- 
tion suivante : 

^z -^ p ^x -h q oy—V ^œ -{- Çl S/. 

Tirant de là la valeur de oz pour la substituer dans l'intégrale^ 
puis égalant à zéro les coefficients de ô^ et de 8y, il viendra 

( 77 cosNXh-<7 cosNY .^ . -,^ 

i (P — y:») 4- cpcosNXrrzo, 

) \/i-^p'-^q' 

^~''^ 1 «cosNX-i-^cosNY^^ , ,,^ 

1 i- — ^ (Q — ^) + ? cosNY — o. 

f \/ 1 -'r- p--' ^ q-' 



On a d'ailleurs évidemment, en désignant par x, r, z et 
X -t- dxj y -\~ <^J'y z -{- dz deux points infiniment voisins de 
la courbe limite, 

^^^ dy TVTAr dx 

COS]NX=::r ^f , COsNYr--- 

as as 



el 



et enfin 



dz rz^ p dx ^ q dy r=^V dx ~\~ Q dy ; 
{V-~p)dx-\-{(l~-q)dy^o . 

(P — /?) COsNY -r::: (Q — ^) COsNX. 



La première des équations (4) deviendra donc, en élimi- 
nant cosNY et supprimait le facteur cosNX, 



Si'i-^p-'-hq 



ou 



,_l_p^4_Q^ 



ou enfin 

COSZ + <2 = o, 



CALCUL DES VARIATIONS. 539 

i désignant l'angle des plans tangents à la surface libre et à la 
paroi du vase. Cet angle sera donc constant. 

La seconde équation redonnera ce même résultat en éli- 
minant cosNX et supprimant le facteur cosNY. 

400. Cherchons encore à déterminer les surfaces d'aire 
minima. Il faudra annuler la variation de l'intégrale 

I rrz ^ y/* "^jP"^ "^ ^Û ^^ ^y- 
Posant a =: Z> =^ )v := o dans les calculs précédents , on aura 

81 :-_-- / [a 0^ -h \J i -i-/j- -4- (f^ (ces NX 0^ -\- cosNY 8y)] ds 

-S(r + ïï;)^^''^''- 

L'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées sera 
donc 

s + ïb'^"' 

ou 

R H- Ri :^ G. 

Cette équation a été intégrée au n" 280. 

Si l'on donne le contour qui limite le champ et la valeur 
de z en chacun de ses points, on aura à la limite ox -~ o, 
oy=:o, Zz-z=:o^ et l'intégrale simple disparaîtra d'elle-même. 
Mais les valeurs limites des trois variables donneront une 
courbe par laquelle doit passer la surface cherchée, et l'on aura 
à déterminer par cette condition les fonctions arbitraires que 
l'intégration a introduites. 

Si une portion de la courbe limite est inconnue, mais assu- 
jettie à se trouver sur une surface donnée z ~- Z, on aura, 
pour l'angle i sous lequel la surface inconnue vient la ren- 
contrer, l'équation 

COSir-Q, 

laquelle montre que les surfaces se coupent à angle droit. 



54o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV. 

Supposons enfin qu'on demande la surface d'aire minima 
qui renferme un volume donné Y. On aura à annuler la va- 
riation de l'intégrale 

I-i-XY, 

ce qui donnera l'équation aux dérivées partielles 



R Ri ~ 

Les fonctions arbitraires de l'intégration se détermineront 
parl'équation V= const., jointe aux conditions aux limites. 

4-01. Le calcul des variations fournit un procédé commode 
pour la transformation des équations aux dérivées partielles. 

Pour en donner un exemple, considérons, avec Jacobi, l'in- 
tégrale triple 

■=S[(S)-Kf)'-(£)"]-<'- 

Glierclions la variation 81 en supposant le champ d'intégra- 
tion invariable, ainsi que les valeurs de V et de ses dérivées 
du premier ordre aux limites du champ On aura 

ou, en intégrant par parties les trois termes respectivement 
par rapport à x^ j', z et remarquant que les termes intégrés 
s'annulent aux limites, 

La condition pour que ol soit identiquement nul sera donc 
fournie par l'équation aux dérivées partielles 

... d^Y d'-Y d'Y _ 

Remplaçons les coordonnées rectangles .r, j', z par un sjs- 



CALCUL DES VARIATIONS. S/j] 

tème de coordonnées curvilignes orthogonales t^ u^ t^, défi- 
nies par les équations 

ou 

t = F{œ,y,z), u^^{a:,y,z), ç z^.W{a:,y, z). 

Onaura(t.I, n« 530). 

d¥_ d^ ôF d^ dF d^ _ 

da^ dx dy dy dz dz ' 

d^ d"^ d^ d^v d^ dw _ 

dx djc dy dy dz dz ' 

dW dF dw dF d^ dV 

dx dx dy dy dz dz ' 



(£)■ 


fdFy 


-m^ 


= ^, 


\dœ)- 


fd^y- 


- (£)■= 


^-à„ 




fd^Y 




= A2, 


dx^ -h dy^ 


-i-dz''=' 


dl' dir^ 


dç^ 



Enfin l'élément de volume rapporté aux nouvelles coordon- 
nées sera 

, , - dtdudv T , 7 7 
dx dy dz = — ~ z=z ^ dt du dv, 

J =:: — . étant le module du jacobien de x^ jk, z par rap- 

y/AAj Aj 
port à t^ u^ V. 
On a d'ailleurs 

dx dt dx du dx dv dx 

> 

^ — ^^ ^ ^_î àW dW ^ 
dz "" dt dz du dz dv dz^ 



542 TllOISIÈMK PARTIE. — CHAPITRE IV. 

d'où, en tenant compte des relations précédentes, 

/dyy fdvy fdyy j'à^y , fdyy , fdvy 
fej ^fe) -K^^) ^'-"U) -^^<57j -'-'\,y) • 

L'intégrale I, rapportée aux nouvelles variables t, w, r, de- 
viendra donc 

S[KÎ)"'--'(£)"--'(S)']— 

Le champ de cette nouvelle intégrale sera invariable comme 
celui de l'intégrale primitive, ainsi que les valeurs de V, 

— ? ^ ? -T- aux limites du champ. 
di du ov ^ 

Exprimons que 81 s'annule da.ns ces conditions. On aura 






81 — 2 V UJ V s -^- ^ • - . -H A, J V 8 4- U^ ^^ ^^ 



ou, en intégrant par parties les divers termes de cette expres- 
sion et remarquant que les termes intégrés s'annulent aux 
limites, 

81 =. - 2 Q f 4- AJ ^ H- . . . -h -f- A. J ~\ 8V dt du dv. 

\J\àt ôt dv - dv J 

La condition pour que ôl s'annule identiquement sera donc 

— Aj - - ^- -r- Al J -— -h -— A, J -— — o. 
oi Ot ou ou 0K> ôv 

Cette nouvelle équation est donc équivalente à l'équa- 
tion (5), dont elle sera la transformée» 

Fm DU TOME TROISIÈME ET DERNIER. 



22169 Paris. — Impr. GAUTUIER-VILLARS ET FILS, quai des (;raiids-Aui;uslins. 65. 



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14 DAY TTSF 

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ASTRON-MATH-STAT.LIBRARY ^/jk 

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